المماس المزدوج

في الهندسة ، المماس المزدوج للمنحنى C هو خط L يلامس C في نقطتين مختلفتين P و Q ويكون له نفس اتجاه C عند هاتين النقطتين . أي أن L خط مماس عند P وعند Q.

بشكل عام، سيكون للمنحنى الجبري عدد لا نهائي من الخطوط القاطعة ، ولكن عدد محدود فقط من المماسات الثنائية.

تنص نظرية بيزو على أن المنحنى الجبري المستوي ذو المماس المزدوج يجب أن يكون من الدرجة الرابعة على الأقل. وكانت حالة المماسات المزدوجة الـ 28 للرباعي قطعة هندسية مشهورة في القرن التاسع عشر، حيث تم إظهار علاقة بالخطوط الـ 27 على السطح المكعب .

يمكن إيجاد المماسات الثنائية الأربعة لمضلعين محدبين منفصلين بكفاءة عالية باستخدام خوارزمية تعتمد على البحث الثنائي، حيث يتم الاحتفاظ بمؤشر بحث ثنائي في قوائم حواف كل مضلع، ويتم تحريك أحد المؤشرين يمينًا أو يسارًا في كل خطوة بناءً على نقطة تقاطع خطوط المماس للحواف عند المؤشرين. يُعد حساب المماسات الثنائية إجراءً فرعيًا أساسيًا في هياكل البيانات للحفاظ على الأغلفة المحدبة ديناميكيًا ( أوفرمارس وفان ليوين، 1981 ) . يصف بوتشيولا وفيجتر ( 1996أ ، 1996 ب ) خوارزمية فعالة لحصر جميع قطع الخطوط المماسية الثنائية التي لا تتقاطع مع أي من المنحنيات الأخرى في نظام من منحنيات محدبة منفصلة متعددة، باستخدام تقنية تعتمد على التثليث الزائف . 

يمكن استخدام المماسات الثنائية لتسريع نهج الرسم البياني للرؤية لحل مشكلة أقصر مسار إقليدي : أقصر مسار بين مجموعة من العوائق المضلعة لا يمكن أن يدخل أو يخرج من حدود العائق إلا على طول أحد مماساته الثنائية، لذلك يمكن إيجاد أقصر مسار من خلال تطبيق خوارزمية ديكسترا على رسم بياني فرعي من الرسم البياني للرؤية يتكون من حواف الرؤية التي تقع على خطوط المماسات الثنائية ( رونرت 1986 ) .

يختلف المماس المزدوج عن القاطع في أن القاطع قد يقطع المنحنى عند نقطتي تقاطعه. ويمكن أيضًا اعتبار المماسات المزدوجة غير المستقيمة؛ فعلى سبيل المثال، مجموعة التناظر لمنحنى ما هي المحل الهندسي لمراكز الدوائر التي تمس المنحنى في نقطتين.

تظهر المماسات الثنائية لأزواج الدوائر بشكل بارز في بناء جاكوب شتاينر لدوائر مالفاتي عام 1826 ، وفي مسألة الحزام لحساب طول الحزام الذي يربط بين بكرتين، وفي نظرية كيسي التي تميز مجموعات من أربع دوائر بدائرة مماسية مشتركة، وفي نظرية مونج حول استقامة نقاط تقاطع بعض المماسات الثنائية.

• أوفرمارس، إم إتش ؛ فان ليوين، جيه. (1981)، "صيانة التكوينات في المستوى"، مجلة علوم الحاسوب والأنظمة ، 23 (2): 166-204 ، doi : 10.1016/0022-0000(81)90012-X ، hdl : 1874/15899.
• بوتشيولا، ميشيل؛ فيجتر، جيرت (1996أ)، "مركب الرؤية" ، المجلة الدولية للهندسة الحسابية وتطبيقاتها ، 6 (3): 297-308 ، doi : 10.1142/S0218195996000204 ، نسخة أولية في ندوة ACM التاسعة حول الهندسة الحسابية (1993) 328-337، مؤرشفة من الأصل في 2006-12-03 ، تم استرجاعها في 2007-04-12.
• بوتشيولا، ميشيل؛ فيجتر، جيرت (1996ب)، "مسح مجمعات الرؤية طوبولوجيًا عبر التثليثات الزائفة"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 16 (4): 419-453 ، doi : 10.1007/BF02712876 ، hdl : 11370/2e90d580-a7e9-49aa-9433-35d1afb26106.
• رونيرت، هـ. (1986)، "أقصر المسارات في المستوى مع وجود عوائق مضلعة محدبة"، رسائل معالجة المعلومات ، 23 (2): 71-76 ، doi : 10.1016/0020-0190(86)90045-1.