مضلع محدب

في الهندسة ، المضلع المحدب هو مضلع يقع على حدود مجموعة محدبة . وهذا يعني أن القطعة المستقيمة الواصلة بين أي نقطتين على المضلع تقع ضمن اتحاد داخل المضلع وحدوده. وبالتحديد، هو مضلع بسيط (لا يتقاطع مع نفسه ). ^{[ 1 ]} وبصورة مكافئة، يكون المضلع محدبًا إذا كان كل خط مستقيم لا يحتوي على أي ضلع يتقاطع معه في نقطتين على الأكثر.

يكون المضلع محدبًا تمامًا إذا لم يمر أي خط فيه بأكثر من رأسين. في المضلع المحدب، تكون جميع الزوايا الداخلية أقل من أو تساوي 180 درجة، بينما في المضلع المحدب تمامًا تكون جميع الزوايا الداخلية أقل من 180 درجة.

الخصائص التالية للمضلع البسيط كلها مكافئة للتحدب:

• كل زاوية داخلية أقل من أو تساوي 180 درجة .
• كل نقطة على كل قطعة مستقيمة بين نقطتين داخل أو على حدود المضلع تبقى داخل أو على الحدود.
• يقع المضلع بالكامل داخل نصف مستوى مغلق محدد بكل ضلع من أضلاعه.
• بالنسبة لكل حافة، تقع جميع النقاط الداخلية على نفس جانب الخط الذي تحدده الحافة.
• تحتوي الزاوية عند كل رأس على جميع الرؤوس الأخرى في حوافها وداخلها.
• المضلع هو الغلاف المحدب لأضلاعه.

تشمل الخصائص الإضافية للمضلعات المحدبة ما يلي:

• تقاطع مضلعين محدبين هو مضلع محدب.
• يمكن تقسيم المضلع المحدب إلى مثلثات في وقت خطي من خلال عملية التثليث المروحي ، والتي تتكون من إضافة الأقطار من رأس واحد إلى جميع الرؤوس الأخرى.
• نظرية هيلي : لكل مجموعة من ثلاثة مضلعات محدبة على الأقل: إذا كانت جميع تقاطعات جميع المضلعات باستثناء مضلع واحد غير فارغة، فإن تقاطع جميع المضلعات غير فارغ.
• نظرية كرين-ميلمان : المضلع المحدب هو الغلاف المحدب لرؤوسه. وبالتالي، فهو مُعرَّف بالكامل بمجموعة رؤوسه، ولا نحتاج إلا إلى زوايا المضلع لاستعادة شكله الكامل.
• نظرية الفصل بين المستويات الفائقة : أي مضلعين محدبين لا يشتركان في أي نقطة يفصل بينهما خط فاصل. إذا كان المضلعان مغلقين وكان أحدهما على الأقل متراصًا، فإنه يوجد خطان فاصلان متوازيان (مع وجود فجوة بينهما).
• خاصية المثلث المحاط : من بين جميع المثلثات الموجودة داخل مضلع محدب، يوجد مثلث ذو مساحة قصوى تكون رؤوسه جميعها رؤوس مضلع. ^{[ 2 ]}
• خاصية المثلث المحيط : كل مضلع محدب مساحته${\displaystyle A}$يمكن رسمها داخل مثلث مساحته لا تتجاوز 10 ...${\displaystyle 2A}$. يتحقق التساوي (حصراً) لمتوازي الأضلاع . ^{[ 3 ]}
• خاصية المستطيلات المحيطة/المُحيطة : لكل جسم محدب${\displaystyle C}$في المستوى، يمكننا رسم مستطيل${\displaystyle r}$في${\displaystyle C}$بحيث تكون النسخة المتماثلة${\displaystyle R}$ل${\displaystyle r}$محصور حول${\displaystyle C}$ونسبة التجانس الموجبة لا تتجاوز 2 و${\displaystyle 0.5{\text{ × المساحة}}(R)\leq {\text{المساحة}}(C)\leq 2{\text{ × المساحة}}(r)}$[ ^{4 ]​}
• متوسط ​​عرض المضلع المحدب يساوي محيطه مقسومًا على${\displaystyle \pi }$وبالتالي فإن قطر الدائرة التي لها نفس محيط المضلع. ^{[ 5 ]}

كل مضلع مرسوم داخل دائرة (بحيث تلامس جميع رؤوسه الدائرة)، ما لم يتقاطع مع نفسه ، يكون محدبًا. مع ذلك، لا يمكن رسم كل مضلع محدب داخل دائرة.

الخصائص التالية للمضلع البسيط كلها مكافئة للتحدب الصارم:

• كل زاوية داخلية أقل من 180 درجة.
• كل قطعة مستقيمة بين نقطتين في الداخل، أو بين نقطتين على الحدود ولكن ليس على نفس الحافة، تكون داخلية تمامًا للمضلع (باستثناء نقاط نهايته إذا كانت على الحواف).
• بالنسبة لكل حافة، تكون النقاط الداخلية ونقاط الحدود غير الموجودة في الحافة على نفس جانب الخط الذي تحدده الحافة.
• تحتوي الزاوية عند كل رأس على جميع الرؤوس الأخرى في داخلها (باستثناء الرأس المعطى والرأسين المجاورين).

كل مثلث غير منحط يكون محدبًا تمامًا.

• المنحنى المحدب – نوع من أنواع المنحنيات المستوية 
• المضلع المقعر – مضلع بسيط غير محدب 
• المجسم المحدب – مجسم يمثل حدود مجموعة محدبة 
• متعدد السطوح المحدب – الغلاف المحدب لمجموعة محدودة من النقاط في الفضاء الإقليدي 
• المضلع الدائري – نقاط على دائرة مشتركة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المنحنى الضمني §  تقريب سلس للمضلعات المحدبة
• خريطة النجمة الخماسية – نظام ديناميكي منفصل على المضلعات في المستوى الإسقاطي وعلى فضاء معاملاتها 
• المضلع المماسي – مضلع محدب يحتوي على دائرة داخلية 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المضلع المحدب" . عالم الرياضيات .
• http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
• شورن، بيتر؛ فيشر، فريدريك (1994)، "1.2 اختبار تحدب المضلع" ، في هيكبرت، بول س. (محرر)، جواهر الرسومات IV ، مورغان كوفمان (أكاديميك برس)، ص 7-15 ، ISBN  9780123361554