التفتح (الهندسة)

ازدهار المجسم الأفلاطوني

في هندسة المجسمات المحدبة ، يُعرف التفتّح أو التفتّح المستمر بأنه حركة ثلاثية الأبعاد متواصلة لسطح المجسم، الذي يُقطع لتشكيل شبكة متعددة الأوجه ، من المجسم إلى وضع مسطح وغير متداخل للشبكة في مستوى واحد. وكما هو الحال في فن الأوريغامي الصلب ، يجب أن تبقى مضلعات الشبكة مسطحة بشكل فردي طوال الحركة، ولا يُسمح لها بالتقاطع أو المرور عبر بعضها البعض. ويمكن اعتبار التفتّح، عند عكسه للانتقال من الشبكة المسطحة إلى المجسم، طريقةً بديهيةً لطي المجسم من شبكة ورقية دون ثني الورقة إلا عند طياتها المحددة.

أظهرت دراسة مبكرة حول ظاهرة التفتح قام بها كل من بيدل ولوبيو وسون عام 1999 أن بعض الشبكات الخاصة بالمجسمات متعددة السطوح غير المحدبة ولكنها كروية طوبولوجيًا لا تظهر ظاهرة التفتح. ^{[ 1 ]}

طرح روبرت كونلي سؤالًا حول ما إذا كان كل متعدد السطوح محدب يقبل شبكة ذات تفرع ، وأصبح هذا السؤال يُعرف باسم حدسية كونلي للتفرع . ^{[ 2 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، اقترح ميلر وباك في عام 2003 أن تفرع المصدر ، وهو شبكة تقطع سطح متعدد السطوح عند نقاط لها أكثر من أقصر مسار جيوديسي إلى نقطة مصدر محددة (بما في ذلك القطوع عبر أوجه متعدد السطوح)، يحتوي دائمًا على تفرع. وقد أثبت ديمين وآخرون ذلك في عام 2009، حيث أظهروا أيضًا أن كل شبكة متعددة السطوح محدبة تتصل مضلعاتها في مسار واحد تحتوي على تفرع، وأنه يمكن تحسين كل شبكة لتصبح شبكة متصلة بمسار. ^{[ 3 ]} من غير المعروف ما إذا كانت كل شبكة لمتعدد السطوح محدب تحتوي على تفرع، ولم يرغب ميلر وباك في تقديم تخمين في أي من الاتجاهين بشأن هذه المسألة. ^{[ 2 ]}

لأنه من غير المعروف ما إذا كان لكل متعدد السطوح المحدب شبكة تقطع حوافه فقط، وليس أوجهه ("تخمين دورر")، فإنه من غير المعروف أيضًا ما إذا كان لكل متعدد السطوح المحدب شبكة تقطع حوافه فقط. في مخطوطة غير منشورة من عام 2009، ادعى إيغور باك وروم بينشاسي أن هذا ممكن بالفعل لكل مجسم أرخميدسي . ^{[ 4 ]}

تمت معالجة مشكلة إيجاد شكل متوهج لشبكة متعددة السطوح حسابيًا أيضًا، كمشكلة في تخطيط الحركة . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}