لعبة بلوتو

لعبة الكولونيل بلوتو هي نوع من ألعاب المجموع الثابت ثنائية اللاعبين، حيث يُكلَّف اللاعبان (الضباط) بتوزيع موارد محدودة في آنٍ واحد على عدة مواقع (ساحات معارك). في النسخة الكلاسيكية من اللعبة، يفوز اللاعب الذي يُخصِّص أكبر قدر من الموارد لساحة معركة معينة، ويكون مكسبه مساويًا لعدد ساحات المعارك التي فاز بها.

اقترح إميل بوريل ^{[ 1 ]} هذه اللعبة لأول مرة عام 1921. وفي عام 1938، نشر بوريل وفيل استراتيجية مثلى محددة (حل "القرص"). ^{[ 2 ]} دُرست اللعبة بعد الحرب العالمية الثانية من قبل باحثين في بحوث العمليات، وأصبحت من كلاسيكيات نظرية الألعاب . ^{[ 3 ]} تُشير مذكرة بحثية لجروس وواغنر عام 1950 ^{[ 4 ]} إلى استراتيجية بوريل المثلى، وقد صاغا اسمي العقيد بلوتو والعدو الوهميين. بالنسبة لثلاث ساحات معارك أو أكثر، يكون فضاء الاستراتيجيات البحتة متعدد الأبعاد (بعدان لثلاث ساحات معارك)، وبالتالي فإن الاستراتيجية المختلطة هي توزيع احتمالي على مجموعة متصلة. تُعد هذه اللعبة مثالًا نادرًا على لعبة غير تافهة من هذا النوع حيث يمكن إيجاد استراتيجيات مثلى بشكل صريح.

إلى جانب تطبيقاتها في الاستراتيجية العسكرية، تُستخدم لعبة الكولونيل بلوتو في الاستراتيجية السياسية (تخصيص الموارد في مختلف ساحات المعارك السياسية)، والدفاع عن الشبكات، وسباقات براءات اختراع البحث والتطوير، وقرارات التوظيف الاستراتيجية. لنفترض أن فريقين رياضيين بميزانيات محدودة (أو قسمين للاقتصاد بمنح مشروطة بالاستخدام أو الفقدان) يسعيان لضمّ نفس المجموعة من المرشحين، وعليهما الاختيار بين عروض متواضعة متعددة أو السعي الحثيث لضمّ مجموعة مختارة من المرشحين.

كمثال على لعبة بلوتو، تخيل لعبة يكتب فيها لاعبان ثلاثة أعداد صحيحة موجبة بترتيب تصاعدي بحيث يكون مجموعها عددًا محددًا مسبقًا (س). بعد ذلك، يُظهر كل لاعب للآخر ما كتبه، ويقارن الأعداد المتناظرة. يفوز اللاعب الذي لديه عددان أكبر من العددين المتناظرين لدى خصمه.

عندما تكون قيمة S تساوي 6، لا توجد سوى ثلاثة خيارات ممكنة للأعداد: (2، 2، 2)، (1، 2، 3)، و(1، 1، 4). من السهل ملاحظة ما يلي:

أي ثلاثية ضد نفسها تكون تعادلاً

(1، 1، 4) ضد (1، 2، 3) تعادل

(1، 2، 3) ضد (2، 2، 2) تعادل

(2، 2، 2) يتفوق على (1، 1، 4)

يستنتج من ذلك أن الاستراتيجية المثلى هي (2، 2، 2) لأنها لا تحقق نتائج أسوأ من التعادل مع أي استراتيجية أخرى، مع تفوقها على استراتيجية أخرى واحدة. ومع ذلك، توجد عدة توازنات ناش. إذا اختار كلا اللاعبين الاستراتيجية (2، 2، 2) أو (1، 2، 3)، فلن يتمكن أي منهما من التغلب على الآخر بتغيير استراتيجياته، لذا فإن كل زوج من هذه الاستراتيجيات يمثل توازن ناش .

For larger S the game becomes progressively more difficult to analyze. For S = 12, it can be shown that (2, 4, 6) represents the optimal strategy, while for S > 12, deterministic strategies fail to be optimal. For S = 13, choosing (3, 5, 5), (3, 3, 7) and (1, 5, 7) with probability 1/3 each can be shown to be the optimal probabilistic strategy.

Borel's game is similar to the above example for very large S, but the players are not limited to round integers. They thus have an infinite number of available pure strategies, indeed a continuum.

This concept is also implemented in a story of Sun Bin (田忌赛马) when watching a chariot race with three different races running concurrently. In the races each party had the option to have one chariot team in each race, and each chose to use a strategy of 1, 2, 3 (with 3 being the fastest chariot and 1 being the slowest) to deploy their chariots between the three races creating close wins in each race and few sure outcomes on the winners. When asked how to win Sun Bin advised the chariot owner to change his deployment to that of 2, 3, 1. Though he would be sure to lose the race against the fastest chariots (the 3 chariots); he would win each of the other races, with his 3 chariot easily beating the 2 chariots and his 2 chariot beating the 1 chariots.

In the simpler case of two battlefields, Macdonell and Mastronardi 2015 provide the first complete characterization of all Nash equilibria to the canonical simplest version of the Colonel Blotto game. This solution, which includes a graphical algorithm for characterizing all the Nash equilibrium strategies, includes previously unidentified Nash equilibrium strategies as well as helps identify what behaviors should never be expected by rational players. Nash equilibrium strategies in this version of the game are a set of bivariate probability distributions: distributions over a set of possible resource allocations for each player, often referred to as Mixed Nash Equilibria (such as can be found in Paper-Rock-Scissors or Matching Pennies as much simpler examples).

Macdonell and Mastronardi 2015 solution, proof, and graphical algorithm for identifying Nash equilibria strategies also pertains to generalized versions of the game such as when Colonel Blotto have differing valuations of the battlefields, when their resources have differing effectiveness on the two battlefields (e.g. one battlefield includes a water landing and Colonel Blotto's resources are Marines instead of Soldiers), and provides insights into versions of the game with three or more battlefields.

لنفترض وجود لاعبين (العقيد بلوتو والعدو)، وساحتي معركة متساويتين في القيمة، ويعرف كل منهما إجمالي موارد الآخر قبل التوزيع، وعليهما اتخاذ قرار توزيع متزامن. يُفترض عادةً أن العقيد بلوتو هو الضابط الأكثر ثراءً بالموارد (يمكن تعريف مستوى موارده بأنه 1)، وأن العدو لديه نسبة من الموارد أقل من 1. تعتمد استراتيجيات التوزيع وعوائد توازن ناش على هذه العلاقة بين مستوى الموارد.

تُستخدم هذه اللعبة عادةً كاستعارة للمنافسة الانتخابية، حيث يُخصص حزبان سياسيان أموالاً أو موارد لجذب دعم عدد محدد من الناخبين. ^{[ 5 ] [ 6 ]} كل ناخب بمثابة "ساحة معركة" يمكن لأحد الحزبين الفوز بها. وتُستخدم هذه اللعبة أيضاً في نظرية المزادات، حيث يتعين على المزايدين تقديم عروض متزامنة. ^{[ 7 ]}

تم حل العديد من الاختلافات في اللعبة الأصلية بواسطة جان فرانسوا لاسلييه ، ^{[ 8 ]} وبريان روبرسون، ^{[ 9 ]} وديمتري كفاسوف. ^{[ 10 ]}

• لعبة غوفسبيل

• ملفات العقيد بلوتو السرية للغاية: الاستدلال التكراري متعدد الأبعاد قيد التنفيذ، بقلم أيالا أراد وأرييل روبنشتاين
• صفحة جوناثان بارتينغتون الخاصة بالعقيد بلوتو