نظرية بروجيير للنمطية

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية بروغير للنمطية نظريةً تتعلق بفئات الموترات النمطية . وتؤكد هذه النظرية أن صياغتين مختلفتين لشرط النمطية لفئة موترات نمطية متكافئتان. وقد قدّم عالم الرياضيات آلان بروغير نظرية بروغير للنمطية في عام 2000. ^{[ 1 ]} يُعرَّف المفهوم الأول للنمطية المستخدم في نص النظرية بأنه عدم انحلال إحصائيات الجدائل للأجسام البسيطة، بينما يُعرَّف المفهوم الثاني بأنه عدم انحلال مصفوفة التشتت النمطية . تاريخيًا، كان شرط عدم الانحلال لفئات الموترات النمطية يُصاغ في الأصل بدلالة قابلية عكس...${\displaystyle S}$^{[ 2 ]} من الشائع اليوم تعريف الفئة المعيارية من حيث عدم انحلال إحصائيات التضفير الخاصة بها، وخاصة في أدبيات فيزياء المادة المكثفة . ^{[ 3 ]}

تُصاغ نظرية بروجيير للنمطية بدلالة فئات الموترات ما قبل النمطية ، وهو مفهوم قدمه بروجيير في نفس الورقة التي أثبت فيها نظرية النمطية. ^{[ 1 ]} فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يُطلق على الفئة اسم "ما قبل النمطية" إذا كانت مزودة بجميع بنى فئة الموتر النمطية ، وتُحقق جميع البديهيات باستثناء بديهية عدم الانحلال. تنص نظرية بروجيير للنمطية على أن فئة الموتر ما قبل النمطية لها جدائل غير منحلة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة التشتت النمطية الخاصة بها قابلة للعكس.

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تشير إلى فئة موترية ما قبل نمطية. أحد اتجاهات نظرية بروجيير النمطية واضح - إذا كان التضفير منحطًا، فسيكون هناك كائن بسيط${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$والتي تتشابك بسهولة مع جميع الأشياء البسيطة الأخرى، وبالتالي عمود النمطية${\displaystyle S}$-مصفوفة تتوافق مع الكائن البسيط${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$سيكون متناسبًا مع عمود الوحدة النمطية${\displaystyle S}$- المصفوفة المرتبطة بوحدة الموتر${\displaystyle {\bf {1}}}$وبالتالي، فإن${\displaystyle S}$ستكون المصفوفة منحلة. مضمون النظرية هو أنه إذا كان التضفير غير منحل، فإن النمطية${\displaystyle S}$المصفوفة ستكون قابلة للعكس.

إذا عُرِّفت فئات الموترات المعيارية بدلالة عدم انحلال تضفيرها، فإن نظرية بروجيير المعيارية تُعدّ عنصرًا ضروريًا لوجود تمثيل المجموعة المعيارية . في تمثيل المجموعة المعيارية،${\displaystyle S}$المصفوفة - هي صورة، بعد تغيير المقياس، لأحد مولدات${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$وبالتالي، لكي يكون تمثيل المجموعة المعيارية تمثيلاً صحيحاً، فمن الضروري أن${\displaystyle S}$المصفوفة لتكون قابلة للعكس. ^{[ 4 ]}