نظرية

في الرياضيات والمنطق الصوري ، النظرية هي عبارة تم إثباتها ، أو يمكن إثباتها. ^{[ أ ] [ 2 ] [ 3 ]} ويُعدّ برهان النظرية حجة منطقية تستخدم قواعد الاستدلال في نظام استنتاجي لإثبات أن النظرية هي نتيجة منطقية للمسلمات والنظريات التي تم إثباتها سابقًا.

في الرياضيات السائدة، تُترك البديهيات وقواعد الاستدلال ضمنيًا في الغالب، وفي هذه الحالة، تكون عادةً تلك الخاصة بنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC)، أو بنظرية أقل قوة، مثل حساب بيانو . ^{[ ب ]} عمومًا، تُعدّ العبارة التي تُسمى صراحةً نظريةً نتيجةً مُثبتةً وليست نتيجةً مباشرةً لنظريات أخرى معروفة. علاوةً على ذلك، يُصنّف العديد من المؤلفين أهم النتائج فقط كنظريات ، ويستخدمون مصطلحات مثل اللمة ، والقضية ، والنتيجة لنظريات أقل أهمية.

في المنطق الرياضي ، تمّت صياغة مفاهيم النظريات والبراهين بشكل رسمي لتمكين الاستدلال الرياضي بشأنها. في هذا السياق، تُصبح العبارات صيغًا سليمة للغة رسمية ما . تتألف النظرية من عبارات أساسية تُسمى البديهيات ، وقواعد استنتاجية (تُضمّن أحيانًا في البديهيات). أما نظريات النظرية فهي العبارات التي يُمكن استنتاجها من البديهيات باستخدام القواعد الاستنتاجية. ^{[ ج ]} أدّت هذه الصياغة الرسمية إلى نظرية البرهان ، التي تُتيح إثبات نظريات عامة حول النظريات والبراهين. على وجه الخصوص، تُبيّن نظريات عدم الاكتمال لغودل أن كل نظرية متسقة تحتوي على الأعداد الطبيعية تتضمن عبارات صحيحة حول الأعداد الطبيعية ليست نظريات في النظرية (أي لا يُمكن إثباتها داخل النظرية).

بما أن البديهيات غالبًا ما تكون تجريدات لخصائص العالم المادي ، يمكن اعتبار النظريات معبرة عن بعض الحقائق، ولكن على عكس مفهوم القانون العلمي ، الذي هو تجريبي ، فإن تبرير صحة النظرية هو استنتاجي بحت . ^{[ 6 ] [ د ]} التخمين هو قضية مؤقتة قد تتطور لتصبح نظرية إذا ثبتت صحتها.

حتى أواخر القرن التاسع عشر والأزمة التأسيسية للرياضيات ، كانت جميع النظريات الرياضية تُبنى على عدد قليل من الخصائص الأساسية التي اعتُبرت بديهية، مثل حقيقة أن لكل عدد طبيعي عددًا خلفًا، أو أن هناك خطًا مستقيمًا واحدًا فقط يمر بنقطتين مختلفتين، أو قواعد الاستدلال المنطقي المستخدمة لدمج هذه الحقائق في برهان النظرية. سُميت هذه الخصائص الأساسية، التي اعتُبرت بديهية مطلقة، بالمسلمات أو البديهيات ، مثل مسلمات إقليدس . وقد بُرهنت جميع النظريات باستخدام هذه الخصائص الأساسية ضمنيًا أو صراحةً. ولأن هذه الخصائص الأساسية اعتُبرت بديهية، اعتُبرت النظرية المُثبتة حقيقةً مطلقة، ما لم يكن هناك خطأ في البرهان. على سبيل المثال، برهن إقليدس من خلال عدد قليل من البديهيات والمسلمات أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة، واعتُبرت هذه حقيقة لا جدال فيها.

كان أحد جوانب الأزمة التأسيسية للرياضيات اكتشاف الهندسات غير الإقليدية الناتجة عن تغيير المسلّمة الخامسة لإقليدس. لا تُفضي هذه الهندسات إلى أي تناقضات داخلية، مع أن مجموع زوايا المثلث فيها يختلف عن 180 درجة. بعبارة أخرى، يمكن أن تكون خاصية "مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة" صحيحة أو خاطئة، اعتمادًا على افتراض أو نفي المسلّمة الخامسة لإقليدس. وبالمثل، في القرن التاسع عشر، أدى استخدام بعض الخصائص الأساسية "البديهية" للمجموعات إلى تناقض مفارقة راسل . وقد حُلّ هذا التناقض بتعديل البديهيات المسموح بها في التعامل مع المجموعات.

بشكل عام، حُلّت أزمة القرن التاسع عشر بإعادة النظر في أسس الرياضيات لجعلها أكثر دقة . في هذه الأسس الجديدة، تُعرَّف النظرية بأنها صيغة رياضية سليمة يمكن إثباتها انطلاقًا من بديهيات وقواعد استدلال تلك النظرية . لذا، تصبح النظرية السابقة حول مجموع زوايا المثلث كما يلي: وفقًا لبديهيات وقواعد استدلال الهندسة الإقليدية ، فإن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة . وبالمثل، تختفي مفارقة راسل لأنه في نظرية المجموعات البديهية الحديثة، لا يمكن التعبير عن مجموعة جميع المجموعات بصيغة سليمة. بتعبير أدق، لو أمكن التعبير عن مجموعة جميع المجموعات بصيغة سليمة، لكان ذلك يعني أن النظرية غير متسقة ، وأن كل عبارة سليمة، وكذلك نفيها، ستكون نظرية.

في هذا السياق، تعتمد صحة النظرية فقط على صحة برهانها، وهي مستقلة عن صحة البديهيات، بل وحتى عن معناها في الواقع العملي. لا يعني هذا أن معنى البديهيات غير مهم، بل يعني فقط أن صحة النظرية مستقلة عن معنى البديهيات. قد تكون هذه الاستقلالية مفيدةً في إتاحة استخدام نتائج أحد فروع الرياضيات في مجالات تبدو غير ذات صلة.

من أهم نتائج هذا النهج في التفكير الرياضي أنه يسمح بتعريف النظريات والمبرهنات الرياضية ككائنات رياضية ، وإثبات المبرهنات المتعلقة بها. على وجه الخصوص، توجد عبارات مُصاغة جيدًا يمكن إثبات أنها ليست من نظريات النظرية العامة، مع إمكانية إثباتها في نظرية أوسع. مثال على ذلك مبرهنة غودستين ، التي يمكن صياغتها في حساب بيانو ، ولكن ثبت عدم إمكانية إثباتها في حساب بيانو. مع ذلك، يمكن إثباتها في بعض النظريات الأكثر عمومية، مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات .

تُعدّ العديد من النظريات الرياضية عبارات شرطية، حيث تستنتج براهينها نتائج من شروط تُعرف بالفرضيات أو المقدمات . ونظرًا لتفسير البرهان على أنه تبرير للحقيقة، يُنظر إلى النتيجة غالبًا على أنها نتيجة حتمية للفرضيات. أي أن النتيجة صحيحة إذا كانت الفرضيات صحيحة، دون أي افتراضات أخرى. مع ذلك، يمكن تفسير الشرط بشكل مختلف في بعض الأنظمة الاستنتاجية ، وذلك تبعًا للمعاني المنسوبة لقواعد الاشتقاق ورمز الشرط (مثل المنطق غير الكلاسيكي ).

على الرغم من إمكانية كتابة النظريات بصيغة رمزية بحتة (مثلاً، كقضايا في حساب القضايا )، إلا أنها تُصاغ غالباً بأسلوب غير رسمي بلغة طبيعية كالإنجليزية لتسهيل قراءتها. وينطبق الأمر نفسه على البراهين، التي تُصاغ عادةً كحجج غير رسمية منظمة منطقياً وواضحة الصياغة، تهدف إلى إقناع القراء بصحة نص النظرية دون أدنى شك، والتي يمكن من حيث المبدأ بناء برهان رمزي رسمي منها.

إضافةً إلى سهولة قراءتها، فإنّ الحجج غير الرسمية أسهل في التحقق منها عادةً من الحجج الرمزية البحتة؛ بل إنّ العديد من علماء الرياضيات يُفضّلون البرهان الذي لا يُثبت صحة النظرية فحسب، بل يُفسّر أيضاً سبب كونها بديهية. وفي بعض الحالات، قد يكون من الممكن إثبات النظرية باستخدام رسم توضيحي كبرهان لها.

لأن النظريات تُمثل جوهر الرياضيات، فهي أيضًا أساسية لجمالياتها . غالبًا ما تُوصف النظريات بأنها "بسيطة"، أو "صعبة"، أو "عميقة"، أو حتى "جميلة". تختلف هذه الأحكام الذاتية ليس فقط من شخص لآخر، بل أيضًا باختلاف الزمان والثقافة: فعلى سبيل المثال، عندما يتم التوصل إلى برهان، أو تبسيطه، أو فهمه بشكل أفضل، قد تصبح نظرية كانت صعبة في السابق بسيطة. ^{[ 7 ]} من ناحية أخرى، قد تُصاغ نظرية عميقة ببساطة، لكن برهانها قد ينطوي على روابط مدهشة ودقيقة بين مجالات متباينة من الرياضيات. تُعد نظرية فيرما الأخيرة مثالًا معروفًا على هذا النوع من النظريات. ^{[ 8 ]}

منطقياً ، تأتي العديد من النظريات على شكل شرط دلالي : إذا كان أ، فإن ب . لا تؤكد هذه النظرية ب ، بل تؤكد فقط أن ب نتيجة ضرورية لـ أ .في هذه الحالة، يُطلق على A اسم فرضية النظرية (وتختلف الفرضية هنا عن التخمين )، بينما يُطلق على B اسم نتيجة النظرية. ويُطلق على الاثنين معًا (بدون البرهان) اسم القضية أو بيان النظرية (مثلًا: " إذا كان A، فإن B " هي القضية ). ويمكن أيضًا تسمية A و B بالمقدمة والنتيجة ، على التوالي. ^{[ 9 ]} تُعدّ النظرية "إذا كان n عددًا طبيعيًا زوجيًا ، فإن n /2 عدد طبيعي" مثالًا نموذجيًا حيث تكون الفرضية " n عددًا طبيعيًا زوجيًا " ، والنتيجة " n /2 عدد طبيعي أيضًا".

لكي تُثبت نظرية ما، يجب من حيث المبدأ أن تكون قابلة للتعبير عنها بصيغة دقيقة ورسمية. ومع ذلك، تُصاغ النظريات عادةً بلغة طبيعية بدلاً من صيغة رمزية بحتة، وذلك بافتراض إمكانية اشتقاق صيغة رسمية من الصيغة غير الرسمية.

من الشائع في الرياضيات اختيار عدد من الفرضيات ضمن لغة معينة، والإعلان أن النظرية تتألف من جميع العبارات القابلة للإثبات انطلاقًا من هذه الفرضيات. تُشكل هذه الفرضيات الأساس النظري، وتُسمى بديهيات أو مسلمات. يدرس فرع الرياضيات المعروف بنظرية البرهان اللغات الرسمية، والبديهيات، وبنية البراهين.

بعض النظريات " بسيطة "، بمعنى أنها تستنتج من التعريفات والمسلمات والنظريات الأخرى بطرق بديهية، ولا تتضمن أي رؤى جديدة. في المقابل، يمكن وصف بعضها الآخر بأنها "عميقة"، لأن براهينها قد تكون طويلة ومعقدة، أو تتضمن مجالات رياضية تبدو ظاهريًا مختلفة عن نص النظرية نفسها، أو تُظهر روابط مدهشة بين مجالات رياضية متباينة. ^{[ 10 ]} قد تكون النظرية سهلة الصياغة ومع ذلك عميقة. ومن الأمثلة الممتازة على ذلك نظرية فيرما الأخيرة ، ^{[ 8 ]} وهناك العديد من الأمثلة الأخرى لنظريات بسيطة وعميقة في نظرية الأعداد والتوافقية ، من بين مجالات أخرى.

توجد نظريات أخرى لها برهان معروف يصعب كتابته. ومن أبرز الأمثلة على ذلك نظرية الألوان الأربعة وتخمين كبلر . ولا يُعرف صحة هاتين النظريتين إلا من خلال اختزالهما إلى بحث حسابي يتم التحقق منه بواسطة برنامج حاسوبي. في البداية، لم يقبل العديد من علماء الرياضيات هذا النوع من البرهان، ولكنه أصبح أكثر قبولًا على نطاق واسع. بل إن عالم الرياضيات دورون زيلبرغر ذهب إلى حد الادعاء بأن هاتين النظريتين ربما تكونان النتيجتين الوحيدتين غير البديهيتين اللتين أثبتهما علماء الرياضيات على الإطلاق. ^{[ 11 ]} ويمكن اختزال العديد من النظريات الرياضية إلى حسابات أبسط، بما في ذلك متطابقات كثيرات الحدود، ومتطابقات الدوال المثلثية ^{[ e ]} ، ومتطابقات الدوال الهندسية الفائقة. ^{[ 12 ]}

تختلف النظريات في الرياضيات عن النظريات في العلوم اختلافًا جوهريًا في منهجها المعرفي . فالنظرية العلمية لا يمكن إثباتها؛ إذ تكمن سمتها الأساسية في قابليتها للتفنيد ، أي أنها تقدم تنبؤات حول العالم الطبيعي قابلة للاختبار بالتجارب . وأي تناقض بين التنبؤ والتجربة يُظهر عدم صحة النظرية العلمية، أو على الأقل يحد من دقتها أو نطاق صلاحيتها. أما النظريات الرياضية، فهي عبارات شكلية مجردة بحتة: ولا يمكن أن يتضمن إثبات النظرية تجارب أو أدلة تجريبية أخرى بالطريقة نفسها التي تُستخدم بها هذه الأدلة لدعم النظريات العلمية. ^{[ 6 ]}

مع ذلك، ينطوي اكتشاف النظريات الرياضية على قدر من التجريب وجمع البيانات. فمن خلال تحديد نمط معين، أحيانًا باستخدام حاسوب فائق القدرة، قد يتوصل علماء الرياضيات إلى فكرة عما يجب إثباته، وفي بعض الحالات حتى إلى خطة لكيفية الشروع في الإثبات. كما يُمكن إيجاد مثال مضاد واحد، وبالتالي إثبات استحالة إثبات صحة القضية بصيغتها الحالية، وربما اقتراح صيغ مُقيدة للقضية الأصلية قد يكون لها براهين ممكنة.

على سبيل المثال، تُعدّ كلٌّ من حدسية كولاتز وفرضية ريمان من المسائل المعروفة التي لم تُحلّ بعد؛ فقد خضعتا لدراساتٍ مستفيضةٍ من خلال التحقق التجريبي، لكنهما لا تزالان غير مُثبتتين. وقد تمّ التحقق من صحة حدسية كولاتز  لقيم ابتدائية تصل إلى حوالي 2.88 ×  10^ ¹⁸ . كما تمّ التحقق من صحة فرضية ريمان لأول 10  تريليونات من الأصفار غير التافهة لدالة زيتا . وعلى الرغم من أن معظم علماء الرياضيات قد يقبلون افتراض صحة الحدسية والفرضية، إلا أنه لا يُعتبر أيٌّ منهما مُثبتًا.

لا تُعدّ هذه الأدلة برهانًا قاطعًا. فعلى سبيل المثال، تُعتبر حدسية ميرتنز عبارةً عن الأعداد الطبيعية، وقد ثبت الآن خطئها، ولكن لا يوجد مثال مضاد صريح معروف (أي عدد طبيعي n تكون فيه دالة ميرتنز M ( n ) مساويةً أو أكبر من الجذر التربيعي لـ n ): فجميع الأعداد الأقل من ^10¹⁴ تتمتع بخاصية ميرتنز، وأصغر عدد لا يتمتع بهذه الخاصية معروف فقط بأنه أقل من الأس 1.59 ×  10⁴⁰  ، والذي يُقارب 10 أس 4.3 × 10³⁹ ^{. وبما} أن عدد الجسيمات في الكون يُعتبر عمومًا أقل من 10 أس 100 ( جوجول )، فلا أمل في إيجاد مثال مضاد صريح من خلال البحث الشامل .  

يُستخدم مصطلح "النظرية" أيضاً في الرياضيات، للدلالة على مجموعة من البديهيات والتعريفات والنظريات الرياضية، كما في نظرية الزمر (انظر النظرية الرياضية ). وتوجد "نظريات" أيضاً في العلوم، وخاصة الفيزياء، وفي الهندسة، ولكنها غالباً ما تتضمن عبارات وبراهين تلعب فيها الافتراضات الفيزيائية والحدس دوراً هاماً؛ فالبديهيات الفيزيائية التي تستند إليها هذه "النظريات" قابلة للتفنيد.

توجد عدة مصطلحات مختلفة للتعبير عن العبارات الرياضية؛ وتشير هذه المصطلحات إلى دور العبارات في موضوع معين. ويكون التمييز بين هذه المصطلحات أحيانًا اعتباطيًا إلى حد ما، وقد تطور استخدام بعضها بمرور الوقت.

• البديهية أو المسلّمة هي افتراض أساسي يتعلق بموضوع الدراسة ، يُقبل دون برهان. ومن المفاهيم ذات الصلة التعريف ، الذي يُعطي معنى كلمة أو عبارة بدلالة مفاهيم معروفة. يُميّز علم الهندسة الكلاسيكي بين البديهيات، وهي عبارات عامة، والمسلّمات، وهي عبارات تتعلق بالأشكال الهندسية. ^{[ 13 ]} تاريخيًا، كانت البديهيات تُعتبر " بديهية "؛ أما اليوم، فيُفترض صحتها فحسب.
• الفرضية هي عبارة غير مثبتة يُعتقد بصحتها. تُطرح الفرضيات عادةً علنًا، وتُنسب إلى واضعها (مثل فرضية غولدباخ وفرضية كولاتز ). يُستخدم مصطلح "الفرضية" أيضًا بهذا المعنى (مثل فرضية ريمان ) ، ويجب عدم الخلط بينه وبين "الفرضية" كمقدمة للبرهان. تُستخدم مصطلحات أخرى أحيانًا، مثل " المشكلة " عندما لا يكون الناس متأكدين من صحة العبارة.
  • أحيانًا لا يتطابق اسم المسألة الشائع الاستخدام مع الاسم الأكثر دقة من الناحية التقنية. فمثلاً، كانت نظرية فيرما الأخيرة تُسمى تاريخيًا نظرية، مع أنها ظلت لقرون مجرد تخمين. ^{[ 14 ]} في المقابل، لا يزال يُشار إلى تخمين بوانكاريه عمومًا على أنه تخمين، رغم إثباته عام 2002.
• النظرية هي عبارة تم إثبات صحتها بناءً على البديهيات والنظريات الأخرى.
• القضية هي نظرية ذات أهمية أقل، أو نظرية تُعتبر بديهية أو واضحة لدرجة أنه يمكن ذكرها دون برهان. يجب عدم الخلط بين هذا المصطلح ومفهوم "القضية" كما يُستخدم في منطق القضايا . في الهندسة الكلاسيكية، استُخدم مصطلح "القضية" بشكل مختلف: ففي كتاب " الأصول " لإقليدس ( حوالي 300 قبل الميلاد )، كانت جميع النظريات والإنشاءات الهندسية تُسمى "قضايا" بغض النظر عن أهميتها. 
• اللمة هي "قضية ملحقة" - أي قضية ذات تطبيق محدود خارج استخدامها في برهان معين. مع مرور الوقت ، قد تكتسب اللمة أهمية وتُعتبر نظرية ، على الرغم من أن مصطلح "اللمة" يُحتفظ به عادةً كجزء من اسمها (مثل لمة غاوس ، ولمة زورن ، واللمة الأساسية ).
• النتيجة هي قضية تتبع مباشرة من نظرية أو بديهية أخرى، مع القليل من البرهان المطلوب أو بدونه. [ ^{15 ] قد} تكون النتيجة أيضًا إعادة صياغة لنظرية ما في شكل أبسط، أو لحالة خاصة : على سبيل المثال، النظرية "جميع الزوايا الداخلية في المستطيل زوايا قائمة " لها نتيجة مفادها أن "جميع الزوايا الداخلية في المربع زوايا قائمة " - المربع هو حالة خاصة من المستطيل.
• تعميم النظرية هو نظرية ذات نص مشابه ولكن بنطاق أوسع، يمكن استنتاج النظرية الأصلية منها كحالة خاصة ( نتيجة ). ^{[ f ]}

قد تُستخدم مصطلحات أخرى لأسباب تاريخية أو عرفية، على سبيل المثال:

• الهوية هي نظرية تنص على المساواة بين تعبيرين، والتي تنطبق على أي قيمة ضمن نطاقها ( على سبيل المثال هوية بيزو وهوية فاندرموند ).
• القاعدة هي نظرية تحدد صيغة مفيدة (مثل قاعدة بايز وقاعدة كرامر ).
• القانون أو المبدأ هو نظرية ذات تطبيق واسع (مثل قانون الأعداد الكبيرة ، وقانون جيب التمام ، وقانون كولموغوروف للصفر والواحد ، ومبدأ هارناك ، ومبدأ الحد الأعلى الأدنى ، ومبدأ خانة الحمام ). ^{[ g ]}

بعض النظريات المعروفة لها أسماء أكثر غرابة، على سبيل المثال، خوارزمية القسمة ، وصيغة أويلر ، ومفارقة باناش-تارسكي .

في المنشورات باللغة الإنجليزية، يتم عادةً عرض النظرية (التي غالباً ما تصنف على أنها قضية أو لِمّة أو نتيجة ويتم تسميتها على هذا النحو) وبرهانها على النحو التالي:

نظرية. (وايلز، 1994) ليكن x و y و z و n أعدادًا صحيحة بحيث يكون x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ و n ≥ 3. عندئذٍ xyz = 0 .

البرهان. [بداية البرهان]

[نص الدليل المكمل]

[......................................]

[نص البرهان المكمل] [نهاية البرهان]∎

يمكن الإشارة إلى نهاية البرهان بالأحرف QED ( quod erat demonstrandum ) أو بإحدى علامات شاهد القبر ، مثل "□" أو "∎"، والتي تعني "نهاية البرهان"، والتي أدخلها بول هالموس بعد استخدامها في المجلات للإشارة إلى نهاية المقال. ^{[ 16 ]}

يختلف الأسلوب الدقيق باختلاف المؤلف أو دار النشر. توفر العديد من دور النشر تعليمات أو وحدات ماكرو لتنسيق النصوص وفقًا لأسلوبها الخاص .

من الشائع أن تسبق النظرية تعريفاتٌ تُبيّن المعنى الدقيق للمصطلحات المستخدمة فيها. كما يشيع أيضاً أن تسبق النظرية عددٌ من القضايا أو الليمات التي تُستخدم لاحقاً في البرهان. مع ذلك، تُدمج الليمات أحياناً في برهان النظرية، إما ببراهين متداخلة، أو بتقديم براهينها بعد برهان النظرية.

تُعرض نتائج النظرية إما بين النظرية وبرهانها، أو مباشرةً بعد البرهان. وفي بعض الأحيان، يكون للنتائج براهين خاصة بها تُفسر سبب استنباطها من النظرية.

تشير التقديرات إلى أنه يتم إثبات أكثر من ربع مليون نظرية كل عام. ^{[ 17 ]}

المقولة الشهيرة " الرياضي أداة لتحويل القهوة إلى نظريات" ربما تعود إلى ألفريد ريني ، على الرغم من أنها تُنسب غالبًا إلى زميل ريني بول إيردوس (وربما كان ريني يفكر في إيردوس)، الذي اشتهر بالعديد من النظريات التي وضعها، وعدد تعاوناته ، وشربه للقهوة. ^{[ 18 ]}

يُعتبر تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، في نظر البعض، أطول برهان لنظرية ما. إذ يتألف من عشرات الآلاف من الصفحات في 500 مقالة منشورة في دوريات علمية، كتبها نحو 100 مؤلف. ويُعتقد أن هذه المقالات مجتمعةً تُقدّم برهانًا كاملًا، وتأمل العديد من المشاريع الجارية في اختصار هذا البرهان وتبسيطه. ^{[ 19 ]} ومن النظريات الأخرى من هذا النوع نظرية الألوان الأربعة ، التي يُعدّ برهانها المُولّد حاسوبيًا طويلًا جدًا بحيث يتعذر على الإنسان قراءته. ^{[ 20 ]}

في المنطق الرياضي ، تُعرَّف النظرية الصورية بأنها مجموعة من الجمل ضمن لغة صورية . الجملة هي صيغة سليمة التكوين لا تحتوي على متغيرات حرة. الجملة التي تنتمي إلى نظرية ما هي إحدى نظرياتها، والنظرية هي مجموعة نظرياتها. عادةً ما يُفهم أن النظرية مغلقة في إطار علاقة الاستدلال المنطقي . وتُعرّف بعض الدراسات النظرية بأنها مغلقة في إطار علاقة الاستدلال الدلالي .${\displaystyle \models }$بينما يُعرّفها آخرون بأنها مغلقة بموجب النتيجة النحوية ، أو علاقة الاشتقاق (${\displaystyle \vdash }$). ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

لكي تُعتبر نظرية ما مغلقةً في إطار علاقة اشتقاق، يجب أن تكون مرتبطةً بنظام استنتاجي يُحدد كيفية اشتقاق النظريات. قد يُذكر النظام الاستنتاجي صراحةً، أو قد يكون واضحًا من السياق. يُؤدي إغلاق المجموعة الفارغة في إطار علاقة الاستلزام المنطقي إلى المجموعة التي تحتوي فقط على الجمل التي تُمثل نظريات النظام الاستنتاجي.

بالمعنى الواسع الذي يُستخدم به المصطلح في المنطق، لا يشترط أن تكون النظرية صحيحة، إذ قد تكون النظرية التي تتضمنها غير سليمة بالنسبة لدلالة معينة، أو بالنسبة للتفسير القياسي للغة الأساسية. النظرية غير المتسقة تحتوي على جميع الجمل كنظريات.

يُعدّ تعريف النظريات بأنها جمل في لغة رسمية مفيدًا في نظرية البرهان ، وهي فرع من الرياضيات يدرس بنية البراهين الرسمية وبنية الصيغ القابلة للإثبات. كما أنه مهم في نظرية النماذج ، التي تهتم بالعلاقة بين النظريات الرسمية والبنى القادرة على توفير دلالات لها من خلال التأويل .

على الرغم من أن النظريات قد تكون جملًا غير مُفسَّرة، إلا أن علماء الرياضيات عمليًا يهتمون أكثر بمعاني هذه الجمل، أي بالقضايا التي تُعبِّر عنها. ما يجعل النظريات الصورية مفيدة ومثيرة للاهتمام هو إمكانية تفسيرها كقضايا صحيحة، وإمكانية تفسير اشتقاقاتها كبرهان على صحتها. تُسمى النظرية التي يكون تفسيرها عبارة صحيحة حول نظام صوري (وليس داخل نظام صوري) نظرية فوقية .

من أهم النظريات في المنطق الرياضي ما يلي:

• تماسك منطق الرتبة الأولى
• اكتمال منطق الرتبة الأولى
• نظريات عدم اكتمال غودل في الحساب من الدرجة الأولى
• اتساق العمليات الحسابية من الدرجة الأولى
• نظرية تارسكي غير القابلة للتعريف
• نظرية تشرش-تورينغ لعدم قابلية الحسم
• نظرية لوب
• نظرية لوفنهايم-سكوليم
• نظرية ليندستروم
• نظرية كريج
• نظرية الحذف بالقطع

• القانون (الرياضيات)
• قائمة النظريات
• قائمة النظريات التي تُسمى أساسية
• صيغة
• الاستدلال
• نظرية اللعبة

• تشيسويل، إيان؛ هودجز، ويلفريد (2007). المنطق الرياضي . مطبعة جامعة أكسفورد.
• هنتر، جيفري (1996) [1971]. ما وراء المنطق: مقدمة في نظرية ما وراء المنطق القياسي من الدرجة الأولى . مطبعة جامعة كاليفورنيا (نُشر عام 1973). ISBN 9780520023567. OCLC 36312727 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية ) .
• ماتس، بنسون (1972). المنطق الابتدائي . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-501491-X.

• الوسائط المتعلقة بالنظريات على ويكيميديا ​​كومنز
• وايسشتاين، اريك دبليو “النظرية” . عالم الرياضيات .
• نظرية اليوم