هوية كاسيني والهوية الكاتالونية

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

متطابقة كاسيني (وتُسمى أحيانًا متطابقة سيمسون )، ومتطابقة كاتالان ، ومتطابقة فاجدا هي متطابقات رياضية لأعداد فيبوناتشي . وتنص متطابقة كاسيني، وهي حالة خاصة من المتطابقتين الأخريين، على أنه بالنسبة لعدد فيبوناتشي رقم n ،

Fن-1Fن+1-Fن2=(-1)ن.{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}

ملاحظة هناF0{\displaystyle F_{0}}يُعتبر صفرًا، وF1{\displaystyle F_{1}}يُعتبر 1.

تعمم الهوية الكاتالونية هذا الأمر للسماحر≠1{\displaystyle r\neq 1}:

Fن2-Fن-رFن+ر=(-1)ن-رFر2.{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.}

تزيد هوية فاجدا من تعميم هذا الأمر للسماحم≠ن{\displaystyle m\neq n}:

FمFن-Fم-رFن+ر=(-1)م-رFرFر+ن-م،{\displaystyle F_{m}F_{n}-F_{mr}F_{n+r}=\left({-1}\right)^{mr}F_{r}F_{r+nm},}

ويكتب أيضاً على النحو التالي:

Fن+أناFن+ج-FنFن+أنا+ج=(-1)نFأناFج.{\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}

تاريخ

اكتُشفت معادلة كاسيني عام 1680 على يد جيوفاني دومينيكو كاسيني ، مدير مرصد باريس آنذاك ، وأثبتها روبرت سيمسون بشكل مستقل عام 1753. [ 1 ] مع ذلك، يُفترض أن يوهانس كيبلر كان على دراية بها بالفعل عام 1608. [ 2 ]

تُنسب هوية كاتالان إلى يوجين كاتالان (1814-1894). وقد وردت في إحدى مذكراته البحثية الخاصة، بعنوان "حول سلسلة لاميه" والمؤرخة في أكتوبر 1879. مع ذلك، لم تُنشر الهوية إلا في ديسمبر 1886 ضمن أعماله الكاملة ( كاتالان 1886 ) . وهذا ما يفسر اختلاف الآراء حول تاريخ هوية كاتالان، فمنهم من يذكر عام 1879 ومنهم من يذكر عام 1886 ( تونتر 2022 ، ص 314) . 

نشر عالم الرياضيات المجري البريطاني ستيفن فاجدا (1901-1995) كتابًا عن أعداد فيبوناتشي ( أعداد فيبوناتشي ولوكاس، والنسبة الذهبية: النظرية والتطبيقات ، 1989) يتضمن المتطابقة التي تحمل اسمه. [ 3 ] [ 4 ] مع ذلك، نُشرت هذه المتطابقة سابقًا في عام 1960 بواسطة داستن إيفرمان كمسألة رقم 1396 في مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية ، [ 1 ] وفي عام 1901 بواسطة ألبرتو تاجيوري في مجلة الرياضيات الدورية . [ 5 ]

إثبات هوية كاسيني

البرهان باستخدام نظرية المصفوفات

يمكن تقديم برهان سريع لهوية كاسيني ( كنوث 1997 ، ص 81) من خلال اعتبار الطرف الأيسر من المعادلة محددًا لمصفوفة 2 × 2 من أعداد فيبوناتشي. وتكون النتيجة شبه فورية عندما يُلاحظ أن المصفوفة هي القوة النونية لمصفوفة محددها -1 . 

Fن-1Fن+1-Fن2=المحقق[Fن+1FنFنFن-1]=المحقق[1110]ن=(المحقق[1110])ن=(-1)ن.{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}

البرهان بالاستقراء

لننظر في عبارة الاستقراء التالية:

Fن-1Fن+1-Fن2=(-1)ن{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}

الحالة الأساسيةن=1{\displaystyle n=1}هذا صحيح.

افترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لـن{\displaystyle n}. ثم:

Fن-1Fن+1-Fن2+FنFن+1-FنFن+1=(-1)ن{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}
Fن-1Fن+1+FنFن+1-Fن2-FنFن+1=(-1)ن{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}
Fن+1(Fن-1+Fن)-Fن(Fن+Fن+1)=(-1)ن{\displaystyle F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}}
Fن+12-FنFن+2=(-1)ن{\displaystyle F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}}
FنFن+2-Fن+12=(-1)ن+1{\displaystyle F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}}

إذن، العبارة صحيحة لجميع الأعداد الصحيحةن>0{\displaystyle n>0}.

إثبات الهوية الكاتالونية

نستخدم صيغة بينيه ، التيFن=ϕن-ψن5{\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}، أينϕ=1+52{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}وψ=1-52{\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}.

لذلك،ϕ+ψ=1{\displaystyle \phi +\psi =1}وϕψ=-1{\displaystyle \phi \psi =-1}.

لذا،

5(Fن2-Fن-رFن+ر){\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}
=(ϕن-ψن)2-(ϕن-ر-ψن-ر)(ϕن+ر-ψن+ر){\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}
=(ϕ2ن-2ϕنψن+ψ2ن)-(ϕ2ن-ϕنψن(ϕ-رψر+ϕرψ-ر)+ψ2ن){\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}
=-2ϕنψن+ϕنψن(ϕ-رψر+ϕرψ-ر){\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}

استخدامϕψ=-1{\displaystyle \phi \psi =-1}،

=-(-1)ن2+(-1)ن(ϕ-رψر+ϕرψ-ر){\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}

ومرة أخرى كماϕ=-1ψ{\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}}،

=-(-1)ن2+(-1)ن-ر(ψ2ر+ϕ2ر){\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}

رقم لوكاسلن{\displaystyle L_{n}}يُعرَّف بأنهلن=ϕن+ψن{\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}، لذا

=-(-1)ن2+(-1)ن-رل2ر{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}

لأنل2ن=5Fن2+2(-1)ن{\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}

=-(-1)ن2+(-1)ن-ر(5Fر2+2(-1)ر){\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}
=-(-1)ن2+(-1)ن-ر2(-1)ر+(-1)ن-ر5Fر2{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
=-(-1)ن2+(-1)ن2+(-1)ن-ر5Fر2{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
=(-1)ن-ر5Fر2{\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}

إلغاء5{\displaystyle 5}يعطي 's النتيجة.

ملحوظات

  1. 1 2 كوشي، توماس (2001). أعداد فيبوناتشي ولوكاس مع تطبيقات . وايلي. الصفحات 74-75 ، 83، 88. ISBN  978-111-803131-5.
  2. ↑ ميودراغ بيتكوفيتش: ألغاز شهيرة لعلماء رياضيات عظماء . الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2009، رقم ISBN 9780821848142، ص 30-31
  3. ↑ ويست، دوغلاس ب. (2020). الرياضيات التوافقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 61. ISBN  1-107-05858-9.
  4. ↑ فاجدا، ستيفن (2008) [1989 في إليس هوروود]. أعداد فيبوناتشي ولوكاس، والنسبة الذهبية: النظرية والتطبيقات . دوفر. ص 28. ISBN  978-04-8646276-9.
  5. ^ ألبرتو تاجيوري: المعادلة (3) في Di alcune Successioni ricorrenti a termini interi e positivi ،periodico di Matematica 16 (1901)، الصفحات من 1 إلى 12.

مراجع