الهوية (الرياضيات)

هويات معينة، مثل${\displaystyle a+0=a}$و${\displaystyle a+(-a)=0}$تشكل هذه المتطابقات أساس الجبر ، ^{[ 5 ]} بينما تشكل متطابقات أخرى، مثل${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$و${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$يمكن أن يكون مفيدًا في تبسيط التعبيرات الجبرية وفي توسيعها. ^{[ 6 ]}

هندسياً، تُعرَّف المتطابقات المثلثية بأنها متطابقات تتضمن دوالاً معينة لزاوية واحدة أو أكثر . ^{[ 7 ]} وهي تختلف عن متطابقات المثلث ، التي تتضمن كلاً من زوايا المثلث وأطوال أضلاعه . ويقتصر هذا المقال على تناول المتطابقات المثلثية فقط.

تُعدّ هذه المتطابقات مفيدةً عند الحاجة إلى تبسيط التعبيرات التي تتضمن دوالًا مثلثية. ومن التطبيقات المهمة الأخرى تكامل الدوال غير المثلثية: وهي تقنية شائعة تتضمن أولًا استخدام قاعدة التعويض مع دالة مثلثية ، ثم تبسيط التكامل الناتج باستخدام متطابقة مثلثية.

تتضمن إحدى أبرز الأمثلة على المتطابقات المثلثية المعادلة${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$وهذا صحيح لجميع القيم الحقيقية لـ${\displaystyle \theta }$من ناحية أخرى، المعادلة

${\displaystyle \cos \theta =1}$

هذا صحيح فقط لقيم معينة من${\displaystyle \theta }$ليس كل شيء. على سبيل المثال، تكون هذه المعادلة صحيحة عندما${\displaystyle \theta =0,}$لكنها خاطئة عندما${\displaystyle \theta =2}$.

وهناك مجموعة أخرى من المتطابقات المثلثية تتعلق بما يسمى بصيغ الجمع/الطرح (مثل متطابقة ضعف الزاوية).${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$صيغة الجمع لـ${\displaystyle \tan(x+y)}$)، والتي يمكن استخدامها لتقسيم التعبيرات ذات الزوايا الأكبر إلى تلك ذات المكونات الأصغر.

تنطبق المتطابقات التالية على جميع الأسس الصحيحة ، بشرط أن يكون الأساس غير صفري:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

على عكس الجمع والضرب، فإن عملية الأسس ليست ^{تبديلية} . على سبيل المثال، 2 + 3 = 3 + 2 = 5 و 2 × 3 = 3 × 2 = 6 ، لكن 2³ = 8 بينما ^3² = 9 .

على عكس الجمع والضرب، فإن الأسس ليست عملية تجميعية . على سبيل المثال، (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 و (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24 ، لكن 2³ ^أس 4 يساوي 8⁴ ⁽ أو 4096)، بينما 2 أس 3⁴ ^يساوي 2⁸¹ ⁽ أو 2,417,851,639,229,258,349,412,352). عند عدم وجود أقواس، يكون الترتيب، اصطلاحًا، من الأعلى إلى الأسفل، وليس من الأسفل إلى الأعلى.

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$ بينما ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

تربط عدة صيغ مهمة، تسمى أحيانًا بالهويات اللوغاريتمية أو قوانين اللوغاريتمات ، اللوغاريتمات ببعضها البعض: ^{[ أ ]}

المنتج، النسبة، القوة والجذر

لوغاريتم حاصل ضرب عددين هو مجموع لوغاريتمات العددين المضروبين؛ ولوغاريتم نسبة عددين هو الفرق بين لوغاريتميهما. ولوغاريتم القوة p لعدد ما يساوي p مضروبًا في لوغاريتم العدد نفسه؛ ولوغاريتم الجذر p يساوي لوغاريتم العدد مقسومًا على p . يوضح الجدول التالي هذه المتطابقات مع أمثلة. ويمكن اشتقاق كل متطابقة منها بالتعويض بتعريفات اللوغاريتمات. ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$و/أو${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$في الجانب الأيسر.

	صيغة	مثال
منتج	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
ناتج القسمة	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
قوة	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
جذر	${\displaystyle \log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

تُحقق الدوال الزائدية العديد من المتطابقات، وكلها متشابهة في شكلها مع المتطابقات المثلثية . في الواقع، تنص قاعدة أوزبورن ^{[ 9 ]} على أنه يمكن تحويل أي متطابقة مثلثية إلى متطابقة زائدية عن طريق توسيعها بالكامل بدلالة قوى صحيحة للجيب وجيب التمام، وتغيير الجيب إلى sinh وجيب التمام إلى cosh، وعكس إشارة كل حد يحتوي على حاصل ضرب عدد زوجي من الجيب الزائدي. ^{[ 10 ]}

تعطي دالة غودرمان علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة .