عدم المساواة عند كلاركسون

في الرياضيات ، تُعدّ متباينات كلاركسون ، نسبةً إلى جيمس أ. كلاركسون ، نتائج في نظرية فضاءات L ^p . وهي تُعطي حدودًا لمعايير L p ^لمجموع وفرق دالتين قابلتين للقياس في L ^p بدلالة معايير L ^p لتلك الدالتين بشكل فردي.

بيان أوجه عدم المساواة

ليكن ( X , Σ, μ ) فضاء قياس ؛ ولتكن f و g دالتين قابلتين للقياس في L ^p ، وذلك من أجل 2 ≤ p < + ∞.

\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {fg}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}

بالنسبة لـ 1 < p < 2،

\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {fg}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}

أين

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,

أي أن q = p ⁄ ( p − 1).