دالة قابلة للقياس

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية القياس ، الدالة القابلة للقياس هي دالة بين المجموعات الأساسية لفضاءين قابلين للقياس ، تحافظ على بنية هذين الفضاءين: أي أن الصورة العكسية لأي مجموعة قابلة للقياس هي دالة قابلة للقياس. وهذا يُشابه تعريف الدالة المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية، التي تحافظ على البنية الطوبولوجية: أي أن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة. في التحليل الحقيقي ، تُستخدم الدوال القابلة للقياس في تعريف تكامل لوبيغ . وفي نظرية الاحتمالات ، تُعرف الدالة القابلة للقياس على فضاء احتمالي بالمتغير العشوائي .

يترك${\displaystyle (X,\Sigma )}$و${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$أن تكون مساحات قابلة للقياس، بمعنى أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي مجموعات مزودة بجبر سيجما خاص بها${\displaystyle \Sigma }$و${\displaystyle \mathrm {T} .}$ وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$يُقال إنها قابلة للقياس إذا كان لكل${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$الصورة السابقة لـ${\displaystyle E}$تحت${\displaystyle f}$هو في${\displaystyle \Sigma }$أي للجميع${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$$${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

إنه،${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$أين${\displaystyle \sigma (f)}$هي الجبر سيجما المتولد بواسطة f . إذا${\displaystyle f:X\to Y}$هي دالة قابلة للقياس، كما يكتب المرء $${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$ للتأكيد على الاعتماد على${\displaystyle \sigma }$الجبر${\displaystyle \Sigma }$و${\displaystyle \mathrm {T} .}$

اختيار${\displaystyle \sigma }$قد تكون الجبريات المذكورة في التعريف أعلاه ضمنية أحيانًا وتُترك للسياق. على سبيل المثال، بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$أو في فضاءات طوبولوجية أخرى، يُعد جبر بوريل (المولد من جميع المجموعات المفتوحة) خيارًا شائعًا. يُعرّف بعض المؤلفين الدوال القابلة للقياس بأنها دوال حقيقية القيم حصريًا بالنسبة لجبر بوريل. ^{[ 1 ]}

إذا كانت قيم الدالة تقع في فضاء متجهي لا نهائي الأبعاد ، فإن تعريفات أخرى غير متكافئة للقياس، مثل القياس الضعيف وقياس بوخنر ، موجودة.

• المتغيرات العشوائية هي بحكم تعريفها دوال قابلة للقياس معرفة على فضاءات احتمالية.
• لو${\displaystyle (X,\Sigma )}$و${\displaystyle (Y,T)}$هي فضاءات بوريل ، وهي دالة قابلة للقياس${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ تُسمى أيضًا دالة بوريل . الدوال المتصلة هي دوال بوريل، ولكن ليست كل دوال بوريل متصلة. مع ذلك، فإن الدالة القابلة للقياس هي دالة متصلة تقريبًا؛ انظر نظرية لوزين . إذا كانت دالة بوريل مقطعًا من خريطة${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$يُطلق عليه اسم قسم بوريل .
• الدالة القابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ هي دالة قابلة للقياس${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هو${\displaystyle \sigma }$الجبر - للمجموعات القابلة للقياس وفقًا لليبيغ، و${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$جبر بوريل على الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} .}$ تُعدّ الدوال القابلة للقياس وفقًا لمعيار لوبيغ ذات أهمية في التحليل الرياضي نظرًا لإمكانية تكاملها. في هذه الحالة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$تكون مقاييس لوبيغ قابلة للقياس إذا وفقط إذا${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$قابل للقياس للجميع${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$وهذا يعادل أيضاً أيًا مما يلي${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$قابل للقياس للجميع${\displaystyle \alpha ,}$أو أن تكون الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة قابلة للقياس. الدوال المتصلة، والدوال الرتيبة، والدوال المتدرجة، والدوال شبه المتصلة، والدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان، والدوال ذات التباين المحدود، جميعها قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ. ^{[ 2 ]} دالة${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$يكون قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كانت الأجزاء الحقيقية والخيالية قابلة للقياس.

• مجموع وحاصل ضرب دالتين قابلتين للقياس لهما قيم مركبة قابلان للقياس. ^{[ 3 ]} وكذلك ناتج القسمة، طالما لا يوجد قسمة على صفر. ^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$و${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ إذا كانت الدوال قابلة للقياس، فإن تركيبها يكون قابلاً للقياس أيضاً.${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$و${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$هي دوال قابلة للقياس، وتكوينها${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ليس بالضرورة${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$-قابل للقياس إلا إذا${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$في الواقع، يمكن بناء دالتين قابلتين للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ بطريقة تجعل تركيبهما غير قابل للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ.
• إن القيم العليا (نقطة بنقطة) ، والقيم الدنيا ، والحد الأعلى ، والحد الأدنى لمتتالية (أي عدد قابل للعد) من الدوال الحقيقية القابلة للقياس، كلها قابلة للقياس أيضاً. ^{[ 1 ] [ 4 ]}
• النهاية النقطية لسلسلة من الدوال القابلة للقياس${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$قابل للقياس، حيث${\displaystyle Y}$هو فضاء متري (مزود بجبر بوريل). هذا ليس صحيحًا بشكل عام إذا${\displaystyle Y}$غير قابلة للقياس. يتطلب البيان المقابل للدوال المتصلة شروطًا أقوى من التقارب النقطي، مثل التقارب المنتظم. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

تميل الدوال الحقيقية التي تُصادف في التطبيقات إلى أن تكون قابلة للقياس؛ ومع ذلك، ليس من الصعب إثبات وجود دوال غير قابلة للقياس. وتعتمد هذه البراهين بشكل أساسي على بديهية الاختيار ، بمعنى أن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات بدون بديهية الاختيار لا تُثبت وجود هذه الدوال.

في أي مساحة قياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$مع مجموعة غير قابلة للقياس${\displaystyle A\subset X,}$${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$يمكن للمرء أن يبني دالة مؤشر غير قابلة للقياس : $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$ أين${\displaystyle \mathbb {R} }$وهي مزودة بجبر بوريل المعتاد . هذه دالة غير قابلة للقياس لأن الصورة العكسية للمجموعة القابلة للقياس${\displaystyle \{1\}}$هو غير قابل للقياس${\displaystyle A.}$  

كمثال آخر، أي دالة غير ثابتة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$لا يمكن قياسه بالنسبة إلى الأمور التافهة${\displaystyle \sigma }$-الجبر${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$بما أن الصورة العكسية لأي نقطة في المدى هي مجموعة جزئية مناسبة وغير فارغة من${\displaystyle X,}$وهو ليس عنصراً من العناصر التافهة${\displaystyle \Sigma .}$

• دالة بوخنر القابلة للقياس
• فضاء بوخنر – نوع من الفضاءات الطوبولوجية 
• فضاء Lp – فضاءات الدوال التي تعمم فضاءات المعيار p ذات الأبعاد المحدودة – فضاءات المتجهات للدوال القابلة للقياس: الـ ${\displaystyle L^{p}}$مساحات
• النظام الديناميكي الحافظ للقياس – موضوع دراسة في نظرية الإرجودية 
• القياس المتجهي – تعميم القياس المحدود إلى فضاءات باناخ 
• دالة قابلة للقياس بشكل ضعيف

• الدالة القابلة للقياس في موسوعة الرياضيات
• دالة بوريل في موسوعة الرياضيات