تصنيف جبر لي الحقيقي منخفض الأبعاد

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$، أبيلي .

• ${\displaystyle 2{\mathfrak {g}}_{1}}$أبيلية${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}}$قابل للحل${\displaystyle {\mathfrak {aff}}(1)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \right\}}$،

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1}.}$

• ${\displaystyle 3{\mathfrak {g}}_{1}}$، أبيليان، بيانكي الأول ؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$، قابلة للتحلل وقابلة للحل، بيانكي الثالث؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.1}}$، جبر هايزنبرغ-ويل، جبر عديم القوة، بيانكي الثاني،

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.2}}$، قابلة للحل، بيانكي الرابع،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}}$، قابلة للحل، بيانكي الخامس،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}}$, قابلة للحل، بيانكي السادس، جبر بوانكاريه${\displaystyle {\mathfrak {p}}(1,1)}$متى${\displaystyle \alpha =-1}$،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$، قابلة للحل، بيانكي السابع،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}}$، بسيط، بيانكي الثامن،${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),}$

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}}$، بسيط، بيانكي التاسع،${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)،}$

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{2}]=e_{3}.}$

الجبر${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}}$يمكن اعتبارها حالة متطرفة من${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$، متى${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$، مما يشكل انكماشًا لجبر لي.

في الملعب${\displaystyle {\mathbb {C} }}$الجبر${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}}$متماثلة مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}}$و${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}}$، على التوالى.

• ${\displaystyle 4{\mathfrak {g}}_{1}}$، أبيلي؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus 2{\mathfrak {g}}_{1}}$، قابلة للتحلل، قابلة للذوبان،

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle 2{\mathfrak {g}}_{2.1}}$، قابلة للتحلل، قابلة للذوبان،

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1}\quad [e_{3},e_{4}]=e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$، قابل للتحلل عديم القدرة،

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.2}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$، قابلة للتحلل، قابلة للذوبان،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$، قابلة للتحلل، قابلة للذوبان،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$، قابلة للتحلل، قابلة للذوبان،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$، قابلة للتحلل، قابلة للذوبان،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2}\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$غير قابلة للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$غير قابلة للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{3},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.1}}$، غير قابل للتحلل، عديم القدرة،

${\displaystyle [e_{2},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.2}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\beta e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3},\quad \beta \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.3}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.4}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}+e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.5}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\gamma e_{3},\quad \alpha \beta \gamma \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.6}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\beta e_{3},\quad \alpha >0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.7}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.8}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=(1+\beta )e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\beta e_{3},\quad -1\leq \beta \leq 1;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.9}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\alpha e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\alpha e_{3},\quad \alpha \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.10}}$، غير قابل للتحليل، قابل للحل،

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{4}]=-e_{2},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}.}$

الجبر${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.3}}$يمكن اعتبارها حالة متطرفة من${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.2}}$، متى${\displaystyle \beta \rightarrow 0}$، مما يشكل انكماشًا لجبر لي.

في الملعب${\displaystyle {\mathbb {C} }}$الجبر${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.6}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.9}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.10}}$متماثلة مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.5}}$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.8}}$،${\displaystyle {2{\mathfrak {g}}}_{2.1}}$، على التوالى.