المجال (الرياضيات)

بصورة رسمية، الحقل هو مجموعة F بالإضافة إلى عمليتين ثنائيتين عليها ، هما الجمع والضرب ، تحققان البديهيات المذكورة أدناه. ^{[ 1 ]} العملية الثنائية على F هي دالة F × F → F ؛ حيث تُرسل كل زوج مرتب من عناصر F إلى عنصر محدد بشكل فريد في F. [ ^{2 ] [ 3 ] يُسمى} ناتج جمع a و b مجموع a و b ، ويُرمز له بـ a + b . ويُسمى ناتج ضرب a و b حاصل ضرب a و b ، ويُرمز له بـ a ⋅ b . يجب أن تحقق هاتان العمليتان الخصائص التالية، والتي تُسمى بديهيات الحقل .

يجب أن تتحقق هذه البديهيات لجميع العناصر a و b و c من الحقل F :

• خاصية التجميع للجمع والضرب: أ + ( ب + ج ) = ( أ + ب ) + ج ، و أ ⋅ ( ب ⋅ ج ) = ( أ ⋅ ب ) ⋅ ج .
• خاصية التبديل بين الجمع والضرب: أ + ب = ب + أ ، و أ ⋅ ب = ب ⋅ أ .
• العنصر المحايد الجمعي والضربي : توجد عناصر مميزة 0 و 1 في F بحيث يكون a + 0 = a و a ⋅ 1 = a .
• المعكوسات الجمعية : لكل عنصر a في F ، يوجد عنصر في F ، يُرمز له بـ − a ، ويسمى المعكوس الجمعي لـ a ، بحيث يكون a + (− a ) = 0 .
• المعكوسات الضربية : لكل a ≠ 0 في F ، يوجد عنصر في F ، يُرمز إليه بـ a ⁻¹ أو 1/ a ، ويسمى المعكوس الضربي لـ a ، بحيث يكون a ⋅ a ⁻¹ = 1 .
• خاصية التوزيع للضرب على الجمع: أ ⋅ ( ب + ج ) = ( أ ⋅ ب ) + ( أ ⋅ ج ) .

التعريف المكافئ ولكن الأكثر إيجازًا هو: الحقل هو مجموعة تحتوي على عمليتين تبديليتين، تُسميان الجمع والضرب، بحيث

• إنها مجموعة تحت عملية الجمع، ولها عنصر محايد جمعي يسمى 0 ؛
• تشكل العناصر غير الصفرية زمرة تحت عملية الضرب؛ و
• تتوزع عملية الضرب على عملية الجمع.

وبإيجاز أكثر: الحقل هو حلقة تبديلية يكون فيها 0 ≠ 1 وجميع العناصر غير الصفرية قابلة للعكس تحت الضرب.

يمكن تعريف الحقول بطرق مختلفة، ولكنها متكافئة. يمكن تعريف الحقل بأربع عمليات ثنائية (الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة) وخصائصها المطلوبة. القسمة على صفر مستبعدة بحكم التعريف. ^{[ 4 ]} لتجنب المُكمِّمات الوجودية ، يمكن تعريف الحقول بعمليتين ثنائيتين (الجمع والضرب)، وعمليتين أحاديتين (تُنتجان المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي على التوالي)، وعمليتين صفريتين ( الثابتان 0 و 1 ). تخضع هذه العمليات للشروط المذكورة أعلاه. يُعد تجنب المُكمِّمات الوجودية أمرًا بالغ الأهمية في الرياضيات البنائية والحوسبة . ^{[ 5 ]} يمكن تعريف الحقل بشكل مكافئ بنفس العمليتين الثنائيتين، وعملية أحادية واحدة (المعكوس الضربي)، وثابتين (ليس بالضرورة مختلفين) 1 و -1 ، حيث أن 0 = 1 + (-1) و- a = (-1) a . ^{[ a ]}

استُخدمت الأعداد النسبية على نطاق واسع لفترة طويلة قبل ظهور الحقول. وهي أعداد يمكن كتابتها على شكل كسور a / b ، حيث a و b عددان صحيحان ، و b ≠ 0. المعكوس الجمعي لهذا الكسر هو −a / b ، والمعكوس الضربي (بشرط أن a ≠ 0 ) هو b / a ، ويمكن توضيح ذلك كما يلي:

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}$

تُختزل بديهيات الحقل المطلوبة بشكل مجرد إلى خصائص قياسية للأعداد النسبية. على سبيل المثال، يمكن إثبات قانون التوزيع على النحو التالي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}$

تشكل الأعداد الحقيقية R ، مع عمليات الجمع والضرب المعتادة، حقلاً أيضاً. أما الأعداد المركبة C فتتكون من تعابير

أ + ب ، حيث أ و ب أعداد حقيقية.

حيث i هي الوحدة التخيلية ، أي عدد (غير حقيقي) يحقق i² = -1 . يُعرَّف جمع وضرب الأعداد الحقيقية بطريقة تجعل التعبيرات من هذا النوع تحقق جميع بديهيات الحقل، وبالتالي تنطبق على ^C. على سبيل المثال، يفرض قانون التوزيع

( أ + ب )( ج + د ) = أ ج + ب ج ج + أ د ط + ب د ط ² = ( أ ج - ب د ) + ( ب ج + أ د ) ط .

يتضح جليًا أن هذا تعبيرٌ من النوع المذكور أعلاه، ولذا تُشكّل الأعداد المركبة حقلًا. يمكن تمثيل الأعداد المركبة هندسيًا كنقاط في المستوى ، بإحداثيات ديكارتية تُحددها الأعداد الحقيقية للتعبير الذي يصفها، أو كأسهم من نقطة الأصل إلى هذه النقاط، مُحددة بطولها وزاوية محصورة باتجاه مُحدد. تُقابل عملية الجمع دمج الأسهم لتكوين متوازي الأضلاع البديهي (بجمع الإحداثيات الديكارتية)، بينما تُقابل عملية الضرب - بشكل أقل بديهية - دمج دوران الأسهم وتغيير حجمها (بجمع الزوايا وضرب الأطوال). تُستخدم حقول الأعداد الحقيقية والمركبة على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء والهندسة والإحصاء والعديد من التخصصات العلمية الأخرى.

في العصور القديمة، انصبّت العديد من المسائل الهندسية على إمكانية (أو عدم إمكانية) إنشاء أعداد معينة باستخدام الفرجار والمسطرة . على سبيل المثال، لم يكن معروفًا لدى الإغريق أنه من المستحيل، بشكل عام، تقسيم زاوية معينة إلى ثلاثة أجزاء متساوية بهذه الطريقة. يمكن حل هذه المسائل باستخدام حقل الأعداد القابلة للإنشاء . ^{[ 7 ]} الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء، بحسب تعريفها، هي أطوال قطع مستقيمة يمكن إنشاؤها من النقطتين 0 و1 في عدد محدود من الخطوات باستخدام الفرجار والمسطرة فقط . هذه الأعداد، المزودة بعمليات حقل الأعداد الحقيقية، والمقتصرة على الأعداد القابلة للإنشاء، تُشكّل حقلًا يشمل حقل الأعداد النسبية Q. يوضح الرسم التوضيحي إنشاء الجذور التربيعية للأعداد القابلة للإنشاء، والتي لا تقع بالضرورة ضمن Q. باستخدام التسميات في الرسم التوضيحي، أنشئ القطع المستقيمة AD و DB ونصف دائرة فوق AB (مركزها نقطة المنتصف O )، والتي تتقاطع مع الخط العمودي المار بالنقطة D في النقطة C ، على مسافة تساوي 1/2 بالضبط.${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$من النقطة B عندما يكون طول BD واحدًا.

ليست كل الأعداد الحقيقية قابلة للإنشاء. يمكن إثبات ذلك.${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ليس عددًا قابلاً للإنشاء، مما يعني أنه من المستحيل إنشاء طول جانب مكعب بحجم 2 باستخدام الفرجار والمسطرة ، وهي مشكلة أخرى طرحها الإغريق القدماء.

إلى جانب أنظمة الأعداد المألوفة كالأعداد النسبية، توجد أمثلة أخرى أقل وضوحًا للحقول. المثال التالي هو حقل يتكون من أربعة عناصر تُسمى O و I و A و B. تم اختيار الترميز بحيث يؤدي O دور العنصر المحايد الجمعي (المُشار إليه بـ 0 في البديهيات أعلاه)، و I هو العنصر المحايد الضربي (المُشار إليه بـ 1 في البديهيات أعلاه). يمكن التحقق من بديهيات الحقل باستخدام المزيد من نظرية الحقول، أو عن طريق الحساب المباشر. على سبيل المثال،

A ⋅ ( B + A ) = A ⋅ I = A ، وهو ما يساوي A ⋅ B + A ⋅ A = I + B = A ، كما هو مطلوب من خاصية التوزيع.

يُطلق على هذا الحقل اسم الحقل المنتهي أو حقل غالوا ذي العناصر الأربعة، ويُرمز له بـ _F⁴ أو GF (4) . ^{[ 8 ]} المجموعة الجزئية المكونة من O و I (المُظللة باللون الأحمر في الجداول على اليمين) هي أيضًا حقل، يُعرف باسم الحقل الثنائي F² أو GF(2 ₎ .

لدينا a ⋅ 0 = 0 و − a = (−1) ⋅ a . ^{[ 9 ]}

إذا كان ab = 0، ^فلا بد أن يكون a أو b مساويًا للصفر ، لأنه إذا كان ^a ≠ 0 ، فإن b = ( a⁻¹a ) b = ^a⁻¹ ( ab ) = a⁻¹ ⋅ 0 = 0. وهذا يعني أن كل حقل هو مجال تكاملي .

بالإضافة إلى ذلك، تنطبق الخصائص التالية على أي عنصرين a و b :

-0 = 0

1 ⁻¹ = 1

−(− أ ) = أ

( a − ¹ ) ^{− 1} = a إذا كان a ≠ 0

(− أ ) ⋅ ب = أ ⋅ (− ب ) = −( أ ⋅ ب )

تُشير بديهيات الحقل F إلى أنه زمرة تبديلية تحت عملية الجمع. تُسمى هذه الزمرة بالزمرة الجمعية للحقل، ويُرمز لها أحيانًا بالرمز ( F , +) ، بينما قد يكون استخدام F فقط مُربكًا.

وبالمثل، تشكل العناصر غير الصفرية في F زمرة تبديلية تحت الضرب، تسمى الزمرة الضربية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle (F\smallsetminus \{0\},\cdot )}$أو فقط${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$أو F ^× .

وبالتالي، يمكن تعريف الحقل بأنه مجموعة F مزودة بعمليتين يُشار إليهما بالجمع والضرب، بحيث تكون F مجموعة تبديلية تحت الجمع.${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$هي زمرة تبديلية تحت عملية الضرب (حيث 0 هو العنصر المحايد لعملية الجمع)، وعملية الضرب توزيعية على عملية الجمع. ^{[ ب ] بالتالي ،} يمكن الحصول على بعض العبارات الأولية حول الحقول بتطبيق الحقائق العامة للزمر . على سبيل المثال، يتم تحديد المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي −a و a −1 بشكل فريد بواسطة a .

يُفرض الشرط 1 ≠ 0 اصطلاحًا لاستبعاد الحلقة التافهة ، التي تتكون من عنصر واحد فقط؛ في الواقع، لا تُشكّل العناصر غير الصفرية في الحلقة التافهة (لا يوجد أي عنصر غير صفري) زمرة، لأن الزمرة يجب أن تحتوي على عنصر واحد على الأقل. ^{[ ج ]}

كل مجموعة فرعية منتهية من المجموعة الضربية لحقل ما هي دورية (انظر جذر الوحدة §  المجموعات الدورية ).

بالإضافة إلى ضرب عنصرين من F ، من الممكن تعريف حاصل ضرب n ⋅ a لعنصر عشوائي a من F في عدد صحيح موجب n على أنه المجموع n- المضاعف

a + a + ... + a (وهو عنصر من F .)

إذا لم يكن هناك عدد صحيح موجب بحيث

n ⋅ 1 = 0 ,

عندئذٍ يُقال إنّ الحقل F له خاصية صفر . ^{[ 11 ]} على سبيل المثال، حقل الأعداد النسبية Q له خاصية صفر، إذ لا يوجد عدد صحيح موجب n يساوي صفرًا. أما إذا وُجد عدد صحيح موجب n يحقق هذه المعادلة، فيمكن إثبات أن أصغر عدد صحيح موجب يحقق هذه المعادلة هو عدد أولي . يُرمز إليه عادةً بالرمز p ، ويُقال حينها إنّ الحقل له خاصية p . على سبيل المثال، الحقل F⁴ له خاصية 2، _لأنّ (وفقًا لترميز جدول الجمع أعلاه) I⁴ + I⁴ = صفر .

إذا كانت F تمتلك الخاصية p ، فإن p ⋅ a = 0 لجميع قيم a في F. وهذا يعني أن

( أ + ب ) ^ع = ع ^ع + ب ^ع ،

بما أن جميع معاملات ذات الحدين الأخرى التي تظهر في صيغة ذات الحدين قابلة للقسمة على p ، فإن a ^p  := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a (حيث p عدد من العوامل) هو القوة p ، أي حاصل الضرب p للعنصر a . لذلك، فإن خريطة فروبينيوس

F → F  : x ↦ x ^p

يتوافق هذا مع عملية الجمع في F (وكذلك مع عملية الضرب)، وبالتالي فهو تشاكل حقلي. ^{[ 12 ]} وجود هذا التشاكل يجعل الحقول ذات الخاصية p مختلفة تمامًا عن الحقول ذات الخاصية 0 .

الحقل الجزئي E من الحقل F هو مجموعة جزئية من F تُعتبر حقلاً بالنسبة لعمليات الحقل F. وبصورة مكافئة، E هي مجموعة جزئية من F تحتوي على 1 ، وهي مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب والمعكوس الجمعي والمعكوس الضربي لعنصر غير صفري. هذا يعني أن 1 ∈ E ، وأنه لكل a و b ∈ E، فإن كلاً من a + b و a ⋅ b ينتميان إلى E ، وأنه لكل a ≠ 0 في E ، فإن كلاً من −a و 1/ a ينتميان إلى E.

التشاكلات الحقلية هي دوال φ : E → F بين حقلين بحيث φ ( e1 + e2 ₎ = φ ( e1 ) + φ ( e2 ) ، و _φ ( e1e2 _{) =} φ ( _e1 ) _φ ( e2 ₎ ، و φ ( E1 ) = _{F ،} حيث e1 و e2 عنصران اختياريان من E. _جميع التشاكلات الحقلية أحادية . [ ^{13 ] إذا} كانت φ شاملة أيضًا _، فإنها تُسمى تشاكلًا (أو يُسمى الحقلان E و F متماثلين) _.

يُسمى الحقل حقلاً أولياً إذا لم يكن له حقول جزئية فعلية (أي أصغر منه تماماً). أي حقل F يحتوي على حقل أولي. إذا كانت خاصية F هي p (عدد أولي)، ^فإن الحقل الأولي يكون متماثلاً مع الحقل المنتهي Fp المُعرَّف أدناه. وإلا _، فإن الحقل الأولي يكون متماثلاً مع Q. [ ^{14 ]}

الحلقة التبديلية هي مجموعة مزودة بعمليتي الجمع والضرب، وتفي بجميع بديهيات الحقل، باستثناء وجود المعكوسات الضربية a ⁻¹ . ^{[ 26 ]} على سبيل المثال، تشكل الأعداد الصحيحة Z حلقة تبديلية، ولكنها ليست حقلاً: مقلوب العدد الصحيح n ليس عددًا صحيحًا بحد ذاته، إلا إذا كان n = ±1 .

في التسلسل الهرمي للبنى الجبرية، يمكن تعريف الحقول بأنها الحلقات التبديلية R التي يكون فيها كل عنصر غير صفري عنصرًا محايدًا (أي أن كل عنصر قابل للعكس). وبالمثل، فإن الحقول هي الحلقات التبديلية التي تحتوي على مثاليين متميزين فقط ، هما (0) و R. كما أن الحقول هي تحديدًا الحلقات التبديلية التي يكون فيها (0) هو المثالي الأولي الوحيد .

بالنظر إلى حلقة تبديلية R ، توجد طريقتان لإنشاء حقل مرتبط بـ R ، أي طريقتان لتعديل R بحيث تصبح جميع العناصر غير الصفرية قابلة للعكس: تكوين حقل الكسور، وتكوين حقول البواقي. حقل الكسور في Z هو Q ، أي الأعداد النسبية، بينما حقول البواقي في Z هي الحقول المنتهية F _p .

يمكن إنشاء الحقول داخل حقل حاوية أكبر. لنفترض وجود حقل E ، وحقل F يحتوي على E كحقل فرعي. لأي عنصر x من F ، يوجد أصغر حقل فرعي من F يحتوي على E و x ، يُسمى الحقل الفرعي لـ F المُوَلَّد بواسطة x ويُرمز له بـ E ( x ) . ^{[ 29 ]} يُشار إلى الانتقال من E إلى E ( x ) بإلحاق عنصر بـ E. وبشكل أعم، بالنسبة لمجموعة جزئية S ⊂ F ، يوجد حقل فرعي أدنى من F يحتوي على E و S ، ويُرمز له بـ E ( S ) .

الحقل المركب لحقلين جزئيين E و E ′ من حقل ما F هو أصغر حقل جزئي من F يحتوي على كل من E و E ′ . يمكن استخدام الحقل المركب لإنشاء أكبر حقل جزئي من F يحقق خاصية معينة، على سبيل المثال ^، أكبر حقل جزئي من F ، والذي يكون، وفقًا للمصطلحات الواردة أدناه، جبريًا على E. ^{[ د} ]

يمكن أيضًا النظر إلى مفهوم الحقل الجزئي E ⊂ F من وجهة نظر معاكسة، وذلك بالإشارة إلى أن F هو امتداد حقل (أو مجرد امتداد) لـ E ، ويرمز له بـ

F / E ،

واقرأ " F فوق E ".

من المعطيات الأساسية لامتداد الحقل درجته [ F :  E ] ، أي بُعد F كفضاء متجهي E. وهو يحقق الصيغة ^{[ 30 ] .}

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] .

Extensions whose degree is finite are referred to as finite extensions. The extensions C / R and F₄ / F₂ are of degree 2, whereas R / Q is an infinite extension.

يكون الحقل مغلقًا جبريًا إذا لم يكن له أي امتدادات جبرية أكبر منه تمامًا، أو بصورة مكافئة، إذا لم يكن لأي معادلة متعددة الحدود

f _n x ⁿ + f _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + f ₁ x + f ₀ = 0 ، بمعاملات f _n ، ...، f ₀ ∈ F ، n > 0 ،

للمعادلة حل x ∈ F. ^{[ 33 ]} وبحسب النظرية الأساسية للجبر ، فإن C مجموعة مغلقة جبريًا، أي أن أي معادلة متعددة الحدود ذات معاملات مركبة لها حل مركب. أما مجموعتا الأعداد النسبية والحقيقية فليستا مجموعتين مغلقتين جبريًا لأن المعادلة

س ² + 1 = 0

ليس لها أي حل منطقي أو حقيقي. يُطلق على الحقل الذي يحتوي على F اسم الإغلاق الجبري لـ F إذا كان جبريًا على F (بمعنى أدق، ليس كبيرًا جدًا مقارنة بـ F ) ومغلقًا جبريًا (كبيرًا بما يكفي لاحتواء حلول جميع المعادلات متعددة الحدود).

بناءً على ما سبق، فإن C هو إغلاق جبري لـ R. ومن الأمور المميزة أن يكون الإغلاق الجبري لحقل ما F امتدادًا منتهيًا لـ F ، لأنه وفقًا لنظرية آرتين-شراير ، فإن درجة هذا الامتداد هي بالضرورة 2 ، و F مكافئ بشكل أساسي لـ R. تُعرف هذه الحقول أيضًا باسم الحقول المغلقة الحقيقية .

أي حقل F له إغلاق جبري، وهو فريد حتى التشاكل (غير الفريد). يُشار إليه عادةً بالإغلاق الجبري ويُرمز له بـ F. على سبيل المثال، يُسمى الإغلاق الجبري Q لـ Q حقل الأعداد الجبرية . عادةً ما يكون الحقل F ضمنيًا إلى حد ما، لأن بناءه يتطلب مبرهنة المرشح الفائق ، وهي بديهية في نظرية المجموعات أضعف من بديهية الاختيار . ^{[ 34 ]} في هذا السياق، يُعد الإغلاق الجبري لـ F( _q ) بسيطًا للغاية. فهو اتحاد الحقول المنتهية التي تحتوي على F( _q) (الحقول من الرتبة qⁿ ⁾ . لأي حقل مغلق جبريًا F ذي خاصية 0 ، فإن الإغلاق الجبري لحقل متسلسلات لوران F ( t ) هو حقل متسلسلات بويزو ، الذي يُحصل عليه بتجاور جذور t . ^{[ 35 ]}

يُسمى الحقل F حقلاً مرتباً إذا أمكن مقارنة أي عنصرين فيه بحيث يكون x + y ≥ 0 و xy ≥ 0 عندما يكون x ≥ 0 و y ≥ 0. على سبيل المثال، تُشكل الأعداد الحقيقية حقلاً مرتباً، مع الترتيب المعتاد ≥ . تنص نظرية آرتن-شراير على أن الحقل يكون مرتباً إذا وفقط إذا كان حقلاً حقيقياً شكلياً ، مما يعني أن أي معادلة تربيعية فيه تكون مرتبة. 

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$

لها حل وحيد هو x ₁ = x ₂ = ⋯ = x _n = 0. [ ^{36 ] مجموعة} جميع الترتيبات الممكنة على حقل ثابت F متماثلة مع مجموعة تشاكلات الحلقات من حلقة ويت W( F ) للأشكال التربيعية على F ، ^إلى Z. ^{[ 37} ]

الحقل الأرخميدي هو حقل مرتب بحيث يوجد لكل عنصر تعبير منتهٍ

1 + 1 + ⋯ + 1

whose value is greater than that element, that is, there are no infinite elements. Equivalently, the field contains no infinitesimals (elements smaller than all rational numbers); or, yet equivalent, the field is isomorphic to a subfield of R.

An ordered field is Dedekind-complete if all upper bounds, lower bounds (see Dedekind cut) and limits, which should exist, do exist. More formally, each bounded subset of F is required to have a least upper bound. Any complete field is necessarily Archimedean,^[38] since in any non-Archimedean field there is neither a greatest infinitesimal nor a least positive rational, whence the sequence 1/2, 1/3, 1/4, ..., every element of which is greater than every infinitesimal, has no limit.

Since every proper subfield of the reals also contains such gaps, R is the unique complete ordered field, up to isomorphism.^[39] Several foundational results in calculus follow directly from this characterization of the reals.

The hyperrealsR^* form an ordered field that is not Archimedean. It is an extension of the reals obtained by including infinite and infinitesimal numbers. These are larger, respectively smaller than any real number. The hyperreals form the foundational basis of non-standard analysis.

Another refinement of the notion of a field is a topological field, in which the set F is a topological space, such that all operations of the field (addition, multiplication, the maps a ↦ −a and a ↦ a⁻¹) are continuous maps with respect to the topology of the space.^[40] The topology of all the fields discussed below is induced from a metric, i.e., a function

d : F × F → R,

that measures a distance between any two elements of F.

إكمال الحقل F هو مجال آخر، يُملأ فيه، بشكل غير رسمي، "الفجوات" الموجودة في الحقل الأصلي F ، إن وُجدت. على سبيل المثال، أي عدد غير نسبي x ، مثل x = √2 ، يُعد "فجوة" في حقل الأعداد النسبية Q ، بمعنى أنه ليس جزءًا من Q، ولكن توجد أعداد نسبية قريبة منه بشكل عشوائي، بمسافة تُحددها القيمة المطلقة. إكمال Q للمقياس المُعرَّف بالقيمة المطلقة هو حقل الأعداد الحقيقية R ، ويتألف بناء الأعداد الحقيقية من خلال متتابعات كوشي أساسًا من إدخال أعداد جديدة لملء جميع هذه الفجوات.

يُستخدم الحقل Q_{_p} في نظرية الأعداد والتحليل p -adic . يحمل الإغلاق الجبري Q_{_p} معيارًا فريدًا يمتد من المعيار الموجود على Q_{_p} ، ولكنه ليس كاملًا. مع ذلك، فإن إكمال هذا الإغلاق الجبري مغلق جبريًا. نظرًا لتشابهه التقريبي مع الأعداد المركبة، يُطلق عليه أحيانًا اسم الأعداد p -adic المركبة ويُرمز له بـ C_{_p} . ^{[ 41 ]}

الحقول التفاضلية هي حقول مزودة باشتقاق ، أي مؤثر D بحيث $${\displaystyle \mathbf {D} (ab)=\mathbf {D} (a)b+a\mathbf {D} (b)}$$ لجميع العناصر a و b في الحقل. ^{[ 44 ]} على سبيل المثال، يشكل الحقل R ( X ) ، بالإضافة إلى مؤثر الاشتقاق القياسي D على كثيرات الحدود، حقلاً تفاضلياً. تُعد هذه الحقول أساسية في نظرية غالوا التفاضلية ، وهي شكل من أشكال نظرية غالوا التي تتعامل مع المعادلات التفاضلية الخطية .

في نظرية النماذج ، وهي فرع من المنطق الرياضي ، يُقال إن حقلين E و F متكافئان أساسيًا إذا كانت كل عبارة رياضية صحيحة في E صحيحة أيضًا في F ، والعكس صحيح. ويُشترط أن تكون العبارات الرياضية المعنية جملًا من الدرجة الأولى (تتضمن 0 و 1 والجمع والضرب). مثال نموذجي، حيث n > 0 ، و n عدد صحيح، هو

φ ( E ) = "أي متعددة حدود من الدرجة n في E لها جذر في E "

تُعبّر مجموعة هذه الصيغ لجميع قيم n عن كون E حقلاً مغلقاً جبرياً. ينص مبدأ ليفشيتز على أن C مكافئٌ جبرياً لأي حقل F مغلق جبرياً ذي خاصية صفرية. علاوة على ذلك، فإن أي عبارة ثابتة φ تتحقق في C إذا وفقط إذا تحققت في أي حقل مغلق جبرياً ذي خاصية عالية كافية. ^{[ 50 ]}

إذا كان U مرشحًا فائقًا على مجموعة I ، وكان F _{_i} حقلًا لكل i في I ، فإن حاصل الضرب الفائق لـ F _{_i} بالنسبة إلى U هو حقل. ^{[ 51 ]} ويُرمز له بـ

ulim _{i →∞} F _i ,

بما أنها تتصرف بعدة طرق كنهاية للحقول F _i ، تنص نظرية Łoś على أن أي عبارة من الدرجة الأولى صحيحة لجميع F _i باستثناء عدد محدود منها، صحيحة أيضًا بالنسبة للضرب الفائق. بتطبيق ذلك على الجملة φ أعلاه ، يتضح وجود تماثل ^{[ f ].}

${\displaystyle \operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .}$

وتنتج نظرية Ax–Kochen المذكورة أعلاه أيضًا من هذا وتماثل الضرب الفائق (في كلتا الحالتين على جميع الأعداد الأولية p ).

ulim _p Q _p ≅ ulim _p F _p (( t )) .

بالإضافة إلى ذلك، تدرس نظرية النماذج أيضًا الخصائص المنطقية لأنواع أخرى مختلفة من الحقول، مثل الحقول المغلقة الحقيقية أو الحقول الأسية (المجهزة بدالة أسية exp  : F → F ^× ). ^{[ 52 ]}

بالنسبة للحقول غير المغلقة جبريًا (أو غير القابلة للفصل)، تُعدّ زمرة غالوا المطلقة Gal( F ) ذات أهمية جوهرية: فبتوسيع حالة امتدادات غالوا المنتهية الموضحة أعلاه، تحكم هذه الزمرة جميع الامتدادات المنفصلة المنتهية لـ F. وبوسائل أولية، يمكن إثبات أن الزمرة _Gal ( Fq ₎ هي زمرة بروفر ، وهي الإكمال شبه المنتهي لـ Z. يتضمن هذا البيان حقيقة أن الامتدادات الجبرية الوحيدة لـ Gal( Fq ) هي الحقول Gal( _{Fqn ⁾} حيث n > 0 ، وأن زمر غالوا لهذه الامتدادات المنتهية تُعطى بواسطة

Gal( F _{q ⁿ} / F _q ) = Z / n Z .

كما يُعرف وصفٌ من حيث المولدات والعلاقات لمجموعات غالوا لحقول الأعداد p -adic (الامتدادات المنتهية لـ Q _p ). ^{[ 53 ]}

تُعدّ تمثيلات زمر غالوا والزمر ذات الصلة، مثل زمرة ويل، أساسية في العديد من فروع الحساب، مثل برنامج لانغلاندز . وتُجرى الدراسة التماثلية لهذه التمثيلات باستخدام تماثل غالوا . ^{[ 54 ]} على سبيل المثال، يمكن إعادة تفسير زمرة براور ، التي تُعرَّف تقليديًا بأنها زمرة الجبر المركزي البسيط من النوع F ، على أنها زمرة تماثل غالوا، أي

Br( F ) = H ² ( F , G _m ) .

تُعرَّف نظرية ميلنور K على النحو التالي:

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\left\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\right\rangle .}$

تربط نظرية تماثل البقايا المعيارية ، التي أثبتها فلاديمير فويفودسكي حوالي عام 2000 ، هذا الأمر بعلم التماثل لغالوا عن طريق التماثل.

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).}$

ترتبط نظرية K الجبرية بمجموعة المصفوفات القابلة للعكس ذات المعاملات في الحقل المعطى. على سبيل المثال، تؤدي عملية حساب محدد مصفوفة قابلة للعكس إلى تماثل K₁ ( F ) = F ^× . تُبين نظرية ماتسوموتو أن _K₂ ( F ) تتطابق مع K₂M ( F ) . في الدرجات الأعلى، تتباعد نظرية K عن نظرية _{ميلنور K} ، ويبقى حسابها صعبًا بشكل ^عام _.

إذا كانت قيمة a لا تساوي صفرًا ، فإن المعادلة

ax = b

يوجد حل وحيد x في الحقل F ، وهو${\displaystyle x=a^{-1}b.}$تُعدّ هذه النتيجة المباشرة لتعريف الحقل أساسية في الجبر الخطي . فعلى سبيل المثال، هي عنصر أساسي في عملية الحذف الغاوسي وفي إثبات أن أي فضاء متجهي له أساس . ^{[ 55 ]}

تُعدّ نظرية الوحدات (المُماثلة للفضاءات المتجهة على الحلقات بدلاً من الحقول) أكثر تعقيداً بكثير، لأن المعادلة المذكورة أعلاه قد يكون لها عدة حلول أو لا حلول لها على الإطلاق. وعلى وجه الخصوص، فإن أنظمة المعادلات الخطية على حلقة ما أصعب بكثير في الحل مقارنةً بحالة الحقول، حتى في الحالة البسيطة للغاية لحلقة الأعداد الصحيحة Z.

تعتمد إحدى الخوارزميات التشفيرية واسعة الانتشار على حقيقة أن عملية الأسس المنفصلة، ​​أي حساب

a ⁿ = a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( n عوامل، لعدد صحيح n ≥ 1 )

في حقل محدود (كبير)، يمكن إجراء F _q بكفاءة أكبر بكثير من اللوغاريتم المتقطع ، وهو العملية العكسية، أي تحديد الحل n لمعادلة

a ⁿ = b .

في التشفير باستخدام المنحنيات الإهليلجية ، يتم استبدال عملية الضرب في حقل منتهٍ بعملية جمع النقاط على منحنى إهليلجي ، أي حلول معادلة من الشكل التالي:

y ² = x ³ + ax + b .

تُستخدم الحقول المنتهية أيضًا في نظرية الترميز والتوافقية .

يمكن جمع الدوال على فضاء طوبولوجي مناسب X في حقل F وضربها نقطيًا، على سبيل المثال، يتم تعريف حاصل ضرب دالتين من خلال حاصل ضرب قيمهما داخل المجال:

( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

وهذا يجعل هذه الدوال جبرًا تبادليًا من النوع F.

للحصول على حقل من الدوال، يجب النظر في جبر الدوال التي تمثل مجالات تكاملية . في هذه الحالة، تكون نسب دالتين، أي التعبيرات من الشكل

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

تشكل حقلاً يسمى حقل الدوال.

يحدث هذا في حالتين رئيسيتين. عندما يكون X متعدد شعب معقد X. في هذه الحالة، يُنظر في جبر الدوال الهولومورفية ، أي الدوال القابلة للتفاضل ذات القيم المعقدة. تشكل نسبها حقل الدوال الميرومورفية على X.

يتكون حقل الدوال لمتنوعة جبرية X (وهي كائن هندسي يُعرَّف بأنه الأصفار المشتركة لمعادلات متعددة الحدود) من نسب الدوال المنتظمة _، أي نسب دوال متعددة الحدود على تلك المتنوعة. على سبيل المثال، حقل الدوال للفضاء المتجهي ذي البعد n _، Fₙ ^، على حقل F هو F ( x₁ , ..., xₙ ) : وهو الحقل الذي يتكون من نسب كثيرات الحدود في n متغيرات غير محددة على F. حقل الدوال لـ X هو نفسه حقل الدوال لأي متنوعة فرعية مفتوحة وكثيفة. بعبارة أخرى، لا يتأثر حقل الدوال باستبدال X بمتنوعة فرعية (أصغر قليلاً).

حقل الدوال ثابت تحت التشاكل والتكافؤ الثنائي النسبي للأصناف. ولذلك، فهو أداة مهمة لدراسة الأصناف الجبرية المجردة وتصنيفها. على سبيل المثال، البُعد ، الذي يساوي درجة التجاوز لـ F ( X ) ، ثابت تحت التكافؤ الثنائي النسبي. ^{[ 56 ]} بالنسبة للمنحنيات (أي عندما يكون البُعد واحدًا)، يكون حقل الدوال F ( X ) قريبًا جدًا من X : إذا كان X أملسًا ومناسبًا (أي ما يُشابه كونه مضغوطًا )، فيمكن إعادة بناء X ، حتى التشاكل، من حقل دواله. ^{[ g ]} في الأبعاد الأعلى ، يحتفظ حقل الدوال بمعلومات أقل، ولكنها لا تزال حاسمة، حول X. تُعرف دراسة حقول الدوال ومعناها الهندسي في الأبعاد الأعلى بالهندسة الثنائية النسبية . يحاول برنامج النموذج الأدنى تحديد أبسط الأصناف الجبرية (بمعنى دقيق معين) باستخدام حقل دوال مُحدد.

تحظى الحقول العامة باهتمام كبير في نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الحسابية . وهي، بحكم تعريفها، حقول أعداد (امتدادات منتهية لـ Q ) أو حقول دوال على F _q (امتدادات منتهية لـ F _q ( t ) ). وكما هو الحال مع الحقول المحلية، يشترك هذان النوعان من الحقول في العديد من الخصائص المتشابهة، على الرغم من أن خصائصهما تساوي صفرًا وخصائصهما موجبة على التوالي. يمكن أن يساعد هذا التشبيه بحقول الدوال في صياغة التوقعات الرياضية، غالبًا من خلال فهم مسائل حقول الدوال أولًا، ثم معالجة حالة حقول الأعداد لاحقًا. غالبًا ما تكون الأخيرة أكثر صعوبة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار فرضية ريمان المتعلقة بأصفار دالة زيتا لريمان (التي كانت مفتوحة حتى عام 2017) موازية لتخمينات ويل (التي أثبتها بيير ديلين عام 1974 ).

تُعدّ الحقول الدائرية _{من بين أكثر حقول الأعداد دراسةً. وهي تأخذ الشكل Q(ζn)، حيث ζn} ^هو جذر أولي من الرتبة _n للوحدة ، أي عدد مركب ζ يحقق الشرطين ζn = 1 و ζm ≠ 1 لجميع قيم m حيث 0 < ^m < n . ^{[ 57 ]} عندما يكون n عددًا أوليًا منتظمًا ، استخدم كومر الحقول الدائرية لإثبات نظرية فيرما الأخيرة ، التي تنص على عدم وجود حلول نسبية غير صفرية للمعادلة

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ .

الحقول المحلية هي إكمالات للحقول العالمية. تنص نظرية أوستروفسكي على أن الإكمالات الوحيدة للحقل العالمي Q هي الحقول المحلية Qp و R. يمكن أحيانًا دراسة المسائل الحسابية في الحقول العالمية من خلال النظر إلى المسائل المقابلة محليًا. تُعرف هذه التقنية بمبدأ المحلي-العالمي . على سبيل المثال، تُختزل نظرية هاس -مينكوفسكي مشكلة إيجاد حلول نسبية للمعادلات التربيعية إلى حل هذه المعادلات في R و _{Qp ،} حيث يمكن وصف حلولها بسهولة. ^{[ 58 ]}

على عكس الحقول المحلية، فإن زمر غالوا للحقول العالمية غير معروفة. تدرس نظرية غالوا العكسية المسألة (غير المحلولة) ما إذا كانت أي زمرة منتهية هي زمرة غالوا Gal( F / Q ) لحقل عددي F ما . ^{[ 59 ]} تصف نظرية حقل الأصناف الامتدادات الأبيلية ، أي تلك التي لها زمرة غالوا أبيلية، أو ما يكافئها زمر غالوا الأبيلية للحقول العالمية. يصف بيان كلاسيكي، وهو مبرهنة كرونكر-ويبر ، الامتداد الأبلي الأقصى Q ^لـ Q : إنه الحقل

Q ( ζ _n , n ≥ 2)

يتم الحصول عليها عن طريق ضم جميع الجذور الأولية من الرتبة n للوحدة. يطلب كتاب كرونكر "حلم الشباب" وصفًا صريحًا مماثلًا لـ F ^ab لحقول الأعداد العامة F. بالنسبة للحقول التربيعية التخيلية ،${\displaystyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$عندما يكون d > 0 ، تصف نظرية الضرب المركب F ^ab باستخدام المنحنيات الإهليلجية . أما بالنسبة لحقول الأعداد العامة، فلا يوجد وصف صريح مماثل معروف.

يؤدي حذف أحد أو أكثر من بديهيات تعريف الحقل إلى بنى جبرية أخرى. وكما ذُكر سابقًا، تُحقق الحلقات التبديلية جميع بديهيات الحقل باستثناء وجود المعكوسات الضربية. ويؤدي حذف تبديلية الضرب إلى مفهوم حلقة القسمة أو الحقل المائل ؛ وفي بعض الأحيان تُضعف خاصية التجميع أيضًا. تاريخيًا، كانت حلقات القسمة تُسمى أحيانًا "حقولًا"، بينما كانت الحقول تُسمى "حقولًا تبديلية". حلقات القسمة الوحيدة التي تُمثل فضاءات متجهة R ذات بُعد محدود هي R نفسها، و C (وهو حقل)، والأعداد الرباعية H (التي يكون فيها الضرب غير تبديلي). تُعرف هذه النتيجة بنظرية فروبينيوس . أما الأعداد الثمانية O ، التي لا يكون فيها الضرب تبديليًا ولا تجميعيًا، فهي جبر قسمة بديل معياري ، ولكنها ليست حلقة قسمة. وقد تم إثبات هذه الحقيقة باستخدام أساليب الطوبولوجيا الجبرية في عام 1958 من قبل ميشيل كيرفاير وراؤول بوت وجون ميلنور . ^{[ 62 ]}

تنص نظرية ويدربورن الصغيرة على أن جميع حلقات القسمة المنتهية هي حقول.