تصفية المقامات

في الرياضيات ، طريقة التخلص من المقامات ، والتي تسمى أيضًا التخلص من الكسور ، هي تقنية لتبسيط معادلة تساوي تعبيرين كل منهما عبارة عن مجموع تعبيرات نسبية - والتي تشمل الكسور البسيطة .

ضع في اعتبارك المعادلة

${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.}$

أصغر مضاعف مشترك للمقامين 6 و 15 هو 30 ، لذلك نضرب كلا الطرفين في 30 :

${\displaystyle 5xz+2y=30z.\,}$

والنتيجة هي معادلة لا تحتوي على كسور.

المعادلة المبسطة ليست مكافئة تمامًا للمعادلة الأصلية. فعند استبدال y = 0 و z = 0 في المعادلة الأخيرة، يتبسط كلا الطرفين إلى صفر، فنحصل على 0 = 0 ، وهي حقيقة رياضية. لكن تطبيق نفس الاستبدال على المعادلة الأصلية ينتج عنه x /6 + 0/0 = 1 ، وهو أمر لا معنى له رياضيًا .

دون فقدان للعمومية ، يمكننا أن نفترض أن الجانب الأيمن من المعادلة هو 0، حيث يمكن إعادة كتابة المعادلة E ₁ = E ₂ بشكل مكافئ في الشكل E ₁ − E ₂ = 0 .

لنفترض أن المعادلة تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.}$

الخطوة الأولى هي تحديد المقام المشترك D لهذه الكسور - ويفضل أن يكون المقام المشترك الأصغر ، وهو المضاعف المشترك الأصغر لـ Q _i .

هذا يعني أن كل Q _i هو عامل من عوامل D ، لذا فإن D = R _i Q _i لبعض التعبيرات R _i التي ليست كسرًا.

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,}$

بشرط ألا تأخذ R _i Q _i القيمة 0 - وفي هذه الحالة فإن D تساوي 0 أيضًا.

إذن لدينا الآن

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

بشرط ألا تأخذ D القيمة 0، فإن المعادلة الأخيرة مكافئة لـ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,}$

حيث اختفت المقامات.

كما هو موضح في الشروط، يجب توخي الحذر لعدم إدخال أصفار D - التي تُعتبر دالة للمجاهيل في المعادلة - كحلول زائفة .

ضع في اعتبارك المعادلة

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.}$

المقام المشترك الأصغر هو x ( x + 1)( x + 2) .

اتباع الطريقة الموضحة أعلاه يؤدي إلى

${\displaystyle (x+2)+(x+1)-x=0.}$

بتبسيط هذا أكثر نحصل على الحل x = −3 .

من السهل التحقق من أن أيًا من أصفار x ( x + 1)( x + 2) - وهي x = 0 ، x = −1 ، و x = −2 - ليس حلاً للمعادلة النهائية، لذلك لم يتم إدخال أي حلول زائفة.

• ريتشارد ن. أوفمان؛ جوان لوكوود (2012). الجبر: المستوى المبتدئ والمتوسط ​​(  الطبعة الثالثة). سينجايج ليرنينج. ص  88. ISBN 978-1-133-70939-8.