دون الإخلال بعمومية الموضوع

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُستخدم مصطلح "بدون فقدان للعمومية" ( WOLOG أو WLOG أو wlog ؛ ويُستخدم أحيانًا " بدون أي فقدان للعمومية" أو "بدون فقدان للعمومية" ) للدلالة على افتراض أن ما يلي مُختارٌ بشكلٍ اعتباطي، مما يُضيّق نطاق المقدمة إلى حالةٍ مُحددة، ولكنه لا يُؤثر على صحة البرهان بشكلٍ عام. الحالات الأخرى مُشابهةٌ بشكلٍ كافٍ للحالة المعروضة بحيث يُمكن إثباتها بنفس المنطق تقريبًا. [ 1 ] ونتيجةً لذلك، بمجرد تقديم برهانٍ للحالة المُحددة، يُصبح من السهل تكييفه لإثبات النتيجة في جميع الحالات الأخرى.

في كثير من الحالات، يُصبح استخدام عبارة "دون فقدان للعمومية" ممكنًا بفضل وجود التناظر . [ 2 ] على سبيل المثال، إذا عُلم أن خاصية ما P ( x , y ) للأعداد الحقيقية متناظرة بالنسبة لـ x و y ، أي أن P ( x , y ) تُكافئ P ( y , x )، فعند إثبات أن P ( x , y ) صحيحة لكل x و y ، يُمكن افتراض "دون فقدان للعمومية" أن x ≤ y . لا يوجد فقدان للعمومية في هذا الافتراض، لأنه بمجرد إثبات الحالة x ≤ y ⇒ P ( x , y )، تُستنتج الحالة الأخرى بتبديل x و y : y ≤ x ⇒ P ( y , x )، وبسبب تناظر P ، فإن هذا يستلزم P ( x , y )، مما يُبين أن P ( x , y ) صحيحة في جميع الحالات.

من جهة أخرى، إذا تعذر إثبات هذا التناظر أو أي شكل آخر من أشكال التكافؤ، فإن استخدام عبارة "دون فقدان للعمومية" يكون غير صحيح، وقد يرقى إلى مستوى البرهان بالمثال - وهو مغالطة منطقية تتمثل في إثبات ادعاء ما من خلال إثبات مثال غير تمثيلي. [ 3 ]

مثال

لننظر في النظرية التالية (وهي حالة من حالات مبدأ خانة الحمام ):

إذا تم طلاء ثلاثة أشياء إما باللون الأحمر أو الأزرق، فيجب أن يكون هناك على الأقل شيئان من نفس اللون.

دليل على ذلك:

لنفترض، دون الإخلال بعمومية المسألة، أن الجسم الأول أحمر. إذا كان أي من الجسمين الآخرين أحمر، فقد انتهينا؛ وإذا لم يكن كذلك، فيجب أن يكون الجسمان الآخران أزرقين، ونظل قد انتهينا.

تنجح الحجة السابقة لأنه يمكن تطبيق نفس المنطق في حال افتراض بديل، وهو أن الجسم الأول أزرق، أو، على نحو مماثل، إمكانية استبدال كلمتي "أحمر" و"أزرق" بحرية في صياغة البرهان. ونتيجة لذلك، فإن استخدام عبارة "دون الإخلال بعمومية البرهان" صحيح في هذه الحالة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ شارتراند، غاري ؛ بوليميني، ألبرت د.؛ تشانغ، بينغ (2008). البراهين الرياضية / مدخل إلى الرياضيات المتقدمة (الطبعة الثانية  ). بيرسون/أديسون ويسلي. الصفحات 80-81 . ISBN  978-0-321-39053-0.
  2. ^ ديكسترا ، إدسجر دبليو (1997). "WLOG، أو بؤس الزوج غير المرتب (EWD1223)". في بروي، مانفريد؛ شيدر ، بيرجيت (محرران). الأساليب الرياضية في تطوير البرامج (PDF) . سلسلة ASI لحلف الناتو F: علوم الكمبيوتر والأنظمة. المجلد. 158. سبرينغر. الصفحات من 33 إلى 34. دوى : 10.1007/978-3-642-60858-2_9 . رقم ISBN   978-3-642-64588-4.
  3. ↑ "متباينة غير دورية في ثلاثة متغيرات" . www.cut-the-knot.org . تاريخ الاسترجاع: 21-10-2019 .