التركيب (التوافقية)

في الرياضيات ، يُعرَّف تركيب العدد الصحيح n بأنه طريقة لكتابة n كمجموع متتالية من الأعداد الصحيحة الموجبة . تُعرِّف متتاليتان تختلفان في ترتيب حدودهما تركيبين مختلفين لمجموعهما، مع أنهما تُعتبران مُعرِّفتين لنفس التقسيم الصحيح لذلك العدد. لكل عدد صحيح عدد محدود من التركيبات المختلفة. لا توجد تركيبات للأعداد السالبة، ولكن للصفر تركيب واحد، وهو المتتالية الفارغة. لكل عدد صحيح موجب n عدد 2 ^{^n - 1} من التركيبات المختلفة.

التركيب الضعيف لعدد صحيح n يُشبه تركيب n ، لكنه يسمح بأن تكون حدود المتتالية أصفارًا: إنه طريقة لكتابة n كمجموع متتالية من الأعداد الصحيحة غير السالبة . ونتيجةً لذلك، يقبل كل عدد صحيح موجب عددًا لا نهائيًا من التراكيب الضعيفة (إذا لم يكن طولها محدودًا). ​​عادةً لا يُعتبر إضافة عدد من الحدود يساوي صفرًا إلى نهاية تركيب ضعيف تعريفًا لتركيب ضعيف مختلف؛ بمعنى آخر، يُفترض أن التراكيب الضعيفة تُمدد ضمنيًا إلى ما لا نهاية بحدود قيمتها  صفر.

ولزيادة التعميم، فإن التركيب المقيد بـ A لعدد صحيح n ، لمجموعة جزئية A من الأعداد الصحيحة (غير السالبة أو الموجبة)، هو مجموعة مرتبة من عنصر واحد أو أكثر في A مجموعها يساوي n . ^{[ 1 ]}

المؤلفات الستة عشر المكونة من 5 هي:

• 5
• 4 + 1
• 3 + 2
• 3 + 1 + 1
• 2 + 3
• 2 + 2 + 1
• 2 + 1 + 2
• 2 + 1 + 1 + 1
• 1 + 4
• 1 + 3 + 1
• 1 + 2 + 2
• 1 + 2 + 1 + 1
• 1 + 1 + 3
• 1 + 1 + 2 + 1
• 1 + 1 + 1 + 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

قارن هذا بالتقسيمات السبعة للعدد 5:

• 5
• 4 + 1
• 3 + 2
• 3 + 1 + 1
• 2 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

من الممكن وضع قيود على أجزاء التراكيب. على سبيل المثال، التراكيب الخمسة للعدد 5 إلى مصطلحات مميزة هي:

• 5
• 4 + 1
• 3 + 2
• 2 + 3
• 1 + 4.

يُعتبر التركيب الفارغ، اصطلاحًا، التركيب الوحيد للصفر، ولا توجد تركيبات للأعداد الصحيحة السالبة. يوجد 2^ ^{n - 1} تركيبًا حيث n ≥ 1؛ إليك البرهان:  

وضع علامة زائد أو فاصلة في كل مربع من مربعات المصفوفة n − 1  

${\displaystyle {\big (}\,\overbrace {1\,\square \,1\,\square \,\ldots \,\square \,1\,\square \,1} ^{n}\,{\big )}}$

ينتج عن كل تركيب من n تركيبة فريدة . في المقابل، يحدد كل تركيب من n توزيعًا للعلامات الموجبة والفواصل. وبما أن هناك n - 1 خيارًا ثنائيًا، فإن النتيجة صحيحة. وتُبين الحجة نفسها أن عدد تركيبات n إلى k جزءًا بالضبط ( تركيب k ) يُعطى بمعامل ذي الحدين.  ${\displaystyle {n-1 \choose k-1}}$لاحظ أنه من خلال الجمع على جميع الأعداد الممكنة للأجزاء، نحصل على 2n ^{− 1} كعدد إجمالي لتراكيب n :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}=2^{n-1}.}$

بالنسبة للتركيبات الضعيفة، يكون العدد هو${\displaystyle {n+k-1 \choose k-1}={n+k-1 \choose n}}$بما أن كل تركيب من النوع k لـ n  + k يقابل تركيبًا ضعيفًا لـ n وفقًا للقاعدة  

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}=n+k\quad \mapsto \quad (a_{1}-1)+(a_{2}-1)+\ldots +(a_{k}-1)=n}$

ويترتب على هذه الصيغة أن عدد التركيبات الضعيفة لـ n إلى k جزء بالضبط يساوي عدد التركيبات الضعيفة لـ k − 1 إلى n + 1 جزء بالضبط.

بالنسبة للتركيبات المقيدة بـ A ، يُعطى عدد تركيبات n إلى k أجزاء بالضبط بواسطة معامل ذي الحدين الموسع (أو متعدد الحدود).${\displaystyle {\binom {k}{n}}_{(1)_{a\in A}}=[x^{n}]{\Big (}\sum _{a\in A}x^{a}{\Big )}^{k}}$، حيث تشير الأقواس المربعة إلى استخراج معامل${\displaystyle x^{n}}$في كثير الحدود الذي يليه. ^{[ 2 ]}

يمكننا تعداد تركيبات ( k + 1) لعدد صحيح n + 1 عن طريق تعداد تركيبات k للأعداد الصحيحة n من 0 إلى n - 1.${\displaystyle c_{1}<c_{2}<\ldots <c_{k}}$لنفترض أن n + 1 هي عناصر هذا التركيب. عندئذٍ، يُعطى تركيب مكون من n + 1 بالصيغة التالية:

${\displaystyle n+1=p_{k}+\ldots +p_{1}+p_{0}}$

أين

${\displaystyle p_{k}=n-c_{k},\ p_{k-1}=c_{k}-c_{k-1},\ \ldots ,\ p_{1}=c_{2}-c_{1},\ p_{0}=c_{1}+1}$[ ^{3 ]​}

بُعد الفضاء المتجهي${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{d}}$يمثل عدد التركيبات الضعيفة لكثير الحدود المتجانس من الدرجة d في n متغيرًا على الحقل K عدد التركيبات الضعيفة لـ d إلى n جزءًا. في الواقع، تُعطى قاعدة الفضاء بواسطة مجموعة أحاديات الحدود.${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}}$بحيث${\displaystyle d_{1}+\ldots +d_{n}=d}$بما أن الأسس${\displaystyle d_{i}}$إذا سُمح بأن تكون صفرًا، فإن عدد هذه الحدود الأحادية هو بالضبط عدد التركيبات الضعيفة لـ d .

• النجوم والخطوط (التوافيق)

• هيوباخ، سيلفيا؛ منصور، توفيق (2009). توافقية التركيبات والكلمات . الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-4200-7267-9. Zbl 1184.68373 . 

• حاسبة التقسيم والتركيب