متتالية فيبوناتشي

تظهر متتالية فيبوناتشي في الرياضيات الهندية ، في سياق علم العروض السنسكريتي . ^{[ 4 ] [ 11 ] [ 12 ]} في التراث الشعري السنسكريتي، كان هناك اهتمام بحصر جميع أنماط المقاطع الطويلة (L) التي تستغرق وحدتين، متجاورة مع المقاطع القصيرة (S) التي تستغرق وحدة واحدة. ينتج عن عدّ الأنماط المختلفة للمقاطع الطويلة والقصيرة المتتالية ذات مدة إجمالية معينة أعداد فيبوناتشي: عدد الأنماط التي تستغرق m وحدة هو F _{m +} 1. ^{[ 5 ]}

ظهرت معرفة متتالية فيبوناتشي منذ عهد بينغالا ( حوالي  450  ق.م. - 200  ق.م.). ويستشهد سينغ بصيغة بينغالا الغامضة " misrau cha" ("الاثنان مختلطان")، ويشير إلى أن عدد أنماط النبضات m ( Fm _{+ 1} ) يُحسب بإضافة [S] واحد إلى حالات Fm و[L] واحد إلى حالات _{Fm - 1.} ^{[ 13 ]} كما أبدى بهاراتا موني معرفة بالمتتالية في ناتيا شاسترا ( حوالي 100 ق.م. - حوالي 350 م). ^{[ 3 ] [ 4 ]} ومع ذلك، فإن أوضح شرح للمتتالية يظهر في عمل فيراهانكا ( حوالي 700 م)، الذي فُقد عمله، ولكنه موجود في اقتباس من غوبالا ( حوالي 1135): ^{[ 12 ]}       

تُعدّ اختلافات مقياسين سابقين [الاختلاف]  ... على سبيل المثال، بالنسبة لمقياس طوله أربعة، مع مزج اختلافات مقياسين [و] ثلاثة، ينتج مقياس طوله خمسة. [يشرح الأمثلة 8 و13 و21]  ... وبهذه الطريقة، ينبغي اتباع العملية في جميع التراكيب العروضية [ mātrā-vṛttas ]. ^{[ أ ]}

يُنسب إلى هيماشاندرا ( حوالي  1150) معرفة التسلسل أيضًا، ^{[ 3 ]} حيث كتب أن "مجموع الأخير والأول الذي يسبق الأخير هو رقم  ... ماترا-فريتا التالي". ^{[ 15 ] [ 16 ]}

The Fibonacci sequence first appears in the book Liber Abaci (The Book of Calculation, 1202) by Fibonacci,^[17][18] where it is used to calculate the growth of rabbit populations.^[19] Fibonacci considers the growth of an idealized (biologically unrealistic) rabbit population, assuming that: a newly born breeding pair of rabbits are put in a field; each breeding pair mates at the age of one month, and at the end of their second month they always produce another pair of rabbits; and rabbits never die, but continue breeding forever. Fibonacci posed the rabbit math problem: how many pairs will there be in one year?

• At the end of the first month, they mate, but there is still only 1 pair.
• At the end of the second month they produce a new pair, so there are 2 pairs in the field.
• At the end of the third month, the original pair produce a second pair, but the second pair only mate to gestate for a month, so there are 3 pairs in all.
• At the end of the fourth month, the original pair has produced yet another new pair, and the pair born two months ago also produces their first pair, making 5 pairs.

At the end of the n-th month, the number of pairs of rabbits is equal to the number of mature pairs (that is, the number of pairs in month n – 2) plus the number of pairs alive last month (month n – 1). The number in the n-th month is the n-th Fibonacci number.^[20]

The name "Fibonacci sequence" was first used by the 19th-century number theorist Édouard Lucas.^[21]

كما هو الحال مع أي متتالية تُعرَّف بعلاقة تكرارية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة ، فإن لأعداد فيبوناتشي صيغة مغلقة . ^{[ 22 ]} وقد أصبحت تُعرف باسم صيغة بينيه ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي جاك فيليب ماري بينيه ، على الرغم من أنها كانت معروفة بالفعل من قبل أبراهام دي مويفر ودانيال برنولي : ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$$

أين​${\displaystyle \varphi }$النسبة الذهبية ( فاي ) هي النسبة الذهبية و${\displaystyle \psi }$( psi ⁾ هو مرافقه ، ^{[ 24} ]

$$\begin{aligned}\varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={\phantom {-}}1.61803\ldots ,\\[5mu]\psi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-0.61803\ldots .\end{aligned}}}$$

الأرقام​${\displaystyle \varphi }$و​​${\displaystyle \psi }$هما الحلان للمعادلة التربيعية${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$أي ،​${\displaystyle (x-\varphi )(x-\psi )=x^{2}-x-1}$وبالتالي فهي تحقق المتطابقات${\displaystyle \varphi +\psi =1}$و​​${\displaystyle \varphi \psi =-1}$⁠ .

منذ${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}}$يمكن كتابة صيغة بينيه أيضًا على النحو التالي:

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.}$$

لتوضيح العلاقة بين المتتالية وهذه الثوابت، ^{[ 25 ]} لاحظ أن${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \psi }$وهي أيضًا جذور لـ${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},}$لذا فإن قوى${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \psi }$تحقق من تكرار فيبوناتشي. بعبارة أخرى،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

ويترتب على ذلك أنه لأي قيمتين a و b ، فإن المتتالية المعرفة بواسطة

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

يحقق نفس العلاقة التكرارية. إذا تم اختيار a و b بحيث يكون U₀ = 0 _و U₁ = 1 _، فإن المتتالية الناتجة Uₙ يجب أن تكون متتالية فيبوناتشي. وهذا يُعادل اشتراط أن يحقق a و b نظام المعادلات التالي _:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\varphi ^{0}+b\psi ^{0}&=0\\a\varphi ^{1}+b\psi ^{1}&=1\end{aligned}}}$$

والذي له حل

$${\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,}$$

إنتاج الصيغة المطلوبة.

بأخذ القيمتين الابتدائيتين U₀ و U₁ كثوابت اختيارية وحل نظام المعادلات، نحصل على _{الحل العام}$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}$$ على وجه الخصوص، اختيار a = 1 يجعل العنصر النوني من المتتالية يقترب بشكل كبير من القوة النونية لـ${\displaystyle \varphi }$⁠ لقيم n كبيرة بما يكفي . ويحدث هذا عندما U ₀ = 2 و U ₁ = 1 ، مما ينتج عنه متتالية أعداد لوكاس .

منذ ${\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$لكل n ≥ 0 ، يكون العدد F _n هو أقرب عدد صحيح إلى${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$لذلك، يمكن إيجادها عن طريق التقريب ، باستخدام دالة أقرب عدد صحيح: $${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.}$$

في الواقع، يصبح خطأ التقريب صغيرًا جدًا مع ازدياد قيمة n ، حيث يكون أقل من 0.1 عندما n ≥ 4 ، وأقل من 0.01 عندما n ≥ 8. ويمكن عكس هذه الصيغة بسهولة لإيجاد دليل عدد فيبوناتشي F.$${\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.}$$

بدلاً من ذلك، فإن استخدام دالة الجزء الصحيح يعطي أكبر دليل لعدد فيبوناتشي لا يزيد عن F : $${\displaystyle n_{\mathrm {largest} }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,}$$ أين${\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}$،${\displaystyle \ln(\varphi )=0.481211\ldots }$[ ^{26 ]} و^​${\displaystyle \log _{10}(\varphi )=0.208987\ldots }$[ ^{27 ]​}

بما أن F _n مقاربة لـ${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$عدد الأرقام في F _n يقترب من${\displaystyle n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n}$ونتيجة لذلك، لكل عدد صحيح d > 1 يوجد إما 4 أو 5 أعداد فيبوناتشي ذات d أرقام عشرية.

وبشكل أعم، في التمثيل ذي الأساس b ، يكون عدد الأرقام في F _n مقاربًا لـ${\displaystyle n\log _{b}\varphi ={\frac {n\log \varphi }{\log b}}.}$

لاحظ يوهانس كيبلر أن نسبة أعداد فيبوناتشي المتتالية تتقارب . وكتب قائلاً: "كما أن نسبة 5 إلى 8، فإن نسبة 8 إلى 13 تتقارب عملياً، وكما أن نسبة 8 إلى 13 تتقارب، فإن نسبة 13 إلى 21 تتقارب تقريباً"، وخلص إلى أن هذه النسب تقترب من النسبة الذهبية .${\displaystyle \varphi }$⁠ : ^{[ 28 ] [ 29 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$$

يتحقق هذا التقارب بغض النظر عن القيم الأولية${\displaystyle U_{0}}$و${\displaystyle U_{1}}$، إلا إذا${\displaystyle U_{1}=-U_{0}/\varphi }$يمكن التحقق من ذلك باستخدام صيغة بينيه . على سبيل المثال، القيمتان الابتدائيتان 3 و2 تُنتجان المتتالية التالية: 3، 2، 5، 7، 12، 19، 31، 50، 81، 131، 212، 343، 555، ... . تُظهر نسبة العناصر المتتالية في هذه المتتالية نفس التقارب نحو النسبة الذهبية.

على العموم،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+m}}{F_{n}}}=\varphi ^{m}}$لأن النسب بين أعداد فيبوناتشي المتتالية تقترب${\displaystyle \varphi }$.

بما أن النسبة الذهبية تحقق المعادلة $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}$$

يمكن استخدام هذا التعبير لتحليل القوى العليا${\displaystyle \varphi ^{n}}$كدالة خطية لقوى أقل، والتي بدورها يمكن تحليلها وصولاً إلى توليفة خطية من${\displaystyle \varphi }$و 1. ينتج عن علاقات التكرار الناتجة أعداد فيبوناتشي كمعاملات خطية : $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$ يمكن إثبات هذه المعادلة بالاستقراء على n ≥ 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n+1}&=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi \\&=F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi =(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.\end{aligned}}}$$ ل${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$كما أن الأمر كذلك أيضاً${\displaystyle \psi ^{2}=\psi +1}$وينطبق الأمر نفسه على ما يلي: $${\displaystyle \psi ^{n}=F_{n}\psi +F_{n-1}.}$$

تكون هذه التعبيرات صحيحة أيضًا عندما يكون n < 1 إذا تم تمديد متتالية فيبوناتشي F _n إلى الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام قاعدة فيبوناتشي${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.}$

تُقدّم صيغة بينيه برهانًا على أن العدد الصحيح الموجب x هو عدد فيبوناتشي إذا وفقط إذا كان واحد على الأقل مما يلي:${\displaystyle 5x^{2}+4}$أو${\displaystyle 5x^{2}-4}$هو مربع كامل . ^{[ 30 ]} وذلك لأن صيغة بينيه، التي يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}$، ويمكن ضربها في${\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}}$وتم حلها كمعادلة تربيعية في${\displaystyle \varphi ^{n}}$باستخدام الصيغة التربيعية :

$${\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{\!2}+4{(-1)}^{n}}}}{2}}.}$$

بمقارنة هذا بـ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2}$وبناءً على ذلك

$${\displaystyle 5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}$$

وعلى وجه الخصوص، فإن الجانب الأيسر عبارة عن مربع كامل.

يمكن إثبات معظم المتطابقات التي تتضمن أعداد فيبوناتشي باستخدام الحجج التوافقية بالاعتماد على حقيقة أن${\displaystyle F_{n}}$يمكن تفسير ذلك على أنه عدد التسلسلات (التي قد تكون فارغة) من  الرقمين 1 و  2 والتي يكون مجموعها${\displaystyle n-1}$يمكن اعتبار هذا تعريفًا لـ${\displaystyle F_{n}}$وفقًا للاتفاقيات${\displaystyle F_{0}=0}$وهذا يعني أنه لا توجد متتالية مجموعها يساوي  -1، و${\displaystyle F_{1}=1}$وهذا يعني أن التسلسل الفارغ "يصل مجموعه" إلى صفر. فيما يلي،${\displaystyle |{...}|}$عدد عناصر المجموعة :​

${\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}$

${\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}$

${\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}$

${\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}$

${\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}$

${\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}$

وبهذه الطريقة تصبح علاقة التكرار $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$ يمكن فهم ذلك من خلال تقسيم${\displaystyle F_{n}}$تقسيم التسلسلات إلى مجموعتين غير متداخلتين حيث تبدأ جميع التسلسلات إما بالرقم 1 أو 2: $${\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|}$$ باستثناء العنصر الأول، فإن مجموع الحدود المتبقية في كل متتالية يساوي${\displaystyle n-2}$أو${\displaystyle n-3}$وعدد عناصر كل مجموعة هو${\displaystyle F_{n-1}}$أو${\displaystyle F_{n-2}}$مما يعطي إجمالي${\displaystyle F_{n-1}+F_{n-2}}$التسلسلات، مما يدل على أن هذا يساوي${\displaystyle F_{n}}$.

وبالمثل، يمكن إثبات أن مجموع أعداد فيبوناتشي الأولى حتى العدد النوني يساوي العدد النوني من فيبوناتشي مطروحًا منه  1. ^{[ 33 ]} بالرموز: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$$

يمكن ملاحظة ذلك من خلال قسمة جميع المتتاليات التي مجموعها يساوي${\displaystyle n+1}$بناءً على موقع أول اثنين. تحديدًا، تتكون كل مجموعة من تلك التسلسلات التي تبدأ${\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,}$حتى المجموعتين الأخيرتين${\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\},\{(1,1,...,1)\}}$كل منها بعدد عناصر 1.

وباتباع نفس المنطق السابق، من خلال جمع عدد عناصر كل مجموعة، نرى أن

${\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|}$

... حيث يكون للمصطلحين الأخيرين القيمة${\displaystyle F_{1}=1}$ومن هذا يترتب على ذلك أن${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$.

وبحجة مماثلة، فإن تجميع المجاميع حسب موضع الرقم  1 الأول بدلاً من الرقمين  2 الأولين يعطي متطابقتين إضافيتين: $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}}$$ و $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}$$ بصيغة أخرى، مجموع أعداد فيبوناتشي الأولى ذات الدليل الفردي حتى${\displaystyle F_{2n-1}}$هو العدد (2n ) من أعداد فيبوناتشي، ومجموع أعداد فيبوناتشي الأولى ذات الدليل الزوجي حتى${\displaystyle F_{2n}}$هو العدد (2 ن + 1) من أعداد فيبوناتشي ناقص  1. ^{[ 34 ]}

يمكن استخدام حيلة مختلفة لإثبات ذلك $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ أو بعبارة أخرى، مجموع مربعات أعداد فيبوناتشي الأولى حتى${\displaystyle F_{n}}$هو حاصل ضرب العددين النون (n ) والعدد ( n + 1) (n + 1) من أعداد فيبوناتشي. ولتوضيح ذلك، ابدأ بمستطيل فيبوناتشي بحجم${\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}}$وقسّمها إلى مربعات بحجم${\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}}$ومن هذا تستنتج الهوية بمقارنة المناطق:

يمكن إثبات متطابقات فيبوناتشي بسهولة في كثير من الأحيان باستخدام الاستقراء الرياضي .

على سبيل المثال، إعادة النظر $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.}$$ إضافة${\displaystyle F_{n+1}}$يعطي كلا الجانبين

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$

وهكذا لدينا الصيغة لـ${\displaystyle n+1}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1}$$

وبالمثل، أضف${\displaystyle {F_{n+1}}^{2}}$إلى كلا جانبي $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ لإعطاء $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+{F_{n+1}}^{2}=F_{n+1}\left(F_{n}+F_{n+1}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$$

صيغة بينيه هي $${\displaystyle {\sqrt {5}}F_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n}.}$$ يمكن استخدام هذا لإثبات متطابقات فيبوناتشي.

على سبيل المثال، لإثبات ذلك${\textstyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$ لاحظ أن الطرف الأيسر مضروبًا في${\displaystyle {\sqrt {5}}}$يصبح $${\displaystyle {\begin{aligned}1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}}$$ حسب الاقتضاء، باستخدام الحقائق${\textstyle \varphi \psi =-1}$و${\textstyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$لتبسيط المعادلات.

تنص هوية كاسيني على أن $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}$$ الهوية الكاتالونية هي تعميم: $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}$$

$${\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}$$$${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}$$ حيث L _n هو عدد لوكاس رقم n . هذه الأخيرة هي متطابقة لمضاعفة n ؛ ومن المتطابقات الأخرى من هذا النوع: $${\displaystyle F_{3n}=2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$$ من خلال هوية كاسيني.

$${\displaystyle F_{3n+1}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)}$$ يمكن إيجاد هذه تجريبياً باستخدام اختزال الشبكة ، وهي مفيدة في إعداد منخل حقل الأرقام الخاص لتحليل عدد فيبوناتشي .

وبشكل عام، ^{[ 35 ]}

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}.}$$

أو بدلاً من ذلك

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c+i}F_{n}^{i}F_{n-1}^{k-i}.}$$

بوضع k = 2 في هذه الصيغة، نحصل مرة أخرى على صيغ نهاية القسم أعلاه شكل المصفوفة .

الدالة المولدة العادية لمتتالية فيبوناتشي هي متسلسلة القوى

$${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}=0+z+z^{2}+2z^{3}+3z^{4}+5z^{5}+\cdots .}$$

هذه المتسلسلة متقاربة لأي عدد مركب${\displaystyle z}$مُرضٍ${\displaystyle |z|<1/\varphi \approx 0.618,}$ومجموعها له شكل مغلق بسيط: ^{[ 36 ]}

$${\displaystyle s(z)={\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$$

ويمكن إثبات ذلك بالضرب في${\textstyle (1-z-z^{2})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z-z^{2})s(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }F_{k-1}z^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}z^{k}\\&=0z^{0}+1z^{1}-0z^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(F_{k}-F_{k-1}-F_{k-2})z^{k}\\&=z,\end{aligned}}}$$ حيث جميع المصطلحات التي تتضمن${\displaystyle z^{k}}$ل${\displaystyle k\geq 2}$يتم إلغاء ذلك بسبب علاقة التكرار المحددة في متتالية فيبوناتشي.

استخدام${\displaystyle z={10}^{-n}}$يعرض أرقام فيبوناتشي حتى الرقم قبل الأخير مع${\displaystyle n}$الأرقام في التمثيل العشري لـ${\displaystyle s(z)}$. على سبيل المثال،$${\displaystyle s(10^{-3})={\frac {0.001}{0.998999}}={\frac {1000}{998999}}=000.\,001\,001\,002\,003\,005\,008\,013\,\ldots .}$$

يُعطى تحليل الكسور الجزئية بالصيغة التالية :$${\displaystyle s(z)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{1-\varphi z}}-{\frac {1}{1-\psi z}}\right)}$$ أين${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$هي النسبة الذهبية و${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$وهو مرافقه .

يمكن أيضًا اشتقاق الدالة المولدة الأسية لمتتالية فيبوناتشي من علاقة التكرار، مما يعطي معادلة تفاضلية خطية متجانسة : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+2}{\frac {x^{k}}{k!}}={}&\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}+\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\F^{\prime \prime }(x)={}&F^{\prime }(x)+F(x)\end{aligned}}}$$ متعددة الحدود المميزة لهذه المعادلة هي${\textstyle r^{2}=r+1}$، والتي تمثل حلولها النسبة الذهبية بالضبط${\textstyle \varphi }$ومرافقه​${\textstyle \psi }$بالإضافة إلى القيم الأولية${\textstyle F_{0}=F(0)=0}$و${\textstyle F_{1}=F^{\prime }(0)=1}$الدالة المولدة الأسية لأعداد فيبوناتشي معطاة بالدالة الكاملة$${\displaystyle F(x)={\frac {e^{\varphi x}-e^{\psi x}}{\sqrt {5}}}}$$ تقييم مشتقات الدالة المولدة الأسية عند${\textstyle x=0}$يعطي صيغة بينيه : $${\displaystyle F^{(n)}(0)=F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$$

كل عدد ثالث في المتتالية يكون زوجيًا (مضاعفًا لـ ⁠${\displaystyle F_{3}=2}$⁠ ) ​​وبشكل أعم، كل ⁠${\displaystyle k}$العدد رقم n في المتتالية هو مضاعف لـ${\displaystyle F_{k}}$وبالتالي ، فإن متتالية فيبوناتشي مثال على متتالية قابلة للقسمة . في الواقع، تحقق متتالية فيبوناتشي خاصية القسمة الأقوى ^{[ 41 ] [ 42 ].}$${\displaystyle \gcd(F_{a},F_{b},F_{c},\ldots )=F_{\gcd(a,b,c,\ldots )}\,}$$ حيث gcd هي دالة القاسم المشترك الأكبر . (تختلف هذه العلاقة إذا تم استخدام اصطلاح فهرسة مختلف، مثل الذي يبدأ المتتالية بـ ⁠${\displaystyle F_{0}=1}$و​​${\displaystyle F_{1}=1}$. )

على وجه الخصوص، أي ثلاثة أعداد متتالية من متتالية فيبوناتشي تكون أولية فيما بينها لأن كل${\displaystyle F_{1}=1}$و​${\displaystyle F_{2}=1}$أي​ $${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n},F_{n+2})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$$ لكل n .

كل عدد أولي p يقسم عددًا من أعداد فيبوناتشي يمكن تحديده من خلال قيمة p بتردد  5. إذا كان p يطابق 1 أو 4 بتردد 5، فإن p يقسم F( _{p -1)} ، وإذا كان p يطابق 2 أو 3 بتردد 5، فإن p يقسم F( _{p +1)} . أما الحالة المتبقية فهي عندما p = 5 ، وفي هذه الحالة يقسم p _عدد فيبوناتشي .

$${\displaystyle {\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}}$$

يمكن دمج هذه الحالات في صيغة واحدة غير مجزأة ، باستخدام رمز ليجندر : ^{[ 43 ]}$${\displaystyle p\mid F_{p\,-~\!\left({\frac {5}{p}}\right)}.}$$

يمكن استخدام الصيغة أعلاه كاختبار أولي بمعنى أنه إذا $${\displaystyle n\mid F_{n\,-~\!\left({\frac {5}{n}}\right)},}$$ عندما يُستبدل رمز ليجندر برمز جاكوبي ، فهذا دليل على أن n عدد أولي، وإذا لم يتحقق ذلك، فإن n ليس عددًا أوليًا قطعًا. إذا كان n عددًا مركبًا ويحقق الصيغة، فإن n يكون عددًا أوليًا زائفًا من متتالية فيبوناتشي . عندما يكون m كبيرًا - على سبيل المثال، عدد مكون من 500 بت - يمكننا حساب F _m (mod n ) بكفاءة باستخدام صيغة المصفوفة.  

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.}$$هنا يتم حساب قوة المصفوفة A ^m باستخدام الأس المعياري ، والذي يمكن تكييفه مع المصفوفات . ^{[ 44 ]}

عدد فيبوناتشي الأولي هو عدد فيبوناتشي أولي . أول بضعة أعداد منه هي: ^{[ 45 ]}

2، 3، 5، 13، 89، 233، 1597، 28657، 514229، ...

تم العثور على أعداد فيبوناتشي الأولية التي تحتوي على آلاف الأرقام، ولكن من غير المعروف ما إذا كان عددها لانهائياً. ^{[ 46 ]}

العدد F _kn يقبل القسمة على F _n ، لذا، باستثناء F ₄ = 3 ، يجب أن يكون لأي عدد أولي في متتالية فيبوناتشي دليل أولي. وبما أن هناكسلاسل طويلة كيفما كانت من الأعداد المركبة ، فإنه توجد أيضًا سلاسل طويلة كيفما كانت من أعداد فيبوناتشي المركبة.

لا يوجد عدد فيبوناتشي أكبر من F ₆ = 8 يكون أكبر بواحد أو أصغر بواحد من عدد أولي. ^{[ 47 ]}

العدد المربع الوحيد غير التافه في متتالية فيبوناتشي هو 144. ^{[ 48 ]} أثبت أتيلا بيثو في عام 2001 أن عدد أعداد فيبوناتشي ذات القوى الكاملة محدود . ^{[ 49 ]} وفي عام 2006، أثبت كل من ي. بوجو، وم. مينوت، وس. سيكسيك أن 8 و144 هما العددان الوحيدان من هذه القوى الكاملة غير التافهة. ^{[ 50 ]}