التبعية المشروطة

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف التبعية الشرطية بأنها علاقة بين حدثين أو أكثر ، حيث يكون هذا التبعية مشروطة بوقوع حدث ثالث. ^{[ 1 ]} وهي عكس الاستقلال الشرطي . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هناك حدثان يزيد كل منهما على حدة من احتمالية وقوع حدث ثالث${\displaystyle C,}$وإذا لم يؤثر أحدهما على الآخر بشكل مباشر، ففي البداية (عندما لم تتم ملاحظة ما إذا كان الحدث${\displaystyle C}$يحدث) ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ و }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}$$(${\displaystyle A{\text{ و }}B}$(مستقلون).

لكن لنفترض الآن${\displaystyle C}$لوحظ حدوث ذلك. إذا حدث${\displaystyle B}$إذا حدث ذلك، فإن احتمال وقوع الحدث${\displaystyle A}$سينخفض ​​بسبب علاقته الإيجابية بـ${\displaystyle C}$يُعدّ ذلك أقل ضرورة كتفسير لحدوث${\displaystyle C}$(وبالمثل، الحدث)${\displaystyle A}$سيؤدي حدوث ذلك إلى تقليل احتمالية حدوث${\displaystyle B}$ومن ثم، فإن الحدثين الآن${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تعتمد هذه الأحداث سلبًا على بعضها البعض بشكل مشروط، لأن احتمال حدوث كل منها يعتمد سلبًا على حدوث الآخر. لدينا ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).}$$

التبعية الشرطية لـ A و B بشرط C هي النفي المنطقي للاستقلال الشرطي${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)}$[ ^{5 ] في الاستقلال الشرطي ،} يصبح حدثان (قد يكونان تابعين أو غير تابعين) مستقلين عند وقوع حدث ثالث. ^{[ 6 ]}

في جوهر الأمر ، تتأثر الاحتمالات بمعلومات الشخص حول إمكانية وقوع حدث ما. على سبيل المثال، لنفترض أن الحدث${\displaystyle A}$كن "لدي هاتف جديد"؛ حدث${\displaystyle B}$كن "لدي ساعة جديدة"؛ وحدث${\displaystyle C}$لنفترض أنني سعيد؛ ولنفترض أن امتلاك هاتف جديد أو ساعة جديدة يزيد من احتمالية سعادتي. لنفترض أن الحدث${\displaystyle C}$حدث ذلك – بمعنى أنني سعيد. الآن، إذا رأى شخص آخر ساعتي الجديدة، فسيعتقد أن احتمالية سعادتي قد زادت بفضلها، وبالتالي تقل الحاجة إلى ربط سعادتي بهاتف جديد.

لجعل المثال أكثر تحديدًا من الناحية العددية، افترض أن هناك أربع حالات ممكنة${\displaystyle \Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},}$موضحة في الأعمدة الأربعة الوسطى من الجدول التالي، حيث يتم تسجيل وقوع الحدث${\displaystyle A}$يُشار إليه بـ${\displaystyle 1}$في الصف${\displaystyle A}$ويُشار إلى عدم حدوثه بـ${\displaystyle 0,}$وكذلك بالنسبة لـ${\displaystyle B}$و${\displaystyle C.}$إنه،${\displaystyle A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},}$و${\displaystyle C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.}$احتمالية${\displaystyle s_{i}}$يكون${\displaystyle 1/4}$لكل${\displaystyle i.}$

حدث	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{1})=1/4}$	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{2})=1/4}$	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{3})=1/4}$	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{4})=1/4}$	احتمالية وقوع الحدث
${\displaystyle A}$	0	1	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle B}$	0	0	1	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle C}$	0	1	1	1	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

وهكذا

حدث	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle s_{4}}$	احتمالية وقوع الحدث
${\displaystyle A\cap B}$	0	0	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$
${\displaystyle A\cap C}$	0	1	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle B\cap C}$	0	0	1	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle A\cap B\cap C}$	0	0	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

في هذا المثال،${\displaystyle C}$يحدث ذلك إذا وفقط إذا كان واحد على الأقل مما يلي${\displaystyle A,B}$يحدث. بشكل غير مشروط (أي دون الرجوع إلى${\displaystyle C}$)${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مستقلان عن بعضهما البعض لأن${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$—مجموع الاحتمالات المرتبطة بـ${\displaystyle 1}$في الصف${\displaystyle A}$-يكون${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$بينما $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ و }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).}$$ لكن بشرط${\displaystyle C}$بعد حدوث ذلك (الأعمدة الثلاثة الأخيرة في الجدول)، لدينا $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ و }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}}$$ بينما $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).}$$ بما أنه في حضور${\displaystyle C}$احتمالية${\displaystyle A}$يتأثر بوجود أو عدم وجود${\displaystyle B,A}$و${\displaystyle B}$تعتمد على بعضها البعض بشرط${\displaystyle C.}$

• الاستقلال الشرطي – مفهوم من مفاهيم نظرية الاحتمالات 
• نظرية دي فينيتي – الاستقلال الشرطي للملاحظات القابلة للتبادل 
• التوقع الشرطي – القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي بشرط معرفة حدوث شروط معينة