الاستقلال المشروط

في نظرية الاحتمالات ، يصف الاستقلال الشرطي الحالات التي تكون فيها الملاحظة غير ذات صلة أو زائدة عن الحاجة عند تقييم يقينية الفرضية. وهو عكس التبعية الشرطية . يُصاغ الاستقلال الشرطي عادةً بدلالة الاحتمال الشرطي ، كحالة خاصة يكون فيها احتمال صحة الفرضية في وجود الملاحظة غير المفيدة مساويًا لاحتمال صحتها بدونها.${\displaystyle A}$هذه هي الفرضية، و${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$إذا كانت الملاحظات عبارة عن مساواة، فيمكن التعبير عن الاستقلال الشرطي على النحو التالي:

${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$

أين${\displaystyle P(A\mid B,C)}$هو احتمال${\displaystyle A}$بالنظر إلى كليهما${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$بما أن احتمال${\displaystyle A}$منح${\displaystyle C}$وهو نفس احتمال${\displaystyle A}$بالنظر إلى كليهما${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$وتعبر هذه المساواة عن أن${\displaystyle B}$لا يُسهم ذلك بشيء في اليقين من${\displaystyle A}$في هذه الحالة،${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يقال إنها مستقلة شرطيًا بالنظر إلى${\displaystyle C}$، مكتوبة بشكل رمزي على النحو التالي:${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$.

يُعد مفهوم الاستقلال الشرطي أساسيًا لنظريات الاستدلال الإحصائي القائمة على الرسوم البيانية، حيث أنه يُؤسس علاقة رياضية بين مجموعة من العبارات الشرطية و graphoid .

يترك${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$كن أحداثًا .${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يقال إنها مستقلة شرطيًا بالنظر إلى${\displaystyle C}$إذا وفقط إذا${\displaystyle P(C)>0}$و${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$هذه الخاصية متناظرة (المزيد حول هذا لاحقًا ) وغالبًا ما تُكتب على النحو التالي${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$والتي ينبغي قراءتها على النحو التالي${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\vert C)}$.

وبصورة مكافئة، يمكن التعبير عن الاستقلال المشروط على النحو التالي:${\displaystyle P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)}$أين${\displaystyle P(A,B|C)}$هو الاحتمال المشترك لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$منح${\displaystyle C}$تنص هذه الصيغة البديلة على أن${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي أحداث مستقلة ، بالنظر إلى${\displaystyle C}$.

وهذا يدل على أن${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$يعادل${\displaystyle (B\perp \!\!\!\perp A\mid C)}$.

متغيران عشوائيان منفصلان${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مستقلة شرطيًا بالنظر إلى متغير عشوائي منفصل ثالث${\displaystyle Z}$إذا وفقط إذا كانت مستقلة في توزيعها الاحتمالي الشرطي المعطى${\displaystyle Z}$. إنه،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مستقلة شرطيًا بالنظر إلى${\displaystyle Z}$إذا وفقط إذا، مع إعطاء أي قيمة لـ${\displaystyle Z}$، التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle X}$وهو نفسه لجميع قيم${\displaystyle Y}$والتوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle Y}$وهو نفسه لجميع قيم${\displaystyle X}$رسميًا:

${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid Z\quad \iff \quad F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=F_{X\,\mid \,Z\,=\,z}(x)\cdot F_{Y\,\mid \,Z\,=\,z}(y)\quad {\text{لكل }}x,y,z}$

المعادلة 2

أين${\displaystyle F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)}$هي دالة التوزيع التراكمي الشرطي لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$منح${\displaystyle Z}$.

حدثان${\displaystyle R}$و${\displaystyle B}$مستقلة شرطيًا بالنظر إلى جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$لو

${\displaystyle \Pr(R,B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma ){\text{ as}}}$

أين${\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma )}$يشير إلى التوقع الشرطي لدالة المؤشر للحدث${\displaystyle A}$،${\displaystyle \chi _{A}}$، بالنظر إلى جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$. إنه،

${\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ].}$

متغيران عشوائيان${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مستقلة شرطيًا بالنظر إلى جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$إذا كانت المعادلة أعلاه صحيحة لجميع${\displaystyle R}$في${\displaystyle \sigma (X)}$و${\displaystyle B}$في${\displaystyle \sigma (Y)}$.

متغيران عشوائيان${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مستقلة شرطيًا بالنظر إلى متغير عشوائي${\displaystyle W}$إذا كانت مستقلة بالنظر إلى σ ( W ): الجبر σ الناتج عن${\displaystyle W}$يُكتب هذا عادةً على النحو التالي:

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid W}$أو

${\displaystyle X\perp Y\mid W}$

يُقرأ هذا "${\displaystyle X}$مستقل عن${\displaystyle Y}$، منح${\displaystyle W}$ينطبق الشرط على العبارة بأكملها: (${\displaystyle X}$مستقل عن${\displaystyle Y}$) منح${\displaystyle W}$".

${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$

هذا الترميز يمتد${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$ل "${\displaystyle X}$مستقل عن​${\displaystyle Y}$"

لو${\displaystyle W}$بافتراض مجموعة قابلة للعد من القيم، فإن هذا يعادل الاستقلال الشرطي لـ X و Y بالنسبة للأحداث من الشكل${\displaystyle [W=w]}$يتم تعريف الاستقلال الشرطي لأكثر من حدثين، أو لأكثر من متغيرين عشوائيين، بشكل مماثل.

يوضح المثالان التاليان أن${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$لا يعني ولا يُستدل عليه من${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$.

أولاً، لنفترض${\displaystyle W}$تكون القيمة 0 باحتمالية 0.5، و1 فيما عدا ذلك. عندما تكون W  =  0، خذ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$أن تكون مستقلة، بحيث تكون قيمة كل منها 0 باحتمالية 0.99 وقيمتها 1 فيما عدا ذلك. عندما${\displaystyle W=1}$،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$وهي مستقلة مرة أخرى، ولكن هذه المرة تأخذ القيمة 1 باحتمالية 0.99. ثم${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$. لكن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تعتمد هذه الاحتمالات على بعضها، لأن احتمال ( س  =  0) أقل من احتمال ( س  =  0 بشرط ص  =  0). وذلك لأن احتمال ( س  =  0) يساوي  0.5، ولكن إذا كانت ص  =  0، فمن المرجح جدًا أن تكون ع  =  0، وبالتالي فإن س  =  0 أيضًا، لذا فإن احتمال ( س  =  0 بشرط ص  =  0)  أكبر من  0.5.

في المثال الثاني، لنفترض${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$، حيث يأخذ كل منها القيمتين 0 و1 باحتمالية  0.5. ليكن${\displaystyle W}$كن المنتج${\displaystyle X\cdot Y}$ثم عندما${\displaystyle W=0}$احتمال ( س  =  0)  يساوي  2/3، لكن احتمال ( س  =  0 | ص  =  0)  يساوي  1/2، لذا${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$هذا غير صحيح. وهذا أيضًا مثال على التبرير غير المباشر. راجع درس كيفن مورفي التعليمي ^{[ 3 ]} حيث${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$خذ القيمتين "ذكي" و "رياضي".

متجهان عشوائيان${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{l})^{\mathrm {T} }}$و${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{m})^{\mathrm {T} }}$مستقلة شرطيًا بالنظر إلى متجه عشوائي ثالث${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$إذا وفقط إذا كانت مستقلة في توزيعها التراكمي الشرطي المعطى${\displaystyle \mathbf {Z} }$رسميًا:

${\displaystyle (\mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} )\mid \mathbf {Z} \quad \iff \quad F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} |\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )\quad {\text{for all }}\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} }$

المعادلة 3

أين${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{l})^{\mathrm {T} }}$،${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{m})^{\mathrm {T} }}$و${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\mathrm {T} }}$ويتم تعريف التوزيعات التراكمية الشرطية على النحو التالي.

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l},Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )&=\Pr(Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\end{aligned}}}$

لنفترض أن p هي نسبة الناخبين الذين سيصوتون بـ"نعم" في استفتاء قادم . عند إجراء استطلاع رأي ، يتم اختيار n ناخبًا عشوائيًا من السكان. بالنسبة لـ i  =  1،  ...، n ، لنفترض أن Xᵢ ₌ 1 أو 0، على التوالي، تشير إلى ما إذا كان الناخب المختار رقم i سيصوت بـ"نعم" أم لا.   

في النهج التكراري للاستدلال الإحصائي، لا ينسب المرء أي توزيع احتمالي إلى p (إلا إذا كان من الممكن تفسير الاحتمالات بطريقة ما على أنها ترددات نسبية لحدوث حدث ما أو كنسب من بعض السكان) ويقول المرء أن X ₁ ، ... ، X _n هي متغيرات عشوائية مستقلة .

على النقيض من ذلك، في المنهج البايزي للاستدلال الإحصائي، يُسند توزيع احتمالي للمتغير p بغض النظر عن عدم وجود أي تفسير "تكراري" له، وتُفسَّر الاحتمالات على أنها درجات اعتقاد بأن p يقع ضمن أي فاصل مُسند إليه احتمال. في هذا النموذج، لا تكون المتغيرات العشوائية X1 _،  ...، _Xn مستقلة ، ولكنها مستقلة شرطيًا بمعرفة قيمة p . على وجه الخصوص، إذا لوحظ أن عددًا كبيرًا من قيم X يساوي 1، فإن ذلك يعني احتمالًا شرطيًا عاليًا ، بالنظر إلى تلك الملاحظة، أن p قريب من 1، وبالتالي احتمالًا شرطيًا عاليًا ، بالنظر إلى تلك الملاحظة، أن قيمة X التالية التي ستُلاحظ ستكون مساوية لـ 1. 

تم استخلاص مجموعة من القواعد التي تحكم عبارات الاستقلال الشرطي من التعريف الأساسي. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

أطلق بيرل وباز على هذه القواعد اسم " مسلمات الرسوم البيانية " ^{[ 6 ]} ، لأنها تنطبق على الرسوم البيانية، حيث${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B}$يُفسر ذلك على أنه يعني: "جميع المسارات من X إلى A يتم اعتراضها بواسطة المجموعة B ". ^{[ 7 ]}

• جرافيد
• التبعية المشروطة
• نظرية دي فينيتي
• التوقع المشروط

• الوسائط المتعلقة بالاستقلال المشروط على ويكيميديا ​​كومنز