المعادلات المتسقة وغير المتسقة

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

للمعادلة عدد لا نهائي من الحلول، وكلها لها z = 1 (كما يمكن رؤيته من خلال طرح المعادلة الأولى من الثانية)، وبالتالي فإن جميعها لها x + y = 2 لأي قيم x و y .

النظام غير الخطي

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}}$

لديها عدد لا حصر له من الحلول، وكلها تنطوي على${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

بما أن لكل نظام من هذه الأنظمة أكثر من حل واحد، فهو نظام غير محدد .

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

ليس لها حلول، كما يتضح من خلال طرح المعادلة الأولى من الثانية للحصول على النتيجة المستحيلة 0 = 1 .

النظام غير الخطي

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}}$

ليس لها حلول، لأنه إذا تم طرح معادلة واحدة من الأخرى، فسنحصل على النتيجة المستحيلة 0 = 3 .

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

للمعادلة حل واحد فقط: x = 1، y = 2

النظام غير الخطي

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}}$

للمعادلة حلان : ( س، ص ) = (1، 0) و ( س، ص ) = (0، 1) ، بينما

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}}$

للمعادلة عدد لا نهائي من الحلول لأن المعادلة الثالثة هي المعادلة الأولى زائد ضعف المعادلة الثانية، وبالتالي لا تحتوي على أي معلومات مستقلة؛ وبالتالي يمكن اختيار أي قيمة لـ z ويمكن إيجاد قيم x و y لتحقيق المعادلتين الأوليين (وبالتالي الثالثة).

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

ليس لها حلول؛ يمكن رؤية التناقض من خلال ضرب المعادلة الأولى في 4 وطرح المعادلة الثانية للحصول على النتيجة المستحيلة 0 = 2 .

على نفس المنوال،

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}}$

هو نظام غير متسق لأن المعادلة الأولى زائد ضعف الثانية ناقص الثالثة تحتوي على التناقض 0 = 2 .

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

للمعادلة حل، x = –1، y = 4 ، لأن المعادلتين الأوليين لا تتعارضان مع بعضهما البعض والمعادلة الثالثة زائدة عن الحاجة (لأنها تحتوي على نفس المعلومات التي يمكن الحصول عليها من المعادلتين الأوليين عن طريق ضرب كل منهما في 2 وجمعهما).

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}}$

للمعادلة عدد لا نهائي من الحلول، إذ تُعطي المعادلات الثلاث نفس المعلومات (كما يتضح من ضرب طرفي المعادلة الأولى في 3 أو 7). أي قيمة لـ y تُمثل جزءًا من الحل، وقيمة x المقابلة لها هي 7 - 2y .

النظام غير الخطي

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}}$

للمعادلة ثلاثة حلول ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1) .

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

غير متسق لأن المعادلة الأخيرة تتناقض مع المعلومات المضمنة في المعادلتين الأوليين، كما يتضح من خلال ضرب كل من المعادلتين الأوليين في 2 وجمعهما.

النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}}$

غير متسق لأن مجموع المعادلتين الأوليين يتناقض مع المعادلة الثالثة.

يكون النظام الخطي متسقًا إذا وفقط إذا كانت مصفوفة معاملاته لها نفس رتبة مصفوفة المعاملات الموسعة (مصفوفة المعاملات مع إضافة عمود إضافي، وهذا العمود هو متجه الثوابت).