عملية الاتصال (الرياضيات)

تُعد عملية الاتصال عملية عشوائية تُستخدم لنمذجة النمو السكاني في مجموعة المواقع${\displaystyle S}$في رسم بياني تصبح فيه المواقع المشغولة شاغرة بمعدل ثابت، بينما تُشغل المواقع الشاغرة بمعدل يتناسب مع عدد المواقع المجاورة المشغولة. لذلك، إذا رمزنا بـ${\displaystyle \lambda }$ثابت التناسب، يبقى كل موقع مشغولاً لفترة زمنية عشوائية موزعة أُسّيًا بمعامل 1، ويضع أحفادًا في كل موقع مجاور شاغر في أوقات أحداث عملية بواسون بمعامل${\displaystyle \lambda }$خلال هذه الفترة. جميع العمليات مستقلة عن بعضها البعض وعن الفترة الزمنية العشوائية التي تبقى فيها المواقع مشغولة. يمكن أيضًا تفسير عملية الاتصال كنموذج لانتشار العدوى من خلال اعتبار الجسيمات بمثابة بكتيريا تنتشر على الأفراد الموجودين في مواقع${\displaystyle S}$المواقع المشغولة تتوافق مع الأفراد المصابين، بينما المواقع الشاغرة تتوافق مع الأفراد الأصحاء.

الكمية الرئيسية التي تهمنا هي عدد الجسيمات في العملية، على سبيل المثال${\displaystyle N_{t}}$في التفسير الأول، وهو ما يتوافق مع عدد المواقع المصابة في التفسير الثاني. لذلك، تستمر العملية طالما كان عدد الجسيمات موجبًا في جميع الأوقات، وهو ما يتوافق مع حالة وجود أفراد مصابين دائمًا في التفسير الثاني. لأي رسم بياني لانهائي${\displaystyle S}$توجد قيمة حرجة موجبة ومحدودة${\displaystyle \lambda _{c}}$بحيث إذا${\displaystyle \lambda >\lambda _{c}}$عندئذٍ، يحدث بقاء العملية بدءًا من عدد محدود من الجسيمات باحتمالية موجبة، بينما إذا${\displaystyle \lambda <\lambda _{c}}$انقراضها شبه مؤكد. لاحظ أنه بالبرهان بالخلف ونظرية القرد اللانهائي ، فإن بقاء العملية يعادل${\displaystyle N_{t}\to \infty }$، مثل${\displaystyle t\to \infty }$بينما الانقراض يعادل${\displaystyle N_{t}\to 0}$، مثل${\displaystyle t\to \infty }$وبالتالي، فمن الطبيعي أن نسأل عن المعدل الذي${\displaystyle N_{t}\to \infty }$عندما تستمر العملية.

إذا كانت حالة العملية في وقت${\displaystyle t}$يكون${\displaystyle \xi _{t}}$ثم موقع${\displaystyle x}$في${\displaystyle S}$يشغلها، لنقل جسيم، إذا${\displaystyle \xi _{t}(x)=1}$وشاغرة إذا ${\displaystyle \xi _{t}(x)=0}$عملية الاتصال هي عملية ماركوف مستمرة الزمن ذات فضاء حالة${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$، أين${\displaystyle S}$هو رسم بياني محدود أو قابل للعد ، عادةً${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$وحالة خاصة لنظام جسيمات متفاعلة . وبشكل أكثر تحديدًا، تُحدد ديناميكيات عملية التلامس الأساسية بمعدلات الانتقال التالية: في الموقع${\displaystyle x}$،

${\displaystyle 1\rightarrow 0\quad {\text{بمعدل }}1,}$

${\displaystyle 0\rightarrow 1\quad {\text{بمعدل }}\lambda \sum _{y\,:\,y\,\sim \,x}\xi _{t}(y),}$

حيث يكون المجموع على جميع الجيران${\displaystyle y}$ل${\displaystyle x}$في${\displaystyle S}$وهذا يعني أن كل موقع ينتظر فترة زمنية أسية بالمعدل المقابل، ثم ينقلب (بحيث يصبح 0 هو 1 والعكس صحيح).

عملية التلامس هي عملية عشوائية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الترشيح . وقد لاحظ تيد هاريس (1974) أن عملية التلامس على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$عندما لا يمكن أن تحدث العدوى والشفاء إلا في أوقات محددة${\displaystyle \{1,2,\ldots ,\}}$يتوافق ذلك مع عملية ترشيح الروابط خطوة بخطوة على الرسم البياني الذي تم الحصول عليه عن طريق توجيه كل حافة من${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d+1}}$في اتجاه زيادة قيمة الإحداثيات.

ينص قانون الأعداد الكبيرة لعدد الجسيمات في العملية على الأعداد الصحيحة، بشكل غير رسمي، على أنه بالنسبة لجميع الأعداد الكبيرة${\displaystyle t}$،${\displaystyle N_{t}}$يساوي تقريبًا${\displaystyle ct}$لبعض الثوابت الموجبة${\displaystyle c=c(\lambda )}$أثبت هاريس (1974) أنه إذا استمرت العملية، فإن معدل نمو${\displaystyle N_{t}}$تكون العملية خطية في الزمن على الأكثر وعلى الأقل. وقد أثبت دوريت (1980) قانونًا ضعيفًا للأعداد الكبيرة (يشير إلى أن العملية تتقارب احتماليًا ) . وبعد بضع سنوات، حسّن دوريت وغريفيث (1983) هذا القانون إلى قانون قوي للأعداد الكبيرة، مما أدى إلى تقارب شبه مؤكد للعملية.

تتلاشى عمليات التلامس على جميع الشبكات الصحيحة بشكل شبه مؤكد عند القيمة الحرجة. ^{[ 1 ]}

افترض دوريت في أوراق بحثية وملاحظات محاضرات خلال ثمانينيات القرن العشرين وأوائل تسعينياته نظرية النهاية المركزية لعملية هاريس التلامسية، وهي أنه إذا استمرت العملية، فإن لكل قيم كبيرة${\displaystyle t}$،${\displaystyle N_{t}}$يساوي${\displaystyle ct}$والخطأ يساوي${\displaystyle \sigma {\sqrt {t}}}$مضروبًا في خطأ (عشوائي) موزع وفقًا للتوزيع الغاوسي القياسي . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تبين أن تخمين دوريت كان صحيحًا لقيمة مختلفة لـ${\displaystyle \sigma }$كما ثبت في عام 2018. ^{[ 5 ]}

• دوريت، ريتشارد (1980). "حول نمو عمليات الاتصال أحادية البعد" . حوليات الاحتمالات . 8 (5): 890-907 . doi : 10.1214/aop/1176994619 .
• دوريت، ريتشارد ؛ ديفيد غريفيث (1983). "عمليات التلامس فوق الحرجة على Z" . حوليات الاحتمالات . 11 (1): 1-15 . doi : 10.1214/aop/1176993655 .
• غريمت، جيفري (1999)، الترشيح ، سبرينغر
• ليجيت، توماس م. (1985). أنظمة الجسيمات المتفاعلة . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ISBN 978-0-387-96069-2.
• توماس إم. ليجيت ، "الأنظمة التفاعلية العشوائية: عمليات الاتصال والتصويت والاستبعاد"، سبرينغر-فيرلاغ، 1999.