التوزيع الأسي

دالة كثافة الاحتمال (pdf) للتوزيع الأسي هي

${\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

هنا ، λ > 0 هو مُعامل التوزيع، ويُسمى غالبًا مُعامل المعدل . ويُمكن تعريف هذا التوزيع على الفترة [ 0, ∞) . إذا كان للمتغير العشوائي X هذا التوزيع، فإننا نكتب X ~ Exp( λ ) .  

يُظهر التوزيع الأسي قابلية قسمة لا نهائية .

دالة التوزيع التراكمي معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

يتم أحيانًا تحديد التوزيع الأسي من حيث معامل المقياس β = 1/ λ ، وهو أيضًا المتوسط: $${\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

يُعطى المتوسط ​​أو القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي X ذي توزيع أسي بمعامل معدل λ بالصيغة التالية:$${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.}$$

في ضوء الأمثلة الواردة أدناه ، فإن هذا الأمر منطقي؛ يمكن للشخص الذي يتلقى في المتوسط ​​مكالمتين هاتفيتين في الساعة أن يتوقع أن يكون الوقت بين المكالمات المتتالية 0.5 ساعة، أو 30 دقيقة.

يُعطى تباين X بالصيغة التالية$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},}$$ إذن، الانحراف المعياري يساوي المتوسط.

لحظات X ، لـ​${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.}$$

اللحظات المركزية لـ X ، لـ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$يتم تقديمها بواسطة $$\displaystyle \mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$$ حيث أن  ! n هو العامل الفرعي لـ n .

الوسيط لـ X يُعطى بالصيغة التالية :$${\displaystyle \operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],}$$ حيث يشير ln إلى اللوغاريتم الطبيعي . وبالتالي، فإن الفرق المطلق بين المتوسط ​​والوسيط هو $${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}$$

وفقًا لعدم المساواة بين الوسيط والمتوسط .

يخضع المتغير العشوائي T ذو التوزيع الأسي للعلاقة التالية $${\displaystyle \Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.}$$

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في دالة التوزيع التراكمي التكميلية : $$\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}$$

عندما يُفسَّر T على أنه زمن الانتظار لحدوث حدث ما نسبةً إلى زمن ابتدائي، فإن هذه العلاقة تعني أنه إذا كان T مشروطًا بعدم رصد الحدث خلال فترة زمنية ابتدائية s ، فإن توزيع زمن الانتظار المتبقي يكون مماثلاً للتوزيع الأصلي غير المشروط. على سبيل المثال، إذا لم يقع حدث ما بعد 30 ثانية، فإن الاحتمال المشروط بأن يستغرق وقوعه 10 ثوانٍ إضافية على الأقل يساوي الاحتمال غير المشروط لرصد الحدث بعد أكثر من 10 ثوانٍ من الزمن الابتدائي.

يُعد التوزيع الأسي والتوزيع الهندسي التوزيعين الاحتماليين الوحيدين اللذين لا يمتلكان ذاكرة .

وبالتالي فإن التوزيع الأسي هو بالضرورة التوزيع الاحتمالي المستمر الوحيد الذي له معدل فشل ثابت .

دالة الكمية (دالة التوزيع التراكمي العكسي) لـ Exp( λ ) هي $${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$$

وبالتالي فإن الأرباع هي :

• الربع الأول: ln(4/3)/ λ
• الوسيط : ln(2)/ λ
• الربع الثالث: ln(4)/ λ

ونتيجة لذلك، فإن المدى الربيعي هو ln(3)/ λ .

يتم اشتقاق القيمة الشرطية المعرضة للخطر (CVaR) والمعروفة أيضًا باسم العجز المتوقع أو الكمية الفائقة لـ Exp( λ ) على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

$$\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}$$

إن احتمال التجاوز المخفف هو واحد ناقص مستوى الاحتمال الذي يتساوى عنده معدل الخطر المشروط مع العتبة${\displaystyle x}$. وقد تم اشتقاقها على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}}$$

التباعد الموجه لكولباك- لايبير في نواة${\displaystyle e^{\lambda }}$(توزيع تقريبي) من${\displaystyle e^{\lambda _{0}}}$يُعطى التوزيع "الحقيقي" بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}}$$

من بين جميع التوزيعات الاحتمالية المستمرة ذات المجال [ 0, ∞) والمتوسط ​​μ ، يتميز التوزيع الأسي ذو λ = 1/ μ بأكبر إنتروبيا تفاضلية . بعبارة أخرى، هو التوزيع الاحتمالي ذو الإنتروبيا القصوى لمتغير عشوائي X أكبر من أو يساوي الصفر، والذي تكون عنده قيمة E[ X ] ثابتة. ^{[ 5 ]}

بالنسبة لمتغير عشوائي${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$مع المعلمة${\displaystyle \lambda }$، المتغير مضروبًا في ثابت${\displaystyle c>0}$وهي موزعة أسياً مرة أخرى: $${\displaystyle cX\sim \mathrm {Exp} (\lambda /c).}$$

لتكن X1 _، ...، Xn متغيرات ^{عشوائية} مستقلة موزعة أُسّيًا بمعاملات معدل λ1 _، ...، λn _. عندئذٍ _[ ^{6 ]}$${\displaystyle \min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}}$$ كما أنها موزعة أُسّيًا، بمعامل $${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.}$$

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في دالة التوزيع التراكمي التكميلية : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}}$$

يتم توزيع مؤشر المتغير الذي يحقق الحد الأدنى وفقًا للتوزيع الفئوي $${\displaystyle \Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.}$$

يمكن إثبات ذلك من خلال السماح${\displaystyle I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$. ثم، $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}}$$

في المقابل،${\displaystyle \max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$لا يتم توزيعها بشكل أسي، إذا لم يكن لدى X ₁ ، ... ، X _{n جميعها المعلمة 0.} ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$يكون${\displaystyle n}$متغيرات عشوائية أسية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات معامل معدل λ .${\displaystyle X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}}$تشير إلى إحصائيات الترتيب المقابلة . لـ${\displaystyle i<j}$العزم المشترك${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]}$إحصائيات الطلبات${\displaystyle X_{(i)}}$و${\displaystyle X_{(j)}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال تطبيق قانون التوقع الكلي وخاصية انعدام الذاكرة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

تنتج المعادلة الأولى من قانون التوقع الكلي . أما المعادلة الثانية فتستغل حقيقة أنه بمجرد أن نفرض شرطًا على${\displaystyle X_{(i)}=x}$وبالتالي، يجب أن يترتب على ذلك${\displaystyle X_{(j)}\geq x}$تعتمد المعادلة الثالثة على خاصية انعدام الذاكرة لاستبدالها${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]}$مع${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x}$.

دالة توزيع الاحتمال (PDF) لمجموع متغيرين عشوائيين مستقلين هي التفاف دوال توزيع الاحتمال الفردية لكل منهما .${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$هي متغيرات عشوائية أسية مستقلة ذات معاملات معدل خاصة بها${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2},}$ثم كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle Z=X_{1}+X_{2}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}}$$ تتوفر إنتروبيا هذا التوزيع بصيغة مغلقة: بافتراض${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}}$(دون الإخلال بعمومية المسألة)، إذن $${\displaystyle {\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني ، و${\displaystyle \psi (\cdot )}$هي دالة ديغاما . ^{[ 8 ]}

في حالة تساوي معاملات المعدل، تكون النتيجة توزيع إيرلانغ ذو شكل 2 ومعامل${\displaystyle \lambda ,}$وهو بدوره حالة خاصة من توزيع جاما .

مجموع n من المتغيرات العشوائية الأسية المستقلة Exp( λ) موزعة Gamma(n, λ) .

• التوزيع الأسي هو حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع 3 .
• لأي${\displaystyle \lambda >0}$:${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)=\mathrm {Gamma} (1,\lambda )=\mathrm {Erlang} (1,\lambda )}$[ ^{9 ]​}
• ${\displaystyle \mathrm {Exp} (1/2)=\chi _{2}^{2}}$.

• إذا كان X يتبع التوزيع لابلاس (μ, β ^{- 1} )، فإن | X − μ| يتبع التوزيع الأسي (β). ^{[ 9 ]} من جهة أخرى، إذا كان X و Y يتبعان التوزيع الأسي (λ) بشكل مستقل ، فإن X  -  Y يتبع التوزيع لابلاس (0, λ ^{- 1} ). كذلك، إذا كان _X يتبع التوزيع الأسي (λ₁ ₎ و Y يتبع التوزيع الأسي (λ₂ ₎ ، فإن _λ₁X - λ₂Y يتبع التوزيع لابلاس (0, 1).  
• إذا كان X يتبع التوزيع بيتا(λ, 1) ، فإن −log( X ) يتبع التوزيع الأسي(λ). وبالمثل، إذا كان Y يتبع التوزيع الأسي(λ)، فإن e ^−Y يتبع التوزيع بيتا(λ, 1) . ^{[ 9 ]}
• كحالة خاصة مما سبق: إذا كان X يتبع التوزيع الطبيعي U (0, 1) ، فإن −log( X )/λ يتبع التوزيع الأسي Exp(λ). وبالمثل، إذا كان Y يتبع التوزيع الأسي Exp(λ)، فإن e ^−λY يتبع التوزيع الطبيعي U (0, 1) . هذه نتيجة مباشرة لتحويل التكامل الاحتمالي .
• إذا كان X يتبع توزيع باريتو (k, λ) ، فإن log( X /k) يتبع توزيع أسّي (λ). وبالمثل، إذا كان Y يتبع توزيع أسّي (λ)، فإن ^keY يتبع توزيع باريتو ( k , λ) . ^{[ 9 ]}
• إذا كان X يتبع التوزيع اللوجستي المائل (θ) ، فإن${\displaystyle \log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )}$. وبالمثل، إذا كان Y ~ Exp(λ)، فإن −log(e ^Y −1) ~ SkewLogistic(λ) .
• إذا كان X ~ Rayleigh(σ) ، فإن${\displaystyle X^{2}\sim \mathrm {Exp} (1/(2\sigma ^{2}))}$بصورة مكافئة، إذا كان Y ~ Exp(λ)، فإن${\displaystyle {\sqrt {Y}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left(1/{\sqrt {2\lambda }}\right)}$[ ^{9 ]​}
• إذا كان X يتبع توزيع Weibull(λ, k) ، فإن Xk ^يتبع توزيع Exp(1/λk ⁾ . ^{[ 10 ]} وعلى وجه الخصوص، إذا كان Y يتبع توزيع Exp(λ)، فإن Y² ^يتبع توزيع Weibull(1/λ² ^, 1/2) . ^{[ 9 ]}
• إذا كان X ~ Gumbel(μ, β) ، ثم exp(( X -μ)/β) ~ Exp(1). بشكل مكافئ، إذا كانت Y ~ Exp(α)، إذن μ − β log(lect X ) ∼ Gumbel (μ, β) = GEV(μ, σ, 0) .
• إذا كان X يتبع توزيع بنكتاندر-ويبول (λ, 1)، فإن X  -  1 يتبع توزيع أسّي (λ). وبالمثل، إذا كان Y يتبع توزيع أسّي (λ)، فإن 1  + Y يتبع توزيع بنكتاندر-ويبول (λ, 1)، والذي يؤول إلى توزيع أسّي مقطوع. 
• إذا كان X ~ Exp(λ)، فإن${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} _{0}\left(1-e^{-\lambda }\right)}$،${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} _{1}\left(1-e^{-\lambda }\right)}$و 1 / k e X ^~ PowerLaw ( k , λ ) .
• إذا كان X ~ Exp(1)، فإن${\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )}$.
• إذا كان X و Y مستقلين ويتبعان التوزيع الأسي (1)، فإن X / Y يتبع التوزيع اللوماكس (1، 1)${\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )}$ويمكن استخدام الطريقة الأولى للحصول على فترة ثقة لنسب المعدلات${\displaystyle {\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}}$.
• إذا كان X ~ Exp(1) و${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)}$إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.${\displaystyle {\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )}$.
• إذا كان X ~ Exp(λ) و λ ~ Gamma ( k , Λ)، فإن التوزيع الهامشي لـ X هو Lomax ( k , Λ)، وهو خليط جاما .
• إذا كان X ~ Exp(λ) و${\displaystyle Y\mid X}$~ بواسون ( X )، إذن${\displaystyle Y\sim \operatorname {Geometric} _{0}\left({\frac {1}{1+\lambda ^{-1}}}\right)}$.
• إذا كان Y _i ~ U (0, 1)، فإن$${\displaystyle n\min \left(Y_{1},\ldots ,Y_{n}\right)\ {\overset {d}{\longrightarrow }}\ \operatorname {Exp} (1).}$$منذ${\displaystyle \min \left(Y_{1},\ldots ,Y_{n}\right)\sim \operatorname {Beta} (1,n)}$وبالتالي، فإن التوزيع الأسي هو حد ( ضعيف ) لتوزيع بيتا المُقاس :$${\displaystyle n\operatorname {Beta} (1,n)\ {\overset {w}{\longrightarrow }}\ \operatorname {Exp} (1).}$$
• يمكن الحصول على توزيع هويت من التوزيع الأسي وتوزيع الجيب العكسي .
• يُعد التوزيع الأسي حالة حدية للتوزيع الأسي κ في${\displaystyle \kappa =0}$قضية.
• التوزيع الأسي هو حالة حدية لتوزيع غاما المعمم من نوع كابا في${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle \nu =1}$حالات:

  ${\displaystyle \lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}.}$

التوزيعات المرتبطة بشكل غير مباشر:

• التوزيع الأسي الفائق - التوزيع الذي تكون كثافته عبارة عن مجموع مرجح للكثافات الأسية.
• التوزيع شبه الأسي – توزيع المجموع العام للمتغيرات العشوائية الأسية. ^{[ 9 ]}
• التوزيع الغاوسي الموسع – مجموع التوزيع الأسي والتوزيع الطبيعي .

فيما يلي، دع X، X ₁ ، ...، X _n ~ Exp(λ) تكون جميعها مستقلة .

• ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim }$إرلانج ( ن , α) = جاما ( ن , α). ^{[ 11 ]}
• لو${\displaystyle T=X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$، ثم${\displaystyle 2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}}$.
• ${\displaystyle {\frac {X}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\sim }$لوماكس ( ن ، 1) و${\displaystyle {\frac {X}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}+1\sim }$باريتو (1، ن ).
• ${\displaystyle {\frac {X}{X+\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\sim }$بيتا (1، ن ). ^{[ 12 ]} على وجه الخصوص،${\displaystyle {\frac {X}{X+X_{1}}}\sim }$U (0,1).

معلومات فيشر ، المشار إليها${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )}$، لتقدير معامل المعدل${\displaystyle \lambda }$يُعطى على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx}$$

بتطبيق التوزيع وحل المعادلة نحصل على: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.}$$

يحدد هذا مقدار المعلومات التي تحملها كل عينة مستقلة من التوزيع الأسي حول معلمة المعدل المجهولة${\displaystyle \lambda }$.

يتم إعطاء فترة ثقة دقيقة بنسبة 100 (1 − α)٪ لمعامل المعدل للتوزيع الأسي بواسطة: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$ وهو ما يساوي أيضًا $${\displaystyle {\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$ حيث χ² ⁽ _{p , v} ) هي النسبة المئوية 100( p ) لتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية v ، و n هو عدد المشاهدات، و x-bar هو متوسط ​​العينة. يمكن اشتقاق تقريب بسيط لنهايات الفترة الدقيقة باستخدام تقريب طبيعي لتوزيع χ² ⁽ _{p , v)} . يعطي هذا التقريب القيم التالية لفترة ثقة 95%: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}$$

قد يكون هذا التقريب مقبولاً للعينات التي تحتوي على ما لا يقل عن 15 إلى 20 عنصرًا. ^{[ 17 ]}

التوزيع المسبق المترافق للتوزيع الأسي هو توزيع غاما (الذي يُعد التوزيع الأسي حالة خاصة منه). ويكون تمثيل دالة كثافة الاحتمال لتوزيع غاما بالمعاملات التالية مفيدًا:

$${\displaystyle \operatorname {Gamma} (\lambda$$ ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).}

يمكن بعد ذلك التعبير عن التوزيع الاحتمالي اللاحق p بدلالة دالة الاحتمال المحددة أعلاه والتوزيع الاحتمالي المسبق غاما:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda$$ ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}}

تم الآن تحديد دالة الكثافة الاحتمالية الخلفية p حتى قيمة ثابتة مفقودة للتطبيع. وبما أنها تأخذ شكل دالة كثافة احتمالية غاما، فيمكن ملؤها بسهولة، فنحصل على:

$${\displaystyle p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda$$ ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).}

هنا، يمكن تفسير المعامل الفائق α على أنه عدد المشاهدات السابقة، و β على أنه مجموع المشاهدات السابقة. أما المتوسط ​​اللاحق هنا فهو: $${\displaystyle {\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.}$$

يُعد التوزيع الأسي أحد التوزيعات الإحصائية العديدة ذات البنية الجماعية . ونتيجةً لهذه البنية الجماعية، يرتبط التوزيع الأسي بمقياس هار ، وهو${\displaystyle 1/\lambda .}$يُتيح استخدام مقياس هار كتوزيع احتمالي مسبق (يُعرف باسم توزيع هار المسبق) في التنبؤ البايزي الحصول على احتمالات مُعايرة بدقة تامة، بغض النظر عن القيم الحقيقية للمعلمات الأساسية. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} تتميز الاحتمالات المُعايرة بدقة تامة بأن الاحتمالات المُتوقعة تُطابق تمامًا تردد الأحداث خارج العينة. بالنسبة للتوزيع الأسي، توجد صيغة دقيقة للتنبؤات البايزية المُولدة باستخدام توزيع هار المسبق، وهي:

${\displaystyle p_{\rm {Haar-prior}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}}.}$

هذا مثال على معايرة التنبؤ المسبق، حيث يتم اختيار التوزيع المسبق لتحسين المعايرة (وفي هذه الحالة، لجعل المعايرة مثالية). تتم معايرة التنبؤ المسبق للدالة الأسية باستخدام توزيع هار المسبق في حزمة برمجيات R المسماة fitdistcp.

يمكن استخلاص نفس التوقع من عدد من وجهات النظر الأخرى، كما هو موضح في قسم التوقعات أدناه.

يحدث التوزيع الأسي بشكل طبيعي عند وصف أطوال فترات الوصول بين الأحداث في عملية بواسون المتجانسة .

يمكن اعتبار التوزيع الأسي نظيراً متصلاً للتوزيع الهندسي ، الذي يصف عدد تجارب برنولي اللازمة لتغيير حالة عملية منفصلة . في المقابل، يصف التوزيع الأسي الزمن اللازم لتغيير حالة عملية متصلة.

في سيناريوهات العالم الحقيقي، نادرًا ما يتحقق افتراض ثبات المعدل (أو الاحتمالية لكل وحدة زمنية). على سبيل المثال، يختلف معدل المكالمات الهاتفية الواردة باختلاف وقت اليوم. ولكن إذا ركزنا على فترة زمنية يكون فيها المعدل ثابتًا تقريبًا، مثل الفترة من الساعة الثانية إلى الرابعة مساءً خلال أيام العمل، فيمكن استخدام التوزيع الأسي كنموذج تقريبي جيد للوقت حتى وصول المكالمة الهاتفية التالية. وتنطبق محاذير مماثلة على الأمثلة التالية التي تُنتج متغيرات موزعة توزيعًا أسيًا تقريبًا:

• الوقت اللازم لتحلل جسيم مشع ، أو الوقت بين نقرات عداد جايجر
• الوقت الفاصل بين تلقي مكالمة هاتفية وتلقي المكالمة التالية
• الوقت اللازم للتخلف عن السداد (لحاملي ديون الشركة) في نموذج مخاطر الائتمان ذي الشكل المختزل

يمكن أيضًا استخدام المتغيرات الأسية لنمذجة المواقف التي تحدث فيها أحداث معينة باحتمالية ثابتة لكل وحدة طول، مثل المسافة بين الطفرات على شريط الحمض النووي ، أو بين حوادث دهس الحيوانات على طريق معين.

في نظرية الطوابير ، غالبًا ما تُنمذج أوقات خدمة العملاء في نظام ما (مثل المدة التي يستغرقها موظف البنك لخدمة عميل) كمتغيرات موزعة أُسّيًا. (على سبيل المثال، يُنمذج وصول العملاء أيضًا بتوزيع بواسون إذا كانت عمليات الوصول مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا). أما طول عملية يمكن اعتبارها سلسلة من عدة مهام مستقلة، فيتبع توزيع إيرلانغ (وهو توزيع مجموع عدة متغيرات مستقلة موزعة أُسّيًا).

تستخدم نظرية الموثوقية وهندسة الموثوقية التوزيع الأسي على نطاق واسع. ونظرًا لخاصية انعدام الذاكرة لهذا التوزيع، فهو مناسب تمامًا لنمذجة الجزء ذي معدل الخطر الثابت من منحنى حوض الاستحمام المستخدم في نظرية الموثوقية. كما أنه ملائم للغاية لسهولة إضافة معدلات الفشل في نموذج الموثوقية. مع ذلك، لا يُعد التوزيع الأسي مناسبًا لنمذجة العمر الإجمالي للكائنات الحية أو الأجهزة التقنية، لأن "معدلات الفشل" هنا ليست ثابتة: إذ تحدث أعطال أكثر في الأنظمة الحديثة جدًا والقديمة جدًا.

في الفيزياء ، إذا رصدت غازًا عند درجة حرارة وضغط ثابتين في مجال جاذبية منتظم ، فإن ارتفاعات الجزيئات المختلفة تتبع أيضًا توزيعًا أسيًا تقريبيًا، يُعرف باسم الصيغة البارومترية . وهذا نتيجة لخاصية الإنتروبيا المذكورة أدناه.

في علم المياه ، يُستخدم التوزيع الأسي لتحليل القيم القصوى لمتغيرات مثل القيم القصوى الشهرية والسنوية لهطول الأمطار اليومي وأحجام تصريف الأنهار. ^{[ 21 ]}

يوضح الشكل الأزرق مثالاً على ملاءمة التوزيع الأسي لبيانات هطول الأمطار القصوى السنوية ليوم واحد، مع إظهار نطاق الثقة بنسبة 90% بناءً على التوزيع ذي الحدين . وتُمثل بيانات هطول الأمطار برسم المواقع كجزء من تحليل التكرار التراكمي .

في إدارة غرف العمليات، يتم توزيع مدة الجراحة لفئة من العمليات الجراحية التي لا تحتوي على محتوى عمل نموذجي (كما هو الحال في غرفة الطوارئ، والتي تشمل جميع أنواع العمليات الجراحية).

بعد رصد عينة من n نقطة بيانات من توزيع أسي غير معروف، تتمثل المهمة الشائعة في استخدام هذه العينات للتنبؤ بالبيانات المستقبلية من المصدر نفسه. يُعد توزيع الإدخال أحد التوزيعات التنبؤية الشائعة للعينات المستقبلية، ويتكون من خلال إدخال تقدير مناسب لمعامل المعدل λ في دالة الكثافة الأسية. يُعد التقدير الذي يوفره مبدأ الاحتمال الأقصى خيارًا شائعًا، وباستخدامه نحصل على الكثافة التنبؤية لعينة مستقبلية x _{_{n +1}}، مشروطة بالعينات المرصودة x = ( x _₁ , ..., x_{_n} ) كما يلي: $${\displaystyle p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right).}$$

يوفر النهج البايزي توزيعًا تنبؤيًا يأخذ في الاعتبار عدم اليقين في المعلمة المقدرة، على الرغم من أن هذا قد يعتمد بشكل حاسم على اختيار التوزيع المسبق.

التوزيع التنبؤي الخالي من مشاكل اختيار التوزيعات الاحتمالية المسبقة التي تنشأ في ظل النهج البايزي الذاتي هو

$${\displaystyle p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},}$$

والتي يمكن اعتبارها

1. توزيع الثقة التكراري ، الذي تم الحصول عليه من توزيع الكمية المحورية${\displaystyle {x_{n+1}}/{\overline {x}}}$; ^{[ 22 ]}
2. احتمالية تنبؤية للملف الشخصي، يتم الحصول عليها عن طريق إزالة المعلمة λ من الاحتمالية المشتركة لـ x _{n +1} و λ عن طريق التعظيم؛ ^{[ 23 ]}
3. توزيع احتمالي خلفي تنبؤي موضوعي بايزي، تم الحصول عليه باستخدام التوزيع المسبق غير المعلوماتي لجيفريز 1/ λ، والذي يساوي التوزيع المسبق الصحيح لهار في هذه الحالة. تضمن التنبؤات المُولَّدة باستخدام التوزيع المسبق الصحيح لهار إعطاء احتمالات مُعايرة بدقة تامة. ^{[ 24 ] [ 25 ]}
4. التوزيع التنبؤي للتقدير الأقصى المعياري المشروط (CNML)، من اعتبارات نظرية المعلومات. ^{[ 26 ]}

يمكن قياس دقة التوزيع التنبؤي باستخدام المسافة أو التباعد بين التوزيع الأسي الحقيقي ذي معامل المعدل λ₀ _، والتوزيع التنبؤي المستند إلى العينة x . يُعد تباعد كولباك-لايبير مقياسًا شائع الاستخدام، لا يعتمد على المعلمات، لقياس الفرق بين توزيعين. إذا رمزنا لتباعد كولباك-لايبير بين توزيع أسي ذي معامل معدل λ₀ وتوزيع تنبؤي p بالرمز Δ( λ₀ || p ) _، فإنه يمكن إثبات ما يلي _:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}}$$

حيث يُحسب التوقع بالنسبة للتوزيع الأسي ذي معامل المعدل λ _∈ (0, ∞) ، و ψ(·) هي دالة ديغاما. من الواضح أن التوزيع التنبؤي CNML يتفوق بشكلٍ واضح على توزيع الاحتمال الأقصى المُدمج من حيث متوسط ​​تباعد كولباك-لايبير لجميع أحجام العينات n > 0 .