رياضيات متصلة

في الجبر ، يمثل المتصل متعدد الحدود متعدد المتغيرات محدد المصفوفة ثلاثية الأقطار وله تطبيقات في الكسور المستمرة .

القارية رقم ن​${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$يتم تعريفها بشكل متكرر بواسطة

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}(x_{1})=x_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,}$

• القارية${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$يمكن حسابها عن طريق جمع جميع نواتج الضرب الممكنة لـ x1 _، ...، xn _، حيث يتم حذف أي عدد من أزواج الحدود المتتالية المنفصلة ( قاعدة أويلر ). على سبيل المثال،

  ${\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}$

ويترتب على ذلك أن المتغيرات المستمرة ثابتة فيما يتعلق بعكس ترتيب المتغيرات غير المحددة:${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}$

• يمكن حساب المتصل كمحدد لمصفوفة ثلاثية الأقطار :

  ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}$

• ${\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}}$، وهو العدد ( ن + 1) من أعداد فيبوناتشي .
• ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}.}$
• تمثل نسب الكسور المستمرة (المتقاربة إلى) الكسور المستمرة على النحو التالي:

  ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.}$

• تتحقق متطابقة المصفوفة التالية:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

  • بالنسبة للمحددات، فهذا يعني أن

    ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}$

  • وأيضًا

    ${\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}$

يأخذ التعريف المعمم المتصل بالنسبة لثلاث متتابعات a و b و c ، بحيث يكون K ( n ) متعدد حدود لـ _a₁ , ..., an _و b₁ , ..., bₙ₋₁ و c₁ , ..., _{cₙ₋₁ . في} هذه الحالة _{، تصبح} علاقة التكرار _{كما يلي :}

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}=a_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,}$

بما أن b _r و c _r يدخلان في K فقط كحاصل ضرب b _r c _r، فلا يوجد فقدان للعمومية في افتراض أن b _r كلها تساوي 1.

المَستَقبِل المُعَمَّم هو تحديدًا مُحدِّد المصفوفة ثلاثية الأقطار

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

في كتاب موير، يُطلق على المتصل المعمم ببساطة اسم المتصل.

• توماس موير (1960). رسالة في نظرية المحددات . منشورات دوفر . الصفحات 516-525 . 
• كوسيك، توماس و.؛ فلاهيف، ماري إي. (1989). أطياف ماركوف ولاغرانج . دراسات وأبحاث رياضية. المجلد  30. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ص  89. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023 . 
• جورج كريستال (1999). الجبر، كتاب تمهيدي للمراحل العليا من المدارس الثانوية والكليات: الجزء الأول . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص  500. ISBN 0-8218-1649-7.