التحدب (التمويل)

في التمويل الرياضي ، يشير التحدب إلى اللاخطية في النموذج المالي . بعبارة أخرى، إذا تغير سعر متغير أساسي، فإن سعر الناتج لا يتغير خطيًا، بل يعتمد على المشتقة الثانية (أو، بتعبير أدق، الحدود ذات الرتبة الأعلى ) لدالة النموذج. هندسيًا، لم يعد النموذج مسطحًا بل منحنيًا، وتُسمى درجة الانحناء بالتحدب.

بالمعنى الدقيق، يشير التحدب إلى المشتقة الثانية لسعر الناتج بالنسبة لسعر المدخل. في تسعير المشتقات ، يُشار إلى ذلك بالرمز غاما (Γ)، وهو أحد العوامل اليونانية . عمليًا، يُعد تحدب السندات أهم هذه العوامل ، وهو المشتقة الثانية لسعر السند بالنسبة لأسعار الفائدة.

بما أن المشتقة الثانية هي الحد غير الخطي الأول، وبالتالي غالباً ما تكون الأكثر أهمية، فإن مصطلح "التحدب" يُستخدم أيضاً بشكل عام للإشارة إلى اللاخطية بشكل عام، بما في ذلك الحدود ذات الرتب العليا. ويُطلق على تحسين النموذج لمراعاة اللاخطية اسم تصحيح التحدب .

بشكل رسمي، ينشأ تعديل التحدب من متباينة جنسن في نظرية الاحتمالات: القيمة المتوقعة لدالة محدبة أكبر من أو تساوي دالة القيمة المتوقعة:

${\displaystyle E[f(X)]\geq f(E[X]).}$

هندسيًا، إذا كان منحنى سعر النموذج تصاعديًا على جانبي القيمة الحالية (دالة العائد محدبة لأعلى، وتقع فوق خط المماس عند تلك النقطة)، فإن سعر الناتج يكون أكبر من القيمة المُحاكاة باستخدام المشتقة الأولى فقط في حال تغير سعر الأصل الأساسي. وعلى العكس، إذا كان منحنى سعر النموذج تنازليًا (التحدب سالب ، ودالة العائد تقع أسفل خط المماس)، فإن سعر الناتج يكون أقل من القيمة المُحاكاة باستخدام المشتقة الأولى فقط.

يعتمد تعديل التحدب الدقيق على نموذج تحركات الأسعار المستقبلية للأصل الأساسي (توزيع الاحتمالات) وعلى نموذج السعر، على الرغم من أنه خطي في التحدب (المشتق الثاني لدالة السعر).

يمكن استخدام التحدب لتفسير تسعير المشتقات: رياضياً، التحدب هو الاختيارية - سعر الخيار (قيمة الاختيارية) يتوافق مع تحدب العائد الأساسي.

في تسعير الخيارات باستخدام نموذج بلاك-شولز ، مع إغفال أسعار الفائدة والمشتقة الأولى، تُختزل معادلة بلاك-شولز إلى${\displaystyle \Theta =-\Gamma ,}$"(بشكل متناهي الصغر) القيمة الزمنية هي التحدب". أي أن قيمة الخيار تعود إلى تحدب العائد النهائي: فلدى المستثمر خيار شراء الأصل أو عدم شرائه (في خيار الشراء؛ أما في خيار البيع، فلديه خيار البيع)، ودالة العائد النهائي (على شكل عصا الهوكي ) محدبة - "الاختيارية" تتوافق مع تحدب العائد. وبالتالي، إذا اشترى المستثمر خيار شراء، فإن القيمة المتوقعة للخيار تكون أعلى من مجرد أخذ القيمة المستقبلية المتوقعة للأصل الأساسي وإدخالها في دالة عائد الخيار: فالقيمة المتوقعة لدالة محدبة أعلى من دالة القيمة المتوقعة (متباينة جنسن). ومن ثم، فإن سعر الخيار - قيمة الاختيارية - يعكس تحدب دالة العائد .

يتم عزل هذه القيمة من خلال استراتيجية سترادل - شراء استراتيجية سترادل عند سعر السوق (والتي تزداد قيمتها إذا ارتفع سعر الأصل الأساسي أو انخفض) ليس لها (في البداية) أي دلتا: فالمرء ببساطة يشتري التحدب (الاختيارية)، دون اتخاذ مركز على الأصل الأساسي - يستفيد المرء من درجة الحركة ، وليس الاتجاه .

من وجهة نظر إدارة المخاطر، فإن امتلاك استراتيجية التحدب الطويل (وجود جاما موجبة وبالتالي (مع تجاهل أسعار الفائدة ودلتا) ثيتا سالبة) يعني أن المرء يستفيد من التقلبات (جاما موجبة)، ولكنه يخسر المال بمرور الوقت (ثيتا سالبة) - يحقق المرء أرباحًا صافية إذا تحركت الأسعار أكثر من المتوقع، ويخسر خسائر صافية إذا تحركت الأسعار أقل من المتوقع.

من منظور النمذجة، تنشأ تعديلات التحدب كلما لم تكن المتغيرات المالية الأساسية التي يتم نمذجتها عبارة عن مارتينجال في ظل مقياس التسعير . يسمح تطبيق نظرية جيرسانوف ^{[ 1 ]} بالتعبير عن ديناميكيات المتغيرات المالية التي يتم نمذجتها في ظل مقياس التسعير، وبالتالي تقدير تعديل التحدب هذا. تشمل الأمثلة النموذجية لتعديلات التحدب ما يلي:

• خيارات كوانتو : الأصل الأساسي مقوّم بعملة مختلفة عن عملة الدفع. إذا كان الأصل الأساسي المخفّض مارتينجال وفقًا لمقياسه المحلي المحايد للمخاطر، فإنه لم يعد كذلك وفقًا لمقياس عملة الدفع المحايد للمخاطر
• أدوات مقايضة الاستحقاق الثابت (CMS) (المقايضات، والحدود القصوى/الدنيا) ^{[ 2 ]}
• تحليل فروق الأسعار المعدلة حسب الخيارات (OAS) للأوراق المالية المدعومة بالرهن العقاري أو السندات الأخرى القابلة للاستدعاء
• حساب سعر الفائدة الآجل بين البنوك (IBOR) من العقود الآجلة لليورو دولار
• عقود IBOR الآجلة في ظل نموذج سوق LIBOR (LMM)

• بنهامو، إريك؛ جوناثان أبرام تروب  : المشتقات العالمية: المنتجات والنظرية والتطبيقات، الصفحات 111-120 ، 5.4 تعديل التحدب (خاصة 5.4.1 تصحيح التحدب) ISBN 978-981-256-689-8
• بيلسر، أنطون (2003). "الأساس الرياضي لتصحيح التحدب". التمويل الكمي . 3 (1). SSRN 267995 .