نقطة لونغشامب

في الهندسة ، تُعرف نقطة دي لونغشامب للمثلث بأنها مركز المثلث، وقد سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي غاستون ألبرت غوهيير دي لونغشامب . وهي انعكاس مركز تعامد المثلث حول مركز الدائرة المحيطة به . ^{[ 1 ]}

ليكن المثلث المعطى له رؤوس${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$، مقابل الجانبين المعنيين${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$كما هو الحال في الترميز القياسي في هندسة المثلثات. في الورقة البحثية التي نشرها عام 1886 والتي قدم فيها هذه النقطة، عرّفها دي لونغشامب في البداية بأنها مركز الدائرة.${\displaystyle \Delta }$متعامد مع الدوائر الثلاث${\displaystyle \Delta _{a}}$،${\displaystyle \Delta _{b}}$، و${\displaystyle \Delta _{c}}$، أين${\displaystyle \Delta _{a}}$يتمركز في${\displaystyle A}$بنصف قطر${\displaystyle a}$والدائرتان الأخريان مُعرَّفتان بشكل متناظر. ثم أثبت دي لونغشامب أيضًا أن النقطة نفسها، المعروفة الآن باسم نقطة دي لونغشامب، يمكن تعريفها بشكل مكافئ على أنها مركز تعامد المثلث المضاد للمُكمِّل لـ${\displaystyle ABC}$وأنها انعكاس لمركز التعامد لـ${\displaystyle ABC}$حول مركز الدائرة. ^{[ 2 ]}

دائرة شتاينر للمثلث متحدة المركز مع دائرة النقاط التسع ونصف قطرها يساوي 3/2 نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث؛ ونقطة دي لونغشامب هي المركز المتماثل لدائرة شتاينر والدائرة المحيطة بها. ^{[ 3 ]}

باعتبارها انعكاسًا لمركز التعامد حول مركز الدائرة المحيطة، تقع نقطة دي لونغشامب على الخط المار بكلتا النقطتين، وهو خط أويلر للمثلث المعطى. وبالتالي، فهي تقع على خط واحد مع جميع مراكز المثلثات الأخرى على خط أويلر، والتي تشمل، إلى جانب مركز التعامد ومركز الدائرة المحيطة، مركز ثقل المثلث ومركز الدائرة ذات النقاط التسع . ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تقع نقطة دي لونغشامب أيضًا على خط مستقيم واحد، على طول خط مختلف، مع مركز الدائرة الداخلية ونقطة جيرجون في مثلثها. ^{[ 1 ] [ 5 ]} الدوائر الثلاث التي تتمركز عند${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$، بنصف قطر${\displaystyle s-a}$،${\displaystyle s-b}$، و${\displaystyle s-c}$على التوالي (حيث${\displaystyle s}$( حيث يمثل نصف المحيط ) متماسة فيما بينها، وهناك دائرتان إضافيتان تمسانها جميعًا، وهما دائرتا سودي الداخلية والخارجية؛ وتقع مراكز هاتين الدائرتين أيضًا على نفس الخط مع نقطة دي لونغشامب ومركز الدائرة الداخلية. ^{[ 1 ] [ 3 ]} نقطة دي لونغشامب هي نقطة التقاء هذا الخط مع خط أويلر، ومع ثلاثة خطوط أخرى مُعرَّفة بطريقة مشابهة للخط المار بمركز الدائرة الداخلية، ولكن باستخدام مراكز الدوائر الخارجية الثلاثة للمثلث. ^{[ 3 ] [ 5 ]}

يمكن تعريف مكعب داربو من نقطة دي لونغشامب، باعتباره موضع النقاط${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle X}$، المرافق المتساوي الزوايا لـ${\displaystyle X}$تقع نقطة دي لونغشامب على خط مستقيم واحد. وهي المنحنى التكعيبي الوحيد الثابت للمثلث، والذي يتميز بترافقه الذاتي المتساوي الزوايا وتناظره المركزي؛ حيث يقع مركز تناظره في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث. ^{[ 6 ]} تقع نقطة دي لونغشامب نفسها على هذا المنحنى، وكذلك انعكاسها في مركز التعامد. ^{[ 1 ]}

• فايستين، إريك دبليو. “نقطة دي لونج تشامبز” . عالم الرياضيات .