انعكاس نقطي

رباعيات أوجه مزدوجة متناظرة مركزياً بالنسبة لبعضها البعض

في الهندسة ، يُعرف الانعكاس النقطي (ويُسمى أيضًا الانعكاس المركزي ) بأنه تحويل هندسي للفضاء الأفيني ، حيث تنعكس كل نقطة حول مركز انعكاس مُحدد ، يبقى ثابتًا . في الفضاءات الإقليدية أو شبه الإقليدية ، يُعد الانعكاس النقطي تحويلًا متساوي القياس (يحافظ على المسافة ). ^{[ 1 ]} في المستوى الإقليدي ، يُعادل الانعكاس النقطي دورانًا نصف دورة (180° أو π راديان )، بينما في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، يُعد الانعكاس النقطي دورانًا غير صحيح يحافظ على المسافات ولكنه يعكس الاتجاه . الانعكاس النقطي هو تحويل انعكاسي : تطبيقه مرتين يُعطي تحويل التطابق .

يُقال إن الجسم الذي يظل ثابتًا تحت انعكاس نقطي يمتلك تناظرًا نقطيًا (يُسمى أيضًا تناظر الانعكاس أو التناظر المركزي ). وتُسمى المجموعة النقطية التي تتضمن انعكاسًا نقطيًا ضمن تناظراتها مجموعة متناظرة مركزيًا . يوجد تناظر الانعكاس في العديد من البنى البلورية والجزيئات ، وله تأثير كبير على خصائصها الفيزيائية. ^{[ 2 ]}

مصطلح "الانعكاس" فضفاض، ويعتبره البعض إساءة استخدام للغة، مع تفضيل مصطلح "القلب" ؛ ومع ذلك، يُستخدم مصطلح "الانعكاس النقطي" على نطاق واسع. هذه الخرائط هي عمليات انعكاسية ، أي أن رتبتها 2 - فهي معكوسها الذاتي: تطبيقها مرتين ينتج عنه خريطة التطابق - وهو ما ينطبق أيضًا على الخرائط الأخرى التي تسمى انعكاسات . وبشكل أدق، يشير الانعكاس إلى الانعكاس في مستوى فائق (${\displaystyle n-1}$الفضاء الأفيني ذو البعد k (نقطة على الخط ، خط في المستوى ، مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد)، مع تثبيت المستوى الفائق، ولكن بشكل أوسع، يُطبق الانعكاس على أي انعكاس للفضاء الإقليدي، والمجموعة الثابتة (فضاء أفيني ذو بُعد k ، حيث${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$يُطلق عليه اسم المرآة . في البعد 1، تتطابق هذه النقاط، لأن النقطة هي مستوى فائق في الخط.

في سياق الجبر الخطي، وبافتراض ثبات نقطة الأصل، فإنّ عمليات الانعكاس هي تحديدًا الدوال القابلة للتقطير والتي تكون جميع قيمها الذاتية إما 1 أو -1. أما الانعكاس في مستوى فائق، فله قيمة ذاتية واحدة تساوي -1 (وتعددية).${\displaystyle n-1}$على القيمة الذاتية 1)، بينما انعكاس النقطة له القيمة الذاتية -1 فقط (مع التعددية n ).

لا ينبغي الخلط بين مصطلح الانعكاس والهندسة الانعكاسية ، حيث يتم تعريف الانعكاس بالنسبة للدائرة.

أمثلة ثنائية الأبعاد

متوازي الأضلاع السداسي

مثمن

في بُعدين، يُعادل الانعكاس النقطي دورانًا بزاوية 180 درجة. أما في ثلاثة أبعاد، فيمكن وصف الانعكاس النقطي بأنه دوران بزاوية 180 درجة مُركّب من انعكاس عبر مستوى الدوران، عموديًا على محور الدوران. في البُعد n ، يكون الانعكاس النقطي محافظًا على الاتجاه إذا كان n زوجيًا، ومعكوسًا للاتجاه إذا كان n فرديًا.

بفرض وجود متجه a في الفضاء الإقليدي R ⁿ ، فإن صيغة انعكاس a حول النقطة p هي

${\displaystyle \mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .}$

في الحالة التي تكون فيها النقطة p هي نقطة الأصل، فإن انعكاس النقطة هو ببساطة نفي المتجه a .

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف معكوس النقطة X بالنسبة للنقطة P بأنه النقطة X * التي تكون P منتصف القطعة المستقيمة التي طرفاها X و X *. بعبارة أخرى، يكون المتجه من X إلى P هو نفسه المتجه من P إلى X *.

صيغة الانعكاس في P هي

x * = 2 p − x

حيث أن p و x و x * هي متجهات الموضع لـ P و X و X * على التوالي.

هذا التحويل هو تحويل خطي متماثل القياس ذو نقطة ثابتة واحدة بالضبط ، وهي P.

عندما تتطابق نقطة الانعكاس P مع نقطة الأصل، فإن انعكاس النقطة يكون مكافئًا لحالة خاصة من التحجيم المنتظم : التحجيم المنتظم بمعامل تحجيم يساوي -1. هذا مثال على التحويل الخطي .

عندما لا تتطابق النقطة P مع نقطة الأصل، فإن انعكاس النقطة يكون مكافئًا لحالة خاصة من التحويل المتماثل : التماثل مع مركز متماثل يتطابق مع P، ومعامل قياس -1. (هذا مثال على التحويل الأفيني غير الخطي .)

إن تركيب انعكاسين نقطيين هو إزاحة . ^{[ 3 ]} على وجه التحديد، فإن الانعكاس النقطي عند p متبوعًا بالانعكاس النقطي عند q هو إزاحة بواسطة المتجه 2( q  − p ).

تُشكّل المجموعة التي تضم جميع الانعكاسات والتحويلات النقطية ^زمرة لي جزئية ^من الزمرة الإقليدية . وهي ناتج ضرب شبه مباشر بين Rⁿ وزمرة دورية من الرتبة 2، حيث تؤثر الأخيرة على Rⁿ بالنفي. وهي تحديدًا الزمرة الجزئية من الزمرة الإقليدية التي تُثبّت الخط عند اللانهاية نقطيًا.

في حالة n = 1، تكون مجموعة انعكاس النقطة هي مجموعة التماثل الكاملة للخط.

• ينتج عن انعكاس النقطة عبر مركز الكرة الخريطة المتقابلة .
• الفضاء المتناظر هو فضاء ريماني متعدد الشعب ذو انعكاس متساوي القياس حول كل نقطة. تلعب الفضاءات المتناظرة دورًا هامًا في دراسة زمر لي والهندسة الريمانية .

بالنظر إلى النقطة${\displaystyle P(x,y)}$وانعكاسه${\displaystyle P'(x',y')}$فيما يتعلق بالنقطة${\displaystyle C(x_{c},y_{c})}$، وهذا الأخير هو نقطة منتصف القطعة${\displaystyle {\overline {PP'}}}$؛

${\displaystyle {\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}}$

وبالتالي، فإن المعادلات اللازمة لإيجاد إحداثيات النقطة المنعكسة هي

${\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}}$

وتُعد الحالة التي يكون فيها للنقطة C إحداثيات خاصة.${\displaystyle (0,0)}$(انظر الفقرة أدناه )

${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}}$

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الزوجية ، ولنقل فضاءً ذا أبعاد 2N ، فإن الانعكاس عند نقطة P يُكافئ N دورة بزاوية π في كل مستوى من مجموعة عشوائية من N مستويات متعامدة تتقاطع عند P. هذه الدورات تبادلية فيما بينها. لذلك، فإن الانعكاس عند نقطة في الفضاء ذي الأبعاد الزوجية هو تماثل يحافظ على الاتجاه أو تماثل مباشر .

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الفردية ، ولنقل فضاءً ذا أبعاد ( 2N  +  1)، يُكافئ هذا التناظر N دورة حول π في كل مستوى من مجموعة عشوائية من N مستويات متعامدة تتقاطع عند النقطة P ، بالإضافة إلى الانعكاس في الفضاء الفرعي ذي الأبعاد 2N الذي تُشكّله مستويات الدوران هذه. لذا، فهو يعكس الاتجاه بدلاً من الحفاظ عليه ، وهو تناظر غير مباشر .

هندسيًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُعادل ذلك دورانًا حول محور يمر بالنقطة P بزاوية 180 درجة، مقترنًا بانعكاس في المستوى المار بالنقطة P والعمودي على المحور؛ ولا تعتمد النتيجة على اتجاه المحور (بالمعنى الآخر). وتُستخدم الرموز التالية لوصف نوع العملية، أو نوع المجموعة التي تُنتجها:${\displaystyle {\overline {1}}}$، C _i ، S ₂ ، و 1 × . نوع المجموعة هو أحد أنواع مجموعات التناظر الثلاثة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بدون أي تناظر دوراني بحت ، انظر التناظرات الدورية مع n  =  1.

تحتوي مجموعات النقاط التالية في ثلاثة أبعاد على انعكاس:

• C _{n h و} D n _{h للأعداد} الزوجية n
• S _{2 n} و D _{n d} لـ n فردي
• T _h و Oh و I _h​

يرتبط الانعكاس بالنسبة إلى مستوى ارتباطًا وثيقًا بالانعكاس في نقطة ، والذي يمكن اعتباره "انعكاسًا في مستوى".

يلعب تناظر الانعكاس دورًا رئيسيًا في خصائص المواد، وكذلك عمليات التناظر الأخرى. ^{[ 2 ]}

تحتوي بعض الجزيئات على مركز انعكاس، وهو نقطة يمكن لجميع الذرات أن تنعكس من خلالها مع الحفاظ على التناظر. في كثير من الحالات، يمكن اعتبارها متعددات وجوه، مصنفة حسب عدد التناسق وزوايا الروابط. على سبيل المثال، تُصنف متعددات الوجوه ذات التناسق الرباعي على أنها رباعيات وجوه ، بينما يمكن أن تكون البيئات ذات التناسق الخماسي هرمية مربعة أو ثنائية الهرم المثلثي اعتمادًا على زوايا الروابط. تُعد ثمانيات الوجوه ذات التناسق السداسي مثالًا على متعددات الوجوه المتناظرة مركزيًا، حيث تعمل الذرة المركزية كمركز انعكاس تحافظ من خلاله الذرات الست المرتبطة على التناظر. من ناحية أخرى، فإن رباعيات الوجوه غير متناظرة مركزيًا لأن الانعكاس من خلال الذرة المركزية سيؤدي إلى انعكاس متعدد الوجوه. متعددات الوجوه ذات عدد التناسق الفردي (مقارنةً بالزوجي) ليست متناظرة مركزيًا. تُعرف متعددات الوجوه التي تحتوي على مراكز انعكاس بأنها متناظرة مركزيًا، بينما تلك التي لا تحتوي عليها تُعرف بأنها غير متناظرة مركزيًا. يؤثر وجود مركز التناظر العكسي أو غيابه تأثيرًا كبيرًا على الخصائص البصرية؛ ^{[ 4 ]} فعلى سبيل المثال، تمتلك الجزيئات التي لا تتمتع بتناظر عكسي عزمًا ثنائي القطب ، ويمكنها التفاعل مباشرةً مع الفوتونات، بينما لا تمتلك الجزيئات التي تتمتع بتناظر عكسي عزمًا ثنائي القطب، وتتفاعل فقط عبر تشتت رامان . ^{[ 5 ]} سُمّي هذا الأخير نسبةً إلى سي. في. رامان، الذي مُنح جائزة نوبل في الفيزياء عام 1930 لاكتشافه. ^{[ 6 ]}

بالإضافة إلى ذلك، في علم البلورات ، يميز وجود مراكز الانعكاس في البنى الدورية بين المركبات المتناظرة مركزياً وغير المتناظرة مركزياً. تنشأ جميع المركبات البلورية من تكرار وحدة بناء ذرية تُعرف باسم الخلية الأولية، وتحدد هذه الخلايا الأولية الأشكال متعددة السطوح المتكونة وترتيبها. في العديد من المواد، مثل الأكاسيد، يمكن لهذه الأشكال متعددة السطوح أن ترتبط ببعضها البعض عبر مشاركة الزوايا أو الحواف أو الأوجه، وذلك اعتمادًا على الذرات التي تشترك في روابط مشتركة، وكذلك التكافؤ. في حالات أخرى، مثل المعادن والسبائك ، يُفضل اعتبار البنى ترتيبات لذرات متراصة. تُظهر البلورات التي لا تمتلك تناظر انعكاسي التأثير الكهروإجهادي . كما أن لوجود أو غياب التناظر الانعكاسي آثارًا عديدة على خصائص المواد الصلبة، ^{[ 2 ]} وكذلك العلاقات الرياضية بين تناظرات البلورات المختلفة. ^{[ 7 ]}

غالبًا ما تفتقر الأشكال متعددة السطوح الحقيقية في البلورات إلى التجانس المتوقع في هندسة روابطها. تشمل العيوب الشائعة في علم البلورات التشوهات والاضطراب. ينطوي التشوه على انحناء الأشكال متعددة السطوح نتيجةً لعدم انتظام أطوال الروابط، وغالبًا ما يكون ذلك بسبب اختلاف التفاعلات الكهروستاتيكية بين الذرات غير المتجانسة أو التأثيرات الإلكترونية مثل تشوهات يان-تيلر . على سبيل المثال، من المرجح أن يرتبط مركز التيتانيوم بالتساوي بست ذرات أكسجين في ثماني السطوح، ولكن سيحدث تشوه إذا استُبدلت إحدى ذرات الأكسجين بذرة فلور أكثر كهرسلبية . لا تُغير التشوهات الهندسة الأصلية للأشكال متعددة السطوح - لا يزال ثماني السطوح المشوه يُصنف على أنه ثماني السطوح، ولكن التشوهات القوية بما يكفي يمكن أن تؤثر على التناظر المركزي للمركب. ينطوي الاضطراب على شغل موقعين أو أكثر، حيث تشغل الذرة موقعًا بلوريًا واحدًا في نسبة معينة من الأشكال متعددة السطوح، والمواقع الأخرى في المواقع المتبقية. يمكن أن يؤثر الاضطراب على التناظر المركزي لبعض الأشكال متعددة السطوح أيضًا، اعتمادًا على ما إذا كان الشغل مقسمًا على مركز انعكاس موجود بالفعل أم لا.

ينطبق التناظر المركزي على بنية البلورة ككل، وليس فقط على الأشكال متعددة السطوح الفردية. تُصنف البلورات إلى اثنتين وثلاثين مجموعة نقطية بلورية تصف كيفية ترتيب الأشكال متعددة السطوح المختلفة في الفراغ ضمن البنية الكلية. من بين هذه المجموعات النقطية الاثنتين والثلاثين، إحدى عشرة مجموعة متناظرة مركزياً. لا يضمن وجود أشكال متعددة السطوح غير متناظرة مركزياً أن تكون المجموعة النقطية هي نفسها؛ إذ يمكن أن يتجه شكلان غير متناظرين مركزياً في الفراغ بطريقة تحتوي على مركز تناظر بينهما. يمكن أن يكون لشكلين رباعيي السطوح متقابلين مركز تناظر في المنتصف، لأن هذا التوجيه يسمح لكل ذرة بامتلاك زوج منعكس. وينطبق العكس أيضاً، حيث يمكن ترتيب عدة أشكال متعددة السطوح متناظرة مركزياً لتشكيل مجموعة نقطية غير متناظرة مركزياً.

الانعكاس بالنسبة لنقطة الأصل يُقابله انعكاس جمعي لمتجه الموضع، وكذلك الضرب القياسي في -1 . هذه العملية تبادلية مع جميع التحويلات الخطية الأخرى ، ولكنها غير تبادلية مع الإزاحة : فهي تقع في مركز المجموعة الخطية العامة . يُقصد بكلمة "انعكاس" دون تحديد "في نقطة" أو "في خط" أو "في مستوى" هذا الانعكاس؛ وفي الفيزياء، يُطلق على الانعكاس ثلاثي الأبعاد حول نقطة الأصل اسم تحويل التكافؤ .

^في الرياضيات، يشير الانعكاس حول نقطة الأصل إلى انعكاس نقطة الفضاء الإقليدي Rⁿ حول نقطة الأصل في نظام الإحداثيات الديكارتية . الانعكاس حول نقطة الأصل هو تحويل متعامد يُقابل الضرب القياسي بـ${\displaystyle -1}$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي${\displaystyle -I}$، أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة . في ثلاثة أبعاد، تُرسل هذه المصفوفة${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$وهكذا دواليك.

• الانعكاس الأفيني
• انعكاس الدائرة
• جبر كليفورد
• التطابق (الهندسة)
• مقياس إسترمان
• المجموعة الإقليدية
• مقياس كوفنر-بيسيكوفيتش
• المجموعة المتعامدة
• التكافؤ (في الفيزياء)
• الانعكاس (الرياضيات)
• الفضاء المتناظر لريمان
• مجموعة الدوران