غشاء ديراك

في ميكانيكا الكم ، يُعد غشاء ديراك نموذجًا لغشاء مشحون، قدمه بول ديراك عام 1962. وكان الدافع الأصلي لديراك هو تفسير كتلة الميون على أنها إثارة للحالة الأرضية المقابلة للإلكترون . [ ^{1 ] وباستباقه} لظهور نظرية الأوتار بعقد تقريبًا، كان أول من قدم ما يُعرف الآن بنوع من فعل نامبو-غوتو للأغشية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في نموذج غشاء ديراك، تتوازن قوى التنافر الكهرومغناطيسية المؤثرة على الغشاء مع قوى التقلص الناتجة عن الشد الموجب. في حالة الغشاء الكروي، تشير معادلات الحركة الكلاسيكية إلى أن التوازن يتحقق لنصف القطر${\displaystyle 0.75r_{e}}$، أين${\displaystyle r_{e}}$يمثل نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي . باستخدام شرط بور-سومرفيلد للتكميم لهاملتونيان الغشاء المتناظر كرويًا، يجد ديراك تقريبًا للكتلة المقابلة للإثارة الأولى على النحو التالي:${\displaystyle 53m_{e}}$، أين${\displaystyle m_{e}}$كتلة الإلكترون، والتي تبلغ حوالي ربع كتلة الميون المرصودة.

اختار ديراك طريقة غير تقليدية لصياغة مبدأ عمل الغشاء. لأن الأغشية المغلقة في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يوفر تقسيمًا طبيعيًا للمساحة إلى الداخل والخارج، ويوجد نظام إحداثيات منحني خاص. ${\displaystyle x^{\mu }}$في الزمكان ودالة ${\displaystyle f(x)}$بحيث

• ${\displaystyle f(x)=0}$يُعرّف الغشاء
• ${\displaystyle f(x)>0}$، ${\displaystyle f(x)<0}$وصف منطقة خارج الغشاء أو داخله

اختيار ${\displaystyle x^{1}=f(x)}$والمقياس التالي${\displaystyle \sigma ^{0}=x^{0}=:\tau }$، ${\displaystyle \sigma ^{1}=x^{2}}$، ${\displaystyle \sigma ^{2}=x^{3}}$ أين ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$(${\displaystyle \alpha =0,1,2}$) هي المعلمة الداخلية لحجم العالم الغشائي، وفعل الغشاء الذي اقترحه ديراك هو

${\displaystyle S=S_{EM}+S_{\text{membrane}}}$

${\displaystyle S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi }}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }d^{4}x,\ \ \ \ S_{\text{membrane}}=-{\frac {\omega }{4\pi }}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}}$

حيث يتم إعطاء المقياس المستحث والعاملين J و M بواسطة

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\partial _{\mu }y^{\Lambda }\partial _{\nu }y_{\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3}$

${\displaystyle J={\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}.\ \ \ M=J{\sqrt {-g^{11}}}}$

في ما سبق${\displaystyle y^{\Lambda }}$هي خطوط مستقيمة ومتعامدة. إشارة الزمكان المستخدمة هي (+,-,-,-). لاحظ أن${\displaystyle S_{EM}}$هو مجرد فعل عادي للمجال الكهرومغناطيسي في نظام منحني بينما${\displaystyle S_{\text{membrane}}}$هو التكامل على حجم العالم الغشائي، أي بالضبط نوع الفعل المستخدم لاحقًا في نظرية الأوتار.

توجد ثلاث معادلات حركة ناتجة عن التغير بالنسبة إلى${\displaystyle A_{\mu }}$و${\displaystyle y^{\Lambda }}$وهي:

• التباين فيما يتعلق${\displaystyle A_{\mu }}$ل${\displaystyle x_{1}>0}$- ينتج عن ذلك معادلات ماكسويل عديمة المصدر
• التباين فيما يتعلق${\displaystyle y^{\Lambda }}$ل${\displaystyle x_{1}>0}$وهذا يعطي نتيجة لمعادلات ماكسويل
• التباين فيما يتعلق${\displaystyle y^{\Lambda }}$ل${\displaystyle x_{1}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\أوميغا J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }}$

للمعادلة الأخيرة تفسير هندسي: فالطرف الأيمن يتناسب مع انحناء الغشاء. في حالة التناظر الكروي، نحصل على

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}}$

وبالتالي، فإن شرط التوازن${\displaystyle {\dot {\rho }}=0}$يشير إلى ${\displaystyle a^{3}=e^{2}/4\أوميغا }$أين${\displaystyle a}$يمثل نصف قطر الغشاء المتوازن. الطاقة الكلية للغشاء الكروي ذي نصف القطر${\displaystyle \rho }$يكون

${\displaystyle E(\rho )=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}}$

ويكون تأثيره ضئيلاً في حالة التوازن لـ${\displaystyle \beta =\omega }$، لذلك${\displaystyle E(a)=3e^{2}/4a}$من ناحية أخرى، ينبغي أن تكون الطاقة الكلية في حالة التوازن${\displaystyle m_{e}}$(في${\displaystyle c=1}$(وحدات) وهكذا نحصل على${\displaystyle a=0.75r_{e}}$.

تشير التذبذبات الصغيرة حول نقطة التوازن في الحالة المتناظرة كرويًا إلى وجود ترددات -${\displaystyle {\sqrt {6}}/a}$لذلك، بالانتقال إلى نظرية الكم، ستكون طاقة الكم الواحد هي${\displaystyle h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}}$هذا أكبر بكثير من كتلة الميون، لكن الترددات ليست صغيرة بأي حال من الأحوال، لذا قد لا يكون هذا التقريب دقيقًا. للحصول على نظرية كمومية أفضل، يجب حساب هاميلتونيان النظام وحل معادلة شرودنغر المقابلة.

بالنسبة لصياغة الهاميلتوني، يُدخل ديراك الزخم المعمم

• ل${\displaystyle x^{1}>0}$:${\displaystyle B^{\mu }}$و ${\displaystyle w_{R}}$- الزخم المترافق مع${\displaystyle A_{\mu }}$و${\displaystyle y^{R}}$على التوالى (${\displaystyle R=1,2,3}$، اختيار الإحداثيات${\displaystyle x^{0}=y^{0}}$)
• ل${\displaystyle x^{1}=0}$:${\displaystyle W_{R}}$- الزخم المترافق مع${\displaystyle y^{R}}$

ثم يلاحظ المرء القيود التالية

• بالنسبة لحقل ماكسويل

  ${\displaystyle B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0}$

• لزخم الغشاء

  ${\displaystyle W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)}$

أين${\displaystyle c^{ab}}$- مقلوب${\displaystyle g_{ab}}$،${\displaystyle a,b=0,2,3}$.

يجب تضمين هذه القيود عند حساب الهاميلتوني باستخدام طريقة قوس ديراك . وتكون نتيجة هذا الحساب هي الهاميلتوني بالشكل التالي:

${\displaystyle H=H_{EM}+H_{s}}$

${\displaystyle H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}}$

أين${\displaystyle H_{EM}}$هي دالة هاميلتون للمجال الكهرومغناطيسي مكتوبة في النظام المنحني.

بالنسبة للحركة المتناظرة كرويًا، يكون الهاميلتوني هو

${\displaystyle H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1}$

مع ذلك، فإن التكميم المباشر غير واضح بسبب الجذر التربيعي للمؤثر التفاضلي . وللتعمق أكثر، ينظر ديراك في طريقة بور-سومرفيلد.

${\displaystyle 2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho }$

ويجد${\displaystyle E_{1}\approx 53m_{e}}$ل${\displaystyle n=1}$.

• غشاء

• PAM Dirac، نموذج قابل للتوسيع للإلكترون، وقائع الجمعية الملكية A268، (1962) 57-67.