توزيع بواسون المزاح

دالة الكتلة الاحتمالية هي

${\displaystyle P(X=n)={\begin{cases}e^{-\lambda }{\dfrac {\lambda ^{n+r}}{\left(n+r\right)!}}\cdot {\dfrac {1}{I\left(r,\lambda \right)}},\quad n=0,1,2,\ldots &{\text{if }}r\geq 0\\[10pt]e^{-\lambda }{\dfrac {\lambda ^{n+r}}{\left(n+r\right)!}}\cdot {\dfrac {1}{I\left(r+s,\lambda \right)}},\quad n=s,s+1,s+2,\ldots &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \lambda >0}$و r هو مُعامل جديد؛ يتم استعادة توزيع بواسون عند r  =  0. هنا${\displaystyle I\left(r,\lambda \right)}$دالة جاما غير الكاملة لبيرسون :

${\displaystyle I(r,\lambda )=\sum _{y=r}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{y}}{y!}},}$

حيث s هو الجزء الصحيح من r . الدافع الذي قدمه ستاف ^{[ 1 ]} هو أن نسبة الاحتمالات المتتالية في توزيع بواسون (أي${\displaystyle P(X=n)/P(X=n-1)}$) معطى بواسطة${\displaystyle \lambda /n}$ل${\displaystyle n>0}$وتعميم بواسون المزاح لهذه النسبة إلى${\displaystyle \lambda /\left(n+r\right)}$.

من عيوب توزيع بواسون أنه يفترض تساوي التشتت - أي أن متوسط ​​المتغير وتباينه متساويان. ^{[ 2 ]} قد يكون توزيع بواسون المُزاح مفيدًا لنمذجة البيانات ذات التشتت المنخفض أو المرتفع، مثل:

• توزيع تجمعات الحشرات في الحقول الزراعية؛ ^{[ 3 ]}
• عدد الأزهار على النباتات؛ ^{[ 1 ]}
• إحصاءات حوادث السيارات؛ ^{[ 4 ]} و
• طول الكلمات أو الجمل في الكتابة. ^{[ 5 ]}

• بالنسبة لمتغير عشوائي مُزاح يتبع توزيع بواسون، يكون المتوسط ​​مساوياً لـ${\displaystyle \lambda -r}$والتباين يساوي${\displaystyle \lambda }$.
• المنوال لمتغير عشوائي مُزاح يتبع توزيع بواسون هو القيم الصحيحة المحصورة بين${\displaystyle \lambda -r-1}$و${\displaystyle \lambda -r}$متى${\displaystyle \lambda \geq r+1}$. متى${\displaystyle \lambda <r+1}$يوجد وضع واحد في${\displaystyle x=0}$.
• التراكم الأول${\displaystyle \kappa _{1}}$يساوي${\displaystyle \lambda -r}$وجميع التراكمات اللاحقة${\displaystyle \kappa _{n},n\geq 2}$يساوي${\displaystyle \lambda }$.