اختبار دونيت

تحدث مشكلة المقارنات المتعددة، أو تعدد الاختبارات، عند النظر في مجموعة من الاستدلالات الإحصائية في آنٍ واحد، أو عند استنتاج مجموعة فرعية من المعلمات المختارة بناءً على القيم المرصودة. وتتمثل القضية الرئيسية في أي نقاش حول إجراءات المقارنات المتعددة في مسألة احتمالية الخطأ من النوع الأول. وتنشأ معظم الاختلافات بين التقنيات البديلة من اختلاف المناهج المتبعة في كيفية التحكم في هذه الأخطاء. تُعدّ المشكلة تقنية جزئيًا، ولكنها في جوهرها مسألة ذاتية تتعلق بكيفية تعريف معدل الخطأ، ومدى السماح بحد أقصى لمعدل الخطأ. ^{[ 7 ]} يُعدّ اختبار دونيت معروفًا على نطاق واسع ويُستخدم بكثرة في إجراءات المقارنات المتعددة للمقارنة المتزامنة، عن طريق تقدير الفترات أو اختبار الفرضيات، بين جميع العلاجات الفعّالة ومجموعة ضابطة عند أخذ عينات من توزيع يكون فيه افتراض التوزيع الطبيعي معقولًا. صُمّم اختبار دونيت بحيث يكون معدل الخطأ الإجمالي عند أو أقل من${\displaystyle \alpha }$عند إجراء مقارنات متعددة بين مجموعة العلاج والمجموعة الضابطة. ^{[ 7 ]}

أُنجز العمل الأصلي حول مشكلة المقارنات المتعددة بواسطة توكي وشيفيه . كانت طريقتهما عامة، إذ أخذت في الاعتبار جميع أنواع المقارنات الثنائية. [ ^{7 ] تسمح} طرق توكي وشيفيه بإجراء أي عدد من المقارنات بين مجموعة من متوسطات العينات. من ناحية أخرى، يقارن اختبار دونيت مجموعة واحدة فقط مع المجموعات الأخرى، ويتناول حالة خاصة من مشكلة المقارنات المتعددة، وهي المقارنات الثنائية بين مجموعات علاجية متعددة ومجموعة تحكم واحدة. في الحالة العامة، حيث نقارن كل زوج من الأزواج، نقوم بـ${\displaystyle k(k-1){\big /}2}$المقارنات (حيث k هو عدد المجموعات)، ولكن في حالة العلاج مقابل الضوابط، سنجري فقط${\displaystyle (k-1)}$المقارنات. إذا استخدمنا في حالة مجموعات العلاج والمجموعات الضابطة طريقتي توكي وشيفيه الأكثر عمومية، فقد ينتج عنهما فترات ثقة واسعة بشكل غير ضروري. يأخذ اختبار دونيت في الاعتبار البنية الخاصة لمقارنة العلاج بالضابط، مما ينتج عنه فترات ثقة أضيق. ^{[ 5 ]} من الشائع جدًا استخدام اختبار دونيت في التجارب الطبية، على سبيل المثال مقارنة قياسات تعداد الدم في ثلاث مجموعات من الحيوانات، إحداها ضابطة بينما عولجت المجموعتان الأخريان بدوائين مختلفين. ومن الاستخدامات الشائعة الأخرى لهذه الطريقة بين المهندسين الزراعيين: فقد يرغبون في دراسة تأثير بعض المواد الكيميائية المضافة إلى التربة على محصول المحاصيل، لذلك يتركون بعض قطع الأرض دون معالجة (قطع ضابطة) ويقارنونها بقطع الأرض التي أضيفت إليها المواد الكيميائية (قطع معالجة).

يتناول التحليل الحالة التي تكون فيها نتائج التجربة عددية، وتُجرى التجربة لمقارنة p من المعالجات مع مجموعة ضابطة. ويمكن تلخيص النتائج في مجموعة من${\displaystyle (p+1)}$المتوسطات المحسوبة لمجموعات المشاهدات،${\displaystyle ({\bar {X_{0}}},...,{\bar {X_{p}}})}$، بينما${\displaystyle ({\bar {X_{1}}},...,{\bar {X_{p}}})}$يشيرون إلى العلاج و${\displaystyle {\bar {X_{0}}}}$يشير ذلك إلى مجموعة الملاحظات الضابطة، و${\displaystyle s}$هو تقدير مستقل للانحراف المعياري المشترك لجميع${\displaystyle p+1}$مجموعات من الملاحظات. الكل${\displaystyle {\bar {X_{i}}}}$التابع${\displaystyle p+1}$يُفترض أن مجموعات الملاحظات موزعة بشكل مستقل وطبيعي مع تباين مشترك${\displaystyle \sigma ^{2}}$ويعني${\displaystyle \mu _{i}}$وهناك أيضاً افتراض بوجود تقدير متاح${\displaystyle s^{2}}$ل${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

تعتمد عملية حساب اختبار دونيت على حساب عبارات الثقة حول القيم الحقيقية أو المتوقعة لـ${\displaystyle p}$الاختلافات${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}}$وبالتالي، فإن الفروق بين متوسطات مجموعات العلاج ومتوسطات المجموعة الضابطة. يضمن هذا الإجراء أن احتمالية جميع${\displaystyle p}$البيانات${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}}$أن تكون صحيحاً في آن واحد يساوي قيمة محددة،${\displaystyle P}$عند حساب فاصل الثقة العلوي (أو السفلي) من جانب واحد للقيمة الحقيقية للفرق بين متوسط ​​مجموعة العلاج ومجموعة التحكم ،${\displaystyle P}$يمثل هذا الاحتمال أن تكون هذه القيمة الفعلية أقل من الحد الأعلى (أو أكبر من الحد الأدنى) لتلك الفترة. عند حساب فترة الثقة ذات الجانبين،${\displaystyle P}$يشكل هذا الاحتمال احتمال أن تكون القيمة الحقيقية بين الحدين الأعلى والأدنى.

أولاً، سنرمز إلى المشاهدات المتاحة N بـ${\displaystyle X_{ij}}$متى${\displaystyle i=1,...,p}$و${\displaystyle j=1,...,N_{i}}$وتقدير التباين المشترك ، على سبيل المثال: ${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=0}^{p}\sum _{j=1}^{N_{i}}(X_{ij}-{\bar {X_{i}}})^{2}}{n}}}$ متى${\displaystyle {\bar {X_{i}}}}$هو متوسط ​​المجموعة${\displaystyle i}$و${\displaystyle N_{i}}$عدد الملاحظات في المجموعة${\displaystyle i}$، و${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{p}N_{i}-(p+1)}$درجات الحرية. كما ذكرنا سابقًا، نود الحصول على حدود ثقة منفصلة لكل فرق${\displaystyle m_{i}-m_{0},(i=1,...,p)}$بحيث يكون احتمال أن يكون كل${\displaystyle p}$ستحتوي فترات الثقة على القيم المقابلة${\displaystyle m_{i}-m_{0}}$يساوي${\displaystyle P}$.

سننظر في الحالة العامة حيث توجد${\displaystyle p}$مجموعات علاجية ومجموعة ضابطة واحدة. سنكتب:

${\displaystyle z_{i}={\cfrac {{\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}-(m_{i}-m_{0})}{\sqrt {{\cfrac {1}{N_{i}}}+{\cfrac {1}{N_{0}}}}}}}$

${\displaystyle D_{i}={\cfrac {{\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}-(m_{i}-m_{0})}{s{\sqrt {{\cfrac {1}{N_{i}}}+{\cfrac {1}{N_{0}}}}}}}}$

سنكتب أيضًا:${\displaystyle D_{i}={\frac {z_{i}}{s}}}$، والذي يتبع توزيع إحصائية t للطالب بدرجة حرية n . حدود الثقة الدنيا مع معامل الثقة المشترك${\displaystyle P}$لـ${\displaystyle p}$آثار العلاج${\displaystyle m_{i}-m_{0},(i=1,...,p)}$سيتم تقديمها من قبل:

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}-d_{i}'s{\sqrt {{\frac {1}{N_{i}}}+{\frac {1}{N_{0}}}}},i=1,...,p}$

و${\displaystyle p}$الثوابت${\displaystyle d_{i}'}$يتم اختيارهم بحيث${\displaystyle Prob(t_{1}<d_{1}',...,t_{p}<d_{p}')=P}$وبالمثل، ستُعطى الحدود العليا بما يلي:

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}+d_{i}'s{\sqrt {{\frac {1}{N_{i}}}+{\frac {1}{N_{0}}}}},i=1,...,p}$

لتحديد الحدود${\displaystyle m_{i}-m_{0}}$في كلا الاتجاهين، يمكن أخذ الفترة التالية:

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}\pm d_{i}''s{\sqrt {{\frac {1}{N_{i}}}+{\frac {1}{N_{0}}}}},i=1,...,p}$

متى${\displaystyle d_{i}''}$يتم اختيارها لإرضاء${\displaystyle Prob(|t_{1}|<d_{1}',...,|t_{p}|<d_{p}')=P}$الحل لتلك القيم المحددة لـ${\displaystyle d_{i}''}$للاختبار ذي الجانبين و${\displaystyle d_{i}'}$تُعطى القيم لاختبار من جانب واحد في الجداول. ^{[ 5 ]} نُشر جدول مُحدّث للقيم الحرجة في عام 1964. ^{[ 6 ]}