نموذج إهرنفست

اقترح تاتيانا وبول إهرنفست نموذج إهرنفست (أو نموذج الكلب والبرغوث ) للانتشار لشرح القانون الثاني للديناميكا الحرارية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} يفترض النموذج وجود N جسيمًا في وعاءين. تنتقل الجسيمات بين الوعاءين بشكل مستقل بمعدل λ . إذا عُرِّف X ( t ) = i بأنه عدد الجسيمات في أحد الوعاءين عند الزمن t ، فإن العملية تُعرف بعملية ولادة-موت بمعدلات انتقال .  

• ${\displaystyle q_{i,i-1}=i\,\lambda }$لكل i = 1، 2، ...، N
• ${\displaystyle q_{i,i+1}=(Ni\,)\lambda }$لكل i = 0، 1، ...، N – 1

وتوزيع التوازن${\displaystyle \pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}}$.

أثبت مارك كاتش في عام 1947 أنه إذا لم تكن حالة النظام الأولية حالة توازن، فإن الإنتروبيا تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),}$

تتزايد بشكل رتيب ( نظرية H ). ​​وهذا نتيجة للتقارب نحو التوزيع المتوازن.

لنفترض أن جميع الجسيمات في البداية موجودة في إحدى الحاويات. من المتوقع أن يقترب عدد الجسيمات في هذه الحاوية بمرور الوقت من${\displaystyle N/2}$وتستقر بالقرب من تلك الحالة (ستحتوي الحاويات على عدد متقارب من الجسيمات). ومع ذلك، من وجهة نظر رياضية، فإن العودة إلى الحالة الأولية ممكنة (بل شبه مؤكدة). ومن نظرية التكرار المتوسط، يتبين أن الوقت المتوقع للعودة إلى الحالة الأولية محدود، وهو${\displaystyle 2^{N}}$باستخدام تقريب ستيرلينغ ، نجد أنه إذا بدأنا من حالة التوازن (عدد متساوٍ من الجسيمات في الحاويات)، فإن الوقت المتوقع للعودة إلى حالة التوازن يساوي تقريبًا${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\pi N/2}}}$إذا افترضنا أن الجسيمات تغير حاوياتها بمعدل جسيم واحد في الثانية، ففي الحالة الخاصة لـ${\displaystyle N=100}$الجسيمات، بدءًا من حالة التوازن، من المتوقع أن يحدث العودة إلى حالة التوازن في${\displaystyle 13}$ثوانٍ، أثناء بدء التكوين${\displaystyle 100}$في إحدى الحاويات،${\displaystyle 0}$من جهة أخرى، من المتوقع أن تستغرق العودة إلى تلك الحالة${\displaystyle 4\cdot 10^{22}}$سنوات. وهذا يفترض أنه على الرغم من كونه مؤكدًا من الناحية النظرية، فمن غير المرجح ملاحظة عودة الحالة الأولية غير المتناسبة للغاية.

• بول وتاتجانا إهرنفيست: Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift ، المجلد. 8 (1907) ، ص  311-314. ^{[ 1 ]}
• إف بي كيلي : نموذج إهرنفست ، في كتاب الانعكاسية والشبكات العشوائية . وايلي، تشيتشستر، 1979. ISBN 0-471-27601-4الصفحات  17-20. ^{[ 3 ]}
• ديفيد أو سيغموند: نموذج إهرنفيست للانتشار (الرياضيات) . الموسوعة البريطانية . ^{[ 4 ]}

• خاتم كاك
• عملية أورنستين-أولينبيك