انتقال ثنائي القطب الكهربائي

يُعد انتقال ثنائي القطب الكهربائي التأثير السائد لتفاعل الإلكترون في الذرة مع المجال الكهرومغناطيسي .

استنادًا إلى المرجع ^{[ 1 ]} ، ضع في اعتبارك إلكترونًا في ذرة ذات هاميلتوني كمومي${\displaystyle H_{0}}$، التفاعل مع موجة كهرومغناطيسية مستوية

${\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)=E_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\cos(ky-\omega t),\ \ \ {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)=B_{0}{\hat {\mathbf {x} }}\cos(ky-\omega t).}$

اكتب هاميلتونيان الإلكترون في هذا المجال الكهرومغناطيسي على النحو التالي:

${\displaystyle H(t)\ =\ H_{0}+W(t).}$

بمعالجة هذا النظام باستخدام نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن ، نجد أن الانتقالات الأكثر احتمالاً للإلكترون من حالة إلى أخرى تحدث بسبب مجموع${\displaystyle W(t)}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle W_{\mathrm {DE}}(t)={\frac {qE_{0}}{m_{e}\omega }}p_{z}\sin \omega t,\,}$

أين${\displaystyle q}$و${\displaystyle m_{e}}$هما شحنة وكتلة الإلكترون الحر. انتقالات ثنائي القطب الكهربائي هي الانتقالات بين مستويات الطاقة في النظام باستخدام الهاميلتوني${\displaystyle H_{0}+W_{\mathrm {DE} }(t)}$.

بين حالات إلكترونية معينة، قد يكون معدل انتقال ثنائي القطب الكهربائي صفراً بسبب قاعدة اختيار واحدة أو أكثر ، وخاصة قاعدة اختيار الزخم الزاوي . في هذه الحالة، يُطلق على الانتقال اسم انتقال ثنائي القطب الكهربائي المحظور ، ويجب تقريب الانتقالات بين هذه المستويات بانتقالات من رتبة أعلى .

الحد التالي في${\displaystyle W(t)}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle W_{\mathrm {DM} }(t)={\frac {q}{2m_{e}}}(L_{x}+2S_{x})B_{0}\cos \omega t\,}$

ويصف انتقالات ثنائي القطب المغناطيسي .

وتُقدم انتقالات متعددة الأقطاب الكهربائية والمغناطيسية الأعلى مساهمات أصغر في معدلات الانتقال.

إحدى طرق نمذجة وفهم تأثير الضوء (وخاصة المجال الكهربائي ) على الذرة هي النظر إلى نموذج أبسط يتكون من ثلاثة مستويات طاقة. في هذا النموذج، قمنا بتبسيط ذرتنا إلى انتقال بين حالة ذات زخم زاوي صفري (${\displaystyle J_{g}=0)}$، إلى حالة من الزخم الزاوي مقداره 1 (${\displaystyle J_{e}=1}$). قد يكون هذا، على سبيل المثال، الانتقال في الهيدروجين بين المدار 1s (الحالة الأرضية) والمدار 2p (${\displaystyle n=1,\ell =1}$) ولاية.

لفهم تأثير المجال الكهربائي على هذه الذرة المبسطة، سنختار مجالًا كهربائيًا مستقطبًا خطيًا بحيث يكون محور الاستقطاب موازيًا لمحور${\displaystyle |g\rangle }$ل${\displaystyle |e\rangle }$الانتقال، نسمي هذا المحور${\displaystyle {\hat {z}}}$المحور. لا يُخلّ هذا الافتراض بعموميته. في الواقع، لو اخترنا محورًا آخر، لتمكّنا من إيجاد حالة أخرى تُشكّل توليفة خطية من الحالات السابقة، وتكون موازية للمجال الكهربائي، مما يُعيدنا إلى افتراض وجود مجال كهربائي مستقطب خطيًا موازٍ لمحور الانتقال.

مع وضع هذا في الاعتبار، يمكننا أن نقتصر على الانتقال من${\displaystyle |g\rangle }$ل${\displaystyle |e\rangle }$سنستخدم مجالًا كهربائيًا يمكن كتابته على النحو التالي:${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)={\hat {z}}{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(wt-\phi ({\vec {r}}))}$أين${\displaystyle {\hat {z}}}$هو محور الانتقال،${\displaystyle w}$يمثل التردد الزاوي للضوء الداخل إلى الذرة (تخيل الأمر وكأنه شعاع ليزر يُسلط على الذرة)،${\displaystyle \phi }$هي المرحلة الضوئية التي يمكن أن تعتمد على الموقع، و${\displaystyle {\mathcal {E}}}$هي سعة ضوء الليزر.

الآن، السؤال الرئيسي الذي نريد حله هو: ما هو متوسط ​​القوة التي تشعر بها الذرة تحت هذا النوع من الضوء؟ نحن مهتمون بـ${\displaystyle f={\overline {\langle {\hat {F}}\rangle }}={\overline {\langle -\nabla {\hat {V}}_{ed}({\hat {r}},t)\rangle }}}$وهو ما يمثل متوسط ​​القوة التي تشعر بها الذرة. هنا، تمثل الأقواس متوسطًا لجميع الحالات الداخلية للذرة (بطريقة كمومية)، ويمثل الخط المتوسط ​​الزمني بالطريقة الكلاسيكية.${\displaystyle {\hat {V}}_{ed}}$يمثل الجهد الناتج عن ثنائي القطب الكهربائي للذرة.

ويمكن صياغة هذه الإمكانية بشكل أوسع على النحو التالي:${\displaystyle {\hat {V}}_{ed}=-{\hat {D}}\cdot {\vec {E}}}$أين${\displaystyle {\hat {D}}}$هو عامل الانتقال ثنائي القطب.

السبب في استخدامنا لنموذج ذي حالتين هو أنه يسمح لنا بكتابة عامل الانتقال ثنائي القطب بشكل صريح على النحو التالي:${\displaystyle {\hat {D}}=d_{0}(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)}$وهكذا نحصل على

${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d}=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))}$.

ثم

${\displaystyle f({\vec {r}})={\overline {\langle d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\nabla [{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}})]\rangle }}={\overline {d({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}}={\overline {f({\vec {r}},t)}}}$.

أما النهج شبه الكلاسيكي فيعني أننا نكتب عزم ثنائي القطب على أنه استقطابية الذرة مضروبة في المجال الكهربائي:

${\displaystyle d({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}$

وعلى هذا النحو${\displaystyle f({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{2}}\alpha (\omega )\nabla {\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}$وبالتالي${\displaystyle f({\vec {r}})=\nabla [{\frac {1}{2}}\alpha (\omega ){\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}]=\nabla [{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})]}$وعلى هذا النحو لدينا${\displaystyle V_{e.d}=-{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})}$.

قبل المضي قدماً في الرياضيات، ومحاولة إيجاد تعبير أكثر وضوحاً لثابت التناسب${\displaystyle \alpha (\omega )}$هناك جانب مهم نحتاج إلى مناقشته، وهو أننا وجدنا أن الجهد الذي تشعر به الذرة في جهد مستحث ضوئيًا يتناسب طرديًا مع مربع متوسط ​​المجال الكهربائي. هذا مهم للعديد من التجارب الفيزيائية في فيزياء الذرات الباردة، حيث يستخدم الفيزيائيون هذه الحقيقة لفهم الجهد المطبق على الذرات باستخدام شدة ضوء الليزر المعروفة المطبقة عليها، لأن شدة الضوء تتناسب طرديًا مع مربع متوسط ​​المجال الكهربائي.${\displaystyle I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}}$.

والآن، دعونا ننظر في كيفية الحصول على تعبير الاستقطابية${\displaystyle \alpha (\omega )}$.

سنستخدم صيغة مصفوفة الكثافة ، ومعادلات بلوخ البصرية لهذا الغرض.

الفكرة الرئيسية هنا هي أنه يمكن كتابة عناصر مصفوفة الكثافة غير القطرية على النحو التالي:${\displaystyle \rho _{eg}=Tr({\hat {\sigma }}_{-}{\hat {\rho }})}$و${\displaystyle \rho _{ge}=Tr({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {\rho }})}$. و

${\displaystyle d({\vec {r}},t)=Tr({\hat {D}}{\hat {\rho }}(t))=Tr(d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\rho (t))=d_{0}[Tr({\hat {\sigma }}_{+}\rho (t))+Tr({\hat {\sigma }}_{-}\rho (t))]=d_{0}(\rho _{ge}+\rho _{eg})}$

وهنا ستكون معادلات بلوخ البصرية مفيدة، فهي تعطينا معادلة لفهم ديناميكيات مصفوفة الكثافة.

في الواقع، لدينا:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}(t)}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]}$وهذا يفسر التطور الكمي الطبيعي القابل للانعكاس لمصفوفة الكثافة.

ومصطلح آخر يصف الانبعاثات التلقائية للذرة:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{eg},{\frac {d{\hat {\rho }}_{ge}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{ge}}$

أين${\displaystyle {\hat {H}}}$هذا هو الهاميلتوني شبه الكلاسيكي الخاص بنا. وهو مكتوب على النحو التالي:${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{0}|e\rangle \langle e|+V_{e.d.}}$. و${\displaystyle \Gamma ={\frac {d_{0}^{2}\omega _{0}^{3}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}}$.${\displaystyle \Gamma }$يمثل عرض خط الانتقال، وبالتالي يمكنك أن ترى${\displaystyle \Gamma ^{-1}}$باعتباره نصف عمر الانتقال المحدد.

لنتعرف على تردد رابي${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle \hbar \Omega =-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}$

بعد ذلك يمكننا كتابة معادلات بلوخ البصرية لـ${\displaystyle \rho _{eg}}$و${\displaystyle \rho _{ge}}$:

في هذا الجزء، نأخذ معادلة تطور${\displaystyle \rho }$وبأخذ عناصر المصفوفة، نحصل على:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=\hbar (\omega _{0}-i{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)(\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

يمكننا الحصول على معادلة لـ${\displaystyle \rho _{ge}}$بأخذ مرافقه المعقد .

يمكننا بعد ذلك تكرار العملية لجميع عناصر المصفوفة الأربعة، ولكن في دراستنا سنطبق تقريبًا للمجال الصغير، بحيث يكون المجال الكهربائي صغيرًا بما يكفي لفصل المعادلات الأربع. يُكتب هذا التقريب رياضيًا باستخدام تردد رابي كما يلي:

${\displaystyle \Omega \ll |\Delta |,\Gamma }$، مع${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{0}}$.

عندها يمكننا أن نتجاهل${\displaystyle \rho _{ee}=0}$، وضبط${\displaystyle \rho _{gg}=1}$في الواقع، تكمن الفكرة وراء ذلك في أنه إذا لم ترَ الذرة أي ضوء، فإلى تقريب من الدرجة الأولى في${\displaystyle {\mathcal {E}}}$، ستكون الذرة في الحالة الأرضية وليست في الحالة المثارة مما يجبرنا على الضبط${\displaystyle \rho _{ee}=0}$،${\displaystyle \rho _{gg}=1}$.

يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة معادلة التطور على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-(i\omega _{0}+{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-i\Omega \cos(wt-\phi )}$

هذه معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى تحتوي على حد غير متجانس في دوال جيب التمام. ويمكن حلها بسهولة باستخدام صيغة أويلر لجيب التمام.

نحصل على الحل التالي:

${\displaystyle \rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}+i\Gamma /2}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}-i\Gamma /2}}{\bigg )}}$

علاوة على ذلك، إذا قلنا أن التخفيض${\displaystyle \Delta }$أكبر بكثير من${\displaystyle \Gamma }$ثم بالطبع مجموع كليهما${\displaystyle \omega ,\omega _{0}}$وهي أكبر بكثير من${\displaystyle \Gamma }$ويمكننا إعادة كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:

${\displaystyle \rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}}$

و

${\displaystyle \rho _{ge}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}}$

وبالعودة إلى متوسط ​​لحظة ثنائي القطب لدينا:

${\displaystyle d(t)=d_{0}\Omega /{\overline {\Delta }}\cos(\omega t-\phi )=-{\frac {d_{0}^{2}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}{\hbar {\overline {\Delta }}}}\cos(\omega t-\phi )}$مع${\displaystyle {\frac {1}{\overline {\Delta }}}={\frac {1}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {1}{\omega +\omega _{0}}}}$

عندها يتضح أن${\displaystyle d(t)=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}$وتصبح الاستقطابية${\displaystyle \alpha (\omega )=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}}$.

وأخيرًا، يمكننا كتابة الجهد الذي تشعر به الذرة نتيجة لتفاعل ثنائي القطب الكهربائي على النحو التالي:

${\displaystyle V_{e.d.}({\vec {r}})={\frac {d_{0}^{2}}{4\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})}$

النقاط الأساسية التي تستحق المناقشة هنا هي كما ذكرنا سابقاً، شدة الضوء${\displaystyle I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}}$يُنتج الليزر جهدًا موضعيًا متناسبًا تشعر به الذرات في تلك المنطقة. علاوة على ذلك، يمكننا الآن تحديد إشارة هذا الجهد. نلاحظ أنه يتبع إشارة${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$وهذا بدوره يتبع إشارة الانحراف. وهذا يعني أن الإمكانات تكون جذابة إذا كان لدينا ليزر أحمر منحرف (${\displaystyle \omega <\omega _{0}}$ويكون الأمر مثيراً للاشمئزاز إذا كان لدينا ليزر أزرق غير مضبوط التردد (${\displaystyle \omega >\omega _{0}}$).

• ثنائي القطب
• عزم ثنائي القطب الكهربائي
• الكهرومغناطيسية
• انتقال ثنائي القطب المغناطيسي