المجال الكهربائي

في الحالة الخاصة للحالة المستقرة (الشحنات والتيارات الثابتة)، يختفي تأثير ماكسويل-فاراداي الاستقرائي . المعادلتان الناتجتان (قانون جاوس)${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$وقانون فاراداي بدون حد استقراء${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$تُعادل هذه العوامل مجتمعةً قانون كولوم ، الذي ينص على أن الجسيم ذو الشحنة الكهربائية${\displaystyle q_{1}}$في هذا المنصب${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$يؤثر بقوة على جسيم مشحون${\displaystyle q_{0}}$في هذا المنصب${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$من: ^{[ 13 ]}$$// \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$ أين

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{01}}$هي القوة المؤثرة على الجسيم المشحون${\displaystyle q_{0}}$ناتج عن جسيم مشحون${\displaystyle q_{1}}$.
• ε ₀ هي سماحية الفراغ الحر .
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{01}}$هو متجه وحدة موجه من${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ل${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$.
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{01}}$هو متجه الإزاحة من${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ل${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$.

لاحظ أن${\displaystyle \varepsilon _{0}}$يجب استبدالها بـ${\displaystyle \varepsilon }$، السماحية ، عندما تكون الشحنات في أوساط غير فارغة. عندما تكون الشحنات${\displaystyle q_{0}}$و${\displaystyle q_{1}}$عندما يكون للشحنتين نفس الإشارة، تكون هذه القوة موجبة، وموجهة بعيدًا عن الشحنة الأخرى، مما يدل على تنافر الجسيمات. أما عندما تكون للشحنتين إشارتان مختلفتان، فتكون القوة سالبة، مما يدل على تجاذب الجسيمات. لتسهيل حساب قوة كولوم المؤثرة على أي شحنة في موضع معين${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$يمكن قسمة هذا التعبير على${\displaystyle q_{0}}$مما يترك تعبيرًا يعتمد فقط على الشحنة الأخرى ( شحنة المصدر ) ^{[ 14 ] [ 4 ]}$$// _ {01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})}$هو مُركِّب المجال الكهربائي عند${\displaystyle q_{0}}$بسبب${\displaystyle q_{1}}$.

هذا هو المجال الكهربائي عند النقطة${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$بسبب رسوم النقطة${\displaystyle q_{1}}$هي دالة متجهة القيمة تساوي قوة كولوم لكل وحدة شحنة التي ستتعرض لها شحنة نقطية موجبة عند هذا الموضع${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$بما أن هذه الصيغة تعطي مقدار واتجاه المجال الكهربائي عند أي نقطة${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$في الفضاء (باستثناء موقع الشحنة نفسها،${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$حيث يصبح المجال الكهربائي لانهائيًا، فإنه يُعرّف حقلًا متجهيًا . من الصيغة السابقة، يتضح أن المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية يكون متجهًا بعيدًا عن الشحنة إذا كانت موجبة، ونحوها إذا كانت سالبة، ويتناقص مقداره عكسيًا مع مربع المسافة من الشحنة.

قوة كولوم المؤثرة على شحنة مقدارها${\displaystyle q}$إن قيمة الشحنة عند أي نقطة في الفضاء تساوي حاصل ضرب الشحنة والمجال الكهربائي عند تلك النقطة. $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}$$ وحدة المجال الكهربائي في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن لكل كولوم (N/C)، أو فولت لكل متر (V/m)؛ من حيث وحدات النظام الدولي الأساسية فهي kg⋅m⋅s ⁻³ ⋅A ⁻¹ .

بسبب خطية معادلات ماكسويل ، تخضع المجالات الكهربائية لمبدأ التراكب ، الذي ينص على أن المجال الكهربائي الكلي، عند نقطة ما، الناتج عن مجموعة من الشحنات، يساوي المجموع الاتجاهي للمجالات الكهربائية عند تلك النقطة الناتجة عن الشحنات الفردية. ^{[ 4 ]} يُفيد هذا المبدأ في حساب المجال الناتج عن شحنات نقطية متعددة.${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ثابتة في الفضاء عند نقاط${\displaystyle \mathbf {R} _{1},\mathbf {R} _{2},\dots ,\mathbf {R} _{n}}$في غياب التيارات، ينص مبدأ التراكب على أن المجال الناتج هو مجموع المجالات التي تولدها كل جسيمة كما هو موضح في قانون كولوم: $$\begin{aligned}\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_{1}(\mathbf{r}) + \mathbf{E}_{2}(\mathbf{r}) + \dots + \mathbf{E}_{n}(\mathbf{r}) = \begin{aligned}\mathbf{E}_{n}(\mathbf{r}) = \begin{aligned}\mathbf{E}_{n}(\mathbf{r}) = \begin{aligned}\mathbf{E}_{n}(\mathbf{r}) = \begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf{r}_{i} \over {|\mathbf{r}_{i}|}^{2} = \begin{aligned}\mathbf{E}_{n}(\mathbf{r}) = \begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf{r}_{i} \over {|\mathbf{r}_{i} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}}$$ أين

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$هو متجه الوحدة في الاتجاه من النقطة${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$للإشارة${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$هو متجه الإزاحة من النقطة${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$للإشارة${\displaystyle \mathbf {r} }$.

يسمح مبدأ التراكب بحساب المجال الكهربائي الناتج عن توزيع كثافة الشحنة${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$بالنظر إلى التهمة${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')dv}$في كل حجم صغير من الفضاء${\displaystyle dv}$عند النقطة${\displaystyle \mathbf {r} '}$باعتبارها شحنة نقطية، فإن المجال الكهربائي الناتج،${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$عند النقطة${\displaystyle \mathbf {r} }$يمكن حسابها على النحو التالي $${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$ أين

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}'}$هو متجه الوحدة الذي يشير من${\displaystyle \mathbf {r} '}$ل${\displaystyle \mathbf {r} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {r} '}$هو متجه الإزاحة من${\displaystyle \mathbf {r} '}$ل${\displaystyle \mathbf {r} }$.

يُحسب المجال الكلي بجمع المساهمات من جميع الزيادات في الحجم عن طريق تكامل كثافة الشحنة على الحجم${\displaystyle V}$: $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

تُطبق معادلات مماثلة على الشحنة السطحية ذات كثافة الشحنة السطحية.${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$على السطح${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,}$$ وبالنسبة للشحنات الخطية ذات كثافة الشحنة الخطية${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$متصل${\displaystyle L}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .}$$

إذا كان النظام ساكنًا، بحيث لا تتغير المجالات المغناطيسية مع الزمن، فإن المجال الكهربائي، وفقًا لقانون فاراداي، يكون خاليًا من الدوران . في هذه الحالة، يمكن تعريف الجهد الكهربائي ، أي دالة.${\displaystyle \varphi }$بحيث${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$[ ^{15 ]} وهذا مماثل للجهد التثاقلي . يُطلق ^على الفرق بين الجهد الكهربائي عند نقطتين في الفضاء اسم فرق الجهد (أو الفولتية) بين هاتين النقطتين.

بشكل عام، لا يمكن وصف المجال الكهربائي بمعزل عن المجال المغناطيسي. بفرض أن الكمون الشعاعي المغناطيسي A معرف بحيث${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$، لا يزال بإمكان المرء تعريف الجهد الكهربائي${\displaystyle \varphi }$بحيث: $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ أين${\displaystyle \nabla \varphi }$هو تدرج الجهد الكهربائي و${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$هي المشتقة الجزئية لـ A بالنسبة للزمن.

يمكن استعادة قانون فاراداي للحث عن طريق أخذ التفاف تلك المعادلة ^{[ 16 ].}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$$ مما يبرر، بعد ذلك، الشكل السابق لـ E.

تُوصَف معادلات الكهرومغناطيسية على أفضل وجه بوصف متصل. مع ذلك، يُفضّل أحيانًا وصف الشحنات كنقاط منفصلة؛ على سبيل المثال، قد تصف بعض النماذج الإلكترونات كمصادر نقطية حيث تكون كثافة الشحنة لانهائية على جزء متناهي الصغر من الفضاء.

رسوم${\displaystyle q}$يقع في${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$يمكن وصفها رياضياً بأنها كثافة شحنة${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$حيث تُستخدم دالة ديراك دلتا (في ثلاثة أبعاد). وعلى العكس من ذلك، يمكن تقريب توزيع الشحنة بالعديد من الشحنات النقطيةالصغيرة .

قانون كولوم، الذي يصف تفاعل الشحنات الكهربائية: $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$$ يشبه قانون نيوتن للجاذبية الكونية : $${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$$ (أين${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$).

يشير هذا إلى وجود أوجه تشابه بين المجال الكهربائي E ومجال الجاذبية g ، أو الكمونات المرتبطة بهما. تُسمى الكتلة أحيانًا "الشحنة الجاذبية". ^{[ 18 ]}

تعتبر القوى الكهروستاتيكية والجاذبية قوى مركزية ومحافظة وتخضع لقانون التربيع العكسي .

المجال المنتظم هو مجال كهربائي ثابت عند كل نقطة. يمكن تقريبه بوضع لوحين موصلين متوازيين مع الحفاظ على فرق جهد بينهما؛ إلا أن هذا التقريب غير دقيق بسبب تأثيرات الحدود (بالقرب من حافة الألواح، يتشوه المجال الكهربائي لعدم استمرارية اللوح). بافتراض وجود عدد لا نهائي من الألواح، فإن مقدار المجال الكهربائي E هو: $${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}},}$$ حيث ΔV هو فرق الجهد بين اللوحين، و d هي المسافة الفاصلة بينهما. تنشأ الإشارة السالبة لأن الشحنات الموجبة تتنافر، لذا ستتعرض الشحنة الموجبة لقوة تبتعد عن اللوح المشحون إيجابياً، في الاتجاه المعاكس لاتجاه زيادة الجهد. في التطبيقات الميكروية والنانوية، كما هو الحال في أشباه الموصلات، يكون المقدار النموذجي للمجال الكهربائي في حدود10 ⁶  V⋅m ⁻¹ ، تم تحقيق ذلك عن طريق تطبيق جهد من رتبة 1 فولت بين موصلات متباعدة  بمقدار 1 ميكرومتر.

إحدى الطرق الملائمة لرسم المجال الكهربائي، والتي تُجدي نفعًا حتى مع المجالات الكهربائية المعقدة، هي استخدام خطوط المجال . ^{[ 19 ]} في هذه الطريقة، يُعبَّر عن مقدار واتجاه المجال الكهربائي في منطقة ما بعدد من الخطوط المنحنية غير المتقاطعة التي تمتد عبر تلك المنطقة. وإذا رُسمت هذه الخطوط بشكل صحيح، فإن اتجاه المجال الكهربائي عند أي نقطة معينة يُحدد باتجاه الخطوط المجاورة، بينما يُحدد مقداره بكثافة خطوط المجال في تلك المنطقة.

لا تتقاطع خطوط المجال الكهربائي. تبدأ من الشحنة الموجبة (أو تمتد من اللانهاية) وتنتهي عند الشحنة السالبة (أو تمتد إلى اللانهاية). كما أن عدد خطوط المجال الصادرة من شحنة معينة يتناسب طرديًا مع تلك الشحنة. لا يمكن للمجالات الكهروستاتيكية أن تُشكّل حلقات مغلقة. (انظر الشكل للاطلاع على مثال لمخطط خطوط المجال الكهربائي المعقد المُعدّ لشحنة نقطية موجبة تُحدث شحنة كهربائية على أسطح ثلاثة موصلات مجاورة).

لا يمكن لخطوط المجال أن تمثل المجال الكهربائي في منطقة معينة إلا تمثيلاً تقريبياً. (يتطلب الأمر عددًا لا نهائيًا من خطوط المجال لتمثيل المجال الكهربائي تمثيلاً دقيقًا). ومع ذلك، فإن هذه المخططات مفيدة في توضيح كيفية تغير المجال الكهربائي في منطقة معينة.

في وجود المادة، من المفيد توسيع مفهوم المجال الكهربائي إلى ثلاثة مجالات متجهة: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$ حيث P هي الاستقطاب الكهربائي - الكثافة الحجمية لعزوم ثنائيات الأقطاب الكهربائية ، و D هو مجال الإزاحة الكهربائية . وبما أن E و P معرفان بشكل منفصل، يمكن استخدام هذه المعادلة لتعريف D. التفسير الفيزيائي لـ D ليس واضحًا تمامًا مثل E (الذي يمثل فعليًا المجال المطبق على المادة) أو P (المجال المستحث بسبب ثنائيات الأقطاب في المادة)، ولكنه مع ذلك يُعد تبسيطًا رياضيًا مناسبًا، حيث يمكن تبسيط معادلات ماكسويل بدلالة الشحنات والتيارات الحرة .

يرتبط المجالين E و D بسماحية المادة ، ε . ^{[ 22 ] [ 21 ]}

بالنسبة للمواد الخطية والمتجانسة والمتساوية الخواص ، تكون قيمتا E و D متناسبتين وثابتتين في جميع أنحاء المنطقة، ولا يوجد اعتماد على الموضع: $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).}$$

بالنسبة للمواد غير المتجانسة، هناك اعتماد على الموضع في جميع أنحاء المادة: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

بالنسبة للمواد غير المتجانسة، فإن المجالين E و D ليسا متوازيين، وبالتالي يرتبط E و D بواسطة موتر السماحية ( حقل موتر من الدرجة الثانية )، في شكل مكون: $${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$$

بالنسبة للأوساط غير الخطية، فإن معامل المرونة ( E) ومعامل الانتشار ( D) ليسا متناسبين. يمكن أن تمتلك المواد درجات متفاوتة من الخطية والتجانس والتماثل.

يمكن استخدام ثبات شكل معادلات ماكسويل تحت تحويل لورنتز لاستنتاج المجال الكهربائي لشحنة نقطية تتحرك بانتظام. تُعتبر شحنة الجسيم ثابتةً بغض النظر عن الإطار المرجعي، كما تدعم ذلك الأدلة التجريبية. ^{[ 24 ]} بدلاً من ذلك، يمكن استنتاج المجال الكهربائي للشحنات النقطية المتحركة بانتظام من تحويل لورنتز للقوى الأربع التي تتعرض لها شحنات الاختبار في إطار سكون المصدر، والمُعطاة بقانون كولوم، مع تحديد المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي وفقًا لتعريفهما المُعطى بشكل قوة لورنتز . ^{[ 25 ]} ومع ذلك، فإن المعادلة التالية قابلة للتطبيق فقط عندما لا يكون هناك تسارع في مسار الجسيم، حيث يمكن اعتبار قانون كولوم أو استخدام حجج التناظر لحل معادلات ماكسويل بطريقة بسيطة. وبالتالي، يُعطى المجال الكهربائي لمثل هذه الشحنة النقطية المتحركة بانتظام بالمعادلة التالية: ^{[ 26 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,}$$ أين${\displaystyle q}$هي شحنة المصدر النقطي،${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل متجه الموضع من المصدر النقطي إلى النقطة في الفضاء،${\displaystyle \beta }$هي نسبة السرعة المرصودة للجسيم المشحون إلى سرعة الضوء و${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين${\displaystyle \mathbf {r} }$والسرعة المرصودة للجسيم المشحون.

تُختزل المعادلة أعلاه إلى تلك التي يُعطيها قانون كولوم للسرعات غير النسبية للشحنة النقطية. لا يتحقق التناظر الكروي بسبب كسر التناظر في المسألة نتيجة تحديد اتجاه السرعة لحساب المجال. ولتوضيح ذلك، تُمثَّل خطوط المجال للشحنات المتحركة أحيانًا بخطوط شعاعية غير متساوية التباعد، والتي تبدو متساوية التباعد في إطار مرجعي متحرك. ^{[ 24 ]}

تفرض النظرية النسبية الخاصة مبدأ الموضعية ، الذي يقتضي أن يكون السبب والنتيجة حدثين منفصلين زمنيًا، حيث لا تتجاوز سرعة التأثير السببي سرعة الضوء . ^{[ 27 ]} وقد وُجد أن قوانين ماكسويل تؤكد هذا الرأي، إذ تُعطى الحلول العامة للمجالات بدلالة الزمن المتأخر، مما يشير إلى أن الاضطرابات الكهرومغناطيسية تنتقل بسرعة الضوء. أما الزمن المتقدم، الذي يُقدم أيضًا حلًا لقانون ماكسويل، فيُتجاهل باعتباره حلًا غير فيزيائي. بالنسبة لحركة جسيم مشحون ، وبالنظر مثلًا إلى حالة جسيم متحرك ذي مجال كهربائي موصوف أعلاه يتوقف فجأة، فإن المجالات الكهربائية عند نقاط بعيدة عنه لا تعود فورًا إلى الحالة الكلاسيكية المعطاة لشحنة ساكنة. عند التوقف، يبدأ المجال حول النقاط الساكنة بالعودة إلى الحالة المتوقعة، وينتشر هذا التأثير للخارج بسرعة الضوء، بينما تستمر خطوط المجال الكهربائي البعيدة عن هذه النقطة في التوجه شعاعيًا نحو شحنة متحركة مفترضة. لن يكون هذا الجسيم الافتراضي خارج نطاق انتشار الاضطراب في المجال الكهرومغناطيسي ، لأن الجسيمات المشحونة مقيدة بسرعات أقل من سرعة الضوء، مما يجعل من المستحيل إنشاء سطح غاوسي في هذه المنطقة يخالف قانون غاوس . ومن الصعوبات التقنية الأخرى التي تدعم هذا، أن الجسيمات المشحونة التي تتحرك بسرعة تساوي أو تزيد عن سرعة الضوء تفقد زمن تأخرها الفريد. ولأن خطوط المجال الكهربائي متصلة، تتولد نبضة إشعاع كهرومغناطيسية تتصل بحدود هذا الاضطراب وتنتشر للخارج بسرعة الضوء. ^{[ 28 ]} عمومًا، أي شحنة نقطية متسارعة تشع موجات كهرومغناطيسية، ومع ذلك، فإن التسارع غير الإشعاعي ممكن في أنظمة الشحنات.

بالنسبة للشحنات النقطية المتحركة بشكل عشوائي، يجب مراعاة انتشار حقول الجهد، مثل حقول لورنز القياسية، بسرعة الضوء باستخدام جهد ليينارد-فيشرت . ^{[ 29 ]} وبما أن الجهود تحقق معادلات ماكسويل ، فإن الحقول المشتقة للشحنة النقطية تحقق أيضًا معادلات ماكسويل. يُعبر عن المجال الكهربائي كما يلي: ^{[ 30 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}{\gamma ^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} _{s}\times \left(\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}\right)}{c\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|}}\right)_{t=t_{r}}}$$ أين${\displaystyle q}$هي شحنة المصدر النقطي،${\textstyle {t_{r}}}$هو الزمن المتأخر أو الزمن الذي نشأ فيه تأثير المصدر على المجال الكهربائي،${\textstyle {r}_{s}(t)}$يمثل متجه موضع الجسيم،${\textstyle \mathbf {n} _{s}(\mathbf {r} ,t)}$هو متجه وحدة يشير من الجسيم المشحون إلى النقطة في الفضاء،${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$هي سرعة الجسيم مقسومة على سرعة الضوء، و${\textstyle \gamma (t)}$يمثل عامل لورنتز المقابل . ويُعطى زمن التأخير كحل للمعادلة التالية: $${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}}$$

تفرد الحل لـ${\textstyle {t_{r}}}$بالنسبة للمعطى${\displaystyle t}$،${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle r_{s}(t)}$ينطبق هذا على الجسيمات المشحونة التي تتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء. ومن المعروف أن الإشعاع الكهرومغناطيسي للشحنات المتسارعة ينتج عن الحد المعتمد على التسارع في المجال الكهربائي، والذي يُستمد منه التصحيح النسبي لصيغة لارمور . ^{[ 30 ]}

توجد مجموعة أخرى من الحلول لمعادلة ماكسويل بنفس الشكل ولكن لزمن متقدم${\textstyle {t_{a}}}$بدلاً من الزمن المتأخر المُعطى كحل لـ:

$${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})\right|}{c}}}$$

بما أن التفسير الفيزيائي لهذا يشير إلى أن المجال الكهربائي عند نقطة ما يخضع لحالة الجسيم في لحظة زمنية مستقبلية، يُعتبر هذا حلاً غير فيزيائي، وبالتالي يُهمل. مع ذلك، ظهرت نظريات تستكشف حلولاً زمنية متقدمة لمعادلات ماكسويل ، مثل نظرية فاينمان ويلر للممتصات .

إن المعادلة المذكورة أعلاه، على الرغم من أنها تتوافق مع معادلة الشحنات النقطية المتحركة بشكل منتظم وكذلك حدها غير النسبي، إلا أنها لا تصحح التأثيرات الميكانيكية الكمومية.