متعدد الحدود المُعدِّد

في نظرية الترميز ، تحدد متعددة الحدود لوزن الترميز الخطي الثنائي عدد الكلمات لكل وزن هامينغ ممكن .

يترك${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}$ليكن رمزًا خطيًا ثنائيًا بطول${\displaystyle n}$توزيع الأوزان هو سلسلة من الأرقام

${\displaystyle A_{t}=\#\{c\in C\mid w(c)=t\}}$

يُعطي عدد الكلمات المشفرة c في C التي لها وزن t، حيث يتراوح t من 0 إلى n . مُعدِّد الأوزان هو متعدد الحدود ثنائي المتغيرات

${\displaystyle W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{nw}.}$

1. ${\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1}$
2. ${\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|}$
3. ${\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=1{\mbox{ إذا كان }}(1,\ldots ,1)\in C\ {\mbox{ و }}0{\mbox{ خلاف ذلك}}}$
4. ${\displaystyle W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{nw}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}}$

لنرمز إلى الشفرة الثنائية لـ${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}$بواسطة

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\langle x,c\rangle =0{\mbox{ }}\forall c\in C\}}$

(أين${\displaystyle \langle \ ,\ \rangle }$يرمز إلى الضرب النقطي للمتجهات والذي يتم أخذه${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$).

تنص هوية ماكويليامز على أن

${\displaystyle W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;yx,y+x).}$

تم تسمية هذه الشخصية على اسم جيسي ماكويليامز .

إن توزيع المسافة أو التوزيع الداخلي لرمز C بحجم M وطول n هو سلسلة من الأرقام

${\displaystyle A_{i}={\frac {1}{M}}\#\left\lbrace (c_{1},c_{2})\in C\times C\mid d(c_{1},c_{2})=i\right\rbrace }$

حيث تتراوح قيمة i من 0 إلى n . متعددة حدود تعداد المسافة هي

${\displaystyle A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}y^{ni}}$

وعندما تكون C خطية، فإن هذا يساوي مُعدِّد الوزن.

التوزيع الخارجي لـ C هو المصفوفة B ذات الأبعاد ²ⁿ × n + 1، حيث تُفهرس الصفوف بعناصر من GF(2) ⁿ ، وتُفهرس الأعمدة بأعداد صحيحة من 0 إلى n ، و

${\displaystyle B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace .}$

مجموع صفوف B يساوي M مضروبًا في متجه التوزيع الداخلي ( A ₀ ,..., A _n ).

يكون الرمز C منتظمًا إذا كانت صفوف B المقابلة لكلمات الرمز C متساوية.

• هيل، ريموند (1986). مدخل إلى نظرية الترميز . سلسلة أكسفورد للرياضيات التطبيقية وعلوم الحاسوب. مطبعة جامعة أكسفورد . الصفحات 165-173 . ISBN  0-19-853803-0.
• بليس، فيرا (1982). مقدمة في نظرية رموز تصحيح الأخطاء . سلسلة وايلي-إنترساينس في الرياضيات المتقطعة. جون وايلي وأولاده . الصفحات 103-119 . ISBN  0-471-08684-3.
• J.H. van Lint (1992). Introduction to Coding Theory. GTM. Vol. 86 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54894-7. Chapters 3.5 and 4.3.