نظرية التوازن

افترض بالتناقض أن متعددة الحدود${\displaystyle p(x)}$من درجة أقل من أو تساوي${\displaystyle n}$وُجدت طريقة توفر تقريبًا أفضل بشكل موحد لـ${\displaystyle f}$وهذا يعني أن${\displaystyle \|fp\|_{\infty <\|fg\|_{\infty }}$ثم متعددة الحدود

${\displaystyle h(x)=g(x)-p(x)=(g(x)-f(x))-(p(x)-f(x))}$

كما أن درجتها أقل من أو تساوي${\displaystyle n}$ومع ذلك، لكل${\displaystyle x_{i}}$التابع${\displaystyle n+2}$نقاط${\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n}}$نعلم أن${\displaystyle |p(x_{i})-f(x_{i})|<|g(x)-f(x)|}$لأن${\displaystyle |p(x_{i})-f(x_{i})|\leq \|fp\|_{\infty }}$و${\displaystyle \|fp||_{\infty <\|fg\|_{\infty }}$(منذ${\displaystyle p}$يُعد تقريبًا أفضل من${\displaystyle g}$).

لذلك،${\displaystyle h(x_{i})=(g(x_{i})-f(x_{i}))-(p(x_{i})-f(x_{i}))}$سيكون له نفس العلامة مثل${\displaystyle g(x_{i})-f(x_{i})}$(لأن الحد الثاني له قيمة أصغر من الحد الأول). وبالتالي،${\displaystyle h(x_{i})}$سيتم أيضًا استخدام تسجيل دخول بديل على هذه${\displaystyle n+2}$نقاط، وبالتالي يكون لديهم على الأقل${\displaystyle n+1}$الجذور. ومع ذلك، بما أن${\displaystyle h}$هو "متعدد الحدود" من الدرجة الأكثر${\displaystyle n}$، ينبغي ألا يتجاوز الحد الأقصى${\displaystyle n}$جذور. هذا تناقض.

بفرض وجود متعددة حدود${\displaystyle g}$لنحدد${\displaystyle M=\|f(x)-g(x)\|_{\infty }}$سنحدد نقطة${\displaystyle x}$نقطة عليا إذا${\displaystyle f(x)-g(x)=M}$ونقطة أدنى إذا كانت تساوي${\displaystyle -M}$بدلاً من.

عرّف مجموعة متناوبة (معطى متعددة الحدود)${\displaystyle g}$والوظيفة${\displaystyle f}$) لتكون مجموعة من النقاط المرتبة${\displaystyle x_{0},...x_{n}}$في${\displaystyle [a,b]}$بحيث يكون لكل نقطة${\displaystyle x_{i}}$في المجموعة المتناوبة، لدينا${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}M}$، أين${\displaystyle \sigma }$يساوي${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle -1}$كما كان من قبل.

عرّف المجموعة المتناوبة المقسمة بأنها مجموعة متناوبة${\displaystyle x_{0},...x_{n}}$بالإضافة إلى الفترات المغلقة غير الفارغة${\displaystyle I_{0},...I_{n}}$تُسمى هذه الأقسام بحيث 1. تقسم الأقسام${\displaystyle [a,b]}$(بمعنى أن اتحاد الأجزاء هو الفترة بأكملها، وأن تقاطع أي جزأين إما فارغ أو نقطة نهاية مشتركة واحدة) 2. لكل${\displaystyle i}$، ال${\displaystyle i}$النقطة المتناوبة${\displaystyle x_{i}}$موجود في${\displaystyle i}$القسم th${\displaystyle I_{i}}$ 3. إذا${\displaystyle x_{i}}$إذا كانت نقطة عليا،${\displaystyle I_{i}}$لا يحتوي على نقاط أقل. وبالمثل، إذا${\displaystyle x_{i}}$إذا كانت نقطة أدنى،${\displaystyle I_{i}}$لا يحتوي على نقاط علوية.

بفرض وجود متعددة حدود تقريبية${\displaystyle g}$إذا لم يستوفِ كثير الحدود شرط التذبذب المتساوي، فمن الممكن إثبات أنه سيحتوي على مجموعة متناوبة من نقطتين. يمكن بعد ذلك توسيع هذه المجموعة المتناوبة إلى مجموعة متناوبة مجزأة. يمكننا استخدام هذه المجموعة المتناوبة المجزأة لتحسين التقريب، إلا إذا كانت المجموعة المتناوبة المجزأة تحتوي على أكثر من${\displaystyle n+2}$في هذه الحالات، لا يمكن ضمان أن يكون تحسيننا متعدد الحدود من الدرجة الأكثر${\displaystyle n}$