دالة الإنفاق

الموسوعة الحرة

في الاقتصاد الجزئي ، تمثل دالة الإنفاق الحد الأدنى من الإنفاق اللازم لتحقيق مستوى معين من المنفعة ، بالنظر إلى دالة المنفعة وأسعار السلع.

بصورة رسمية، إذا كانت هناك دالة منفعةu{\displaystyle u}التي تصف تفضيلات الأفراد على عدد من السلع، دالة الإنفاقهـ(ص،u*){\displaystyle e(p,u^{*})}يُعرَّف على النحو التالي:

هـ(ص،u*)=مينx∈ ≥(u*)ص⋅x{\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x}

أينص{\displaystyle p}هو متجه السعرu*{\displaystyle u^{*}}هو مستوى المنفعة المطلوب،≥(u*)={x∈R+ن:u(x)≥u*}{\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}هي مجموعة توفير فائدة على الأقلu*{\displaystyle u^{*}}.

وبعبارة أخرى، يقلل الفرد من النفقاتx1ص1+⋯+xنصن{\displaystyle x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}}مع مراعاة الحد الأدنى من قيود المنفعة التيu(x1،...،xن)≥u*،{\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},}تحديد الكميات المثلى لاستهلاك مختلف السلع كماx1*،...xن*{\displaystyle x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}}كدالة لـu*{\displaystyle u^{*}} والأسعار؛ ثم تكون دالة الإنفاق هي

هـ(ص1،...،صن؛u*)=ص1x1*+⋯+صنxن*.{\displaystyle e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.}

ملكيات

يفترضu{\displaystyle u}هي دالة منفعة مستمرة تمثل علاقة تفضيل غير مشبعة محليًا علىR+ن{\displaystyle {\textbf {R}}_{+}^{n}}. ثمهـ(ص،u*){\displaystyle e(p,u^{*})}يكون

  1. متجانس من الدرجة الأولى في p: لكل وλ>0{\displaystyle \lambda >0}،هـ(λص،u)=λهـ(ص،u)؛{\displaystyle e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);}
  2. مستمر فيص{\displaystyle p}وu؛{\displaystyle u;}
  3. غير متناقصة فيص{\displaystyle p}وتزداد بشكل حاد فيu{\displaystyle u}متاحص≫0؛{\displaystyle p\gg 0;}
  4. مقعر للداخلص{\displaystyle p}
  5. إذا كانت دالة المنفعة شبه مقعرة تمامًا، فهناك ليمّة شيبارد

البراهين

(1) كما في الاقتراح أعلاه، لاحظ أن

هـ(λص،u)=مينx∈R+ن:u(x)≥u{\displaystyle e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}λص⋅x=λمينx∈R+ن:u(x)≥u{\displaystyle \lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}ص⋅x=λهـ(ص،u){\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}

(2) استمر في المجال هـ{\displaystyle e}:R++شمال*R→R{\displaystyle {\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}

(3) ليكنص′>ص{\displaystyle p^{\prime }>p}ولنفترضx∈ح(ص′،u){\displaystyle x\in h(p^{\prime },u)}. ثمu(ح)≥u{\displaystyle u(h)\geq u}، وهـ(ص′،u)=ص′⋅x≥ص⋅x{\displaystyle e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x}ويترتب على ذلك مباشرة أنهـ(ص،u)≤هـ(ص′،u){\displaystyle e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)}.

أما بالنسبة للعبارة الثانية، فلنفترض عكس ذلك، أي أنه بالنسبة لبعضu′>u{\displaystyle u^{\prime }>u}،هـ(ص،u′)≤هـ(ص،u){\displaystyle e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)}ثم بالنسبة للبعضx∈ح(ص،u){\displaystyle x\in h(p,u)}،u(x)=u′>u{\displaystyle u(x)=u^{\prime }>u}وهذا يتناقض مع استنتاج "عدم وجود منفعة زائدة" الوارد في الاقتراح السابق

(4) ليكنت∈(0،1){\displaystyle t\in (0,1)}ولنفترضx∈ح(تص+(1-ت)ص′){\displaystyle x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })}. ثم،ص⋅x≥هـ(ص،u){\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}وص′⋅x≥هـ(ص′،u){\displaystyle p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)}، لذاهـ(تص+(1-ت)ص′،u)=(تص+(1-ت)ص′)⋅x≥{\displaystyle e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq }تهـ(ص،u)+(1-ت)هـ(ص′،u){\displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)}.

(5)دلتا(ص0،u0)دلتاصأنا=xأناح(ص0،u0){\displaystyle {\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}

الإنفاق والفائدة غير المباشرة

دالة الإنفاق هي معكوس دالة المنفعة غير المباشرة عندما تبقى الأسعار ثابتة. أي، لكل متجه سعرص{\displaystyle p}ومستوى الدخلأنا{\displaystyle I}: [ 1 ] : 106

هـ(ص،v(ص،أنا))≡أنا{\displaystyle e(p,v(p,I))\equiv I}

توجد علاقة ازدواجية بين دالة الإنفاق ودالة المنفعة. فإذا كانت لدينا دالة منفعة منتظمة شبه مقعرة، وكان السعر المقابل متجانسًا، وكانت المنفعة متزايدة بشكل رتيب، فإن دالة الإنفاق ستولد دالة منفعة منتظمة شبه مقعرة. إضافةً إلى خاصية تجانس الأسعار وتزايد المنفعة بشكل رتيب، فإن دالة الإنفاق عادةً ما تفترض

  1. هي دالة غير سالبة، أيهـ(P⋅u)>يا؛{\displaystyle E(P\cdot u)>O;}
  2. بالنسبة لـ P، فهي غير متناقصة، أيهـ(ص1u)>هـ(ص2u)،u>ياصل>ص2>ياشمال{\displaystyle E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}}؛
  3. الدالة E(Pu) هي دالة مقعرة. أي،هـ(نصل+(1-ن)ص2)u)>λهـ(ص1u)(1-ن)هـ(ص2u)y>0{\displaystyle e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0}يا<λ<1صل≥ياشمالص2≥ياشمال{\displaystyle O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}}

تُعدّ دالة الإنفاق أسلوبًا نظريًا هامًا لدراسة سلوك المستهلك. وهي تُشابه إلى حد كبير دالة التكلفة في نظرية الإنتاج. وتُعتبر مسألة تقليل التكلفة نظيرةً لمسألة تعظيم المنفعة [ 2 ] [ 3 ].

مثال

لنفترض أن دالة المنفعة هي دالة كوب-دوغلاسu(x1،x2)=x10.6x20.4،{\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}والتي تولد وظائف الطلب [ 4 ]

x1(ص1،ص2،أنا)=0.6أناص1أندx2(ص1،ص2،أنا)=0.4أناص2،{\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}

أينأنا{\displaystyle I}يمثل دخل المستهلك. إحدى طرق إيجاد دالة الإنفاق هي إيجاد دالة المنفعة غير المباشرة أولاً ثم عكسها. دالة المنفعة غير المباشرةv(ص1،ص2،أنا){\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}يتم إيجادها عن طريق استبدال الكميات في دالة المنفعة بدوال الطلب على النحو التالي:

v(ص1،ص2،أنا)=u(x1*،x2*)=(x1*)0.6(x2*)0.4=(0.6أناص1)0.6(0.4أناص2)0.4=(0.60.6×0.40.4)أنا0.6+0.4ص1-0.6ص2-0.4=كص1-0.6ص2-0.4أنا،{\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}\times .4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}

أينك=(0.60.6×0.40.4).{\displaystyle K=(.6^{.6}\times .4^{.4}).} ثم منذ ذلك الحينهـ(ص1،ص2،u)=هـ(ص1،ص2،v(ص1،ص2،أنا))=أنا{\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I} عندما يقوم المستهلك بتحقيق أقصى استفادة، يمكننا عكس دالة المنفعة غير المباشرة لإيجاد دالة الإنفاق:

هـ(ص1،ص2،u)=(1/ك)ص10.6ص20.4u،{\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}

بدلاً من ذلك، يمكن إيجاد دالة الإنفاق عن طريق حل مسألة تقليل(ص1x1+ص2x2){\displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})} رهناً بالقيود u(x1،x2)≥u*.{\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.} ينتج عن ذلك دوال الطلب المشروطة x1*(ص1،ص2،u*){\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})} وx2*(ص1،ص2،u*){\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})} وتكون دالة الإنفاق حينها

هـ(ص1،ص2،u*)=ص1x1*+ص2x2*{\displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فاريان، هال (1992). التحليل الاقتصادي الجزئي (  الطبعة الثالثة). نيويورك: نورتون. ISBN 0-393-95735-7.
  2. ^ جينغ جي شيويه دا سي ديان . شياومين ليانغ، 梁小民. (دي 1 حظر الطبعة). بكين شي: توان جي تشو بان هي. 1994. ردمك  7-80061-954-0. OCLC 34287945 . {{cite book}}صيانة CS1: أخرى ( رابط )
  3. ↑ "اختيار المستهلك والازدواجية" (ملف PDF) . 23 فبراير 2024.
  4. ↑ فاريان، هـ. (1992). التحليل الاقتصادي الجزئي ( الطبعة الثالثة). نيويورك: دبليو دبليو نورتون. رقم ISBN  978-0-393-95735-8.، صفحة 111، تحتوي على الصيغة العامة.

للمزيد من القراءة

  • ماس-كوليل، أندرو ؛ وينستون، مايكل د.؛ غرين، جيري ر. (2007). نظرية الاقتصاد الجزئي . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 59-60 . ISBN  978-0-19-510268-0.
  • ماثيس، ستيفن أ.؛ كوسيانسكي، جانيت (2002). نظرية الاقتصاد الجزئي: منهج متكامل . أبر سادل ريفر: برنتيس هول. ص 132-133 . ISBN  0-13-011418-9.
  • فاريان، هال ر. (1984). التحليل الاقتصادي الجزئي (  الطبعة الثانية). نيويورك: دبليو دبليو نورتون. الصفحات 121-123 . ISBN  0-393-95282-7.