الترشيح (نظرية الاحتمالات)

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 31 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية العمليات العشوائية ، وهي فرع من فروع نظرية الاحتمالات ، تعتبر عمليات الترشيح عبارة عن مجموعات مرتبة تمامًا من المجموعات الفرعية التي تستخدم لنمذجة المعلومات المتاحة عند نقطة معينة، وبالتالي تلعب دورًا مهمًا في صياغة العمليات العشوائية (العشوائية).

تعريف

يترك(Ω،أ،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}ليكن فضاء احتمالي وليكنأنا{\displaystyle I}ليكن مجموعة فهارس ذات ترتيب كلي≤{\displaystyle \leq }(غالباًشمال{\displaystyle \mathbb {N} }، R+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}أو مجموعة فرعية منR+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}).

لكلأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}يتركFأنا{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}ليكن جبرًا فرعيًا من نوع σأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}. ثم

F:=(Fأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}

يُطلق عليه اسم الترشيح، إذاFك⊆Fℓ{\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}للجميعك≤ℓ{\displaystyle k\leq \ell }إذن، الترشيحات هي عائلات من جبر سيجما مرتبة ترتيبًا غير تنازلي. [ 1 ] إذاF{\displaystyle \mathbb {F} }إذا كان ترشيحًا، (Ω،أ،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}يُطلق عليه اسم فضاء الاحتمالية المُصفّى .

مثال

يترك(Xن)ن∈شمال{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}لتكن عملية عشوائية على فضاء الاحتمالات(Ω،أ،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}. يتركσ(Xك|ك≤ن){\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}يرمز إلى الجبر σ الناتج عن المتغيرات العشوائيةX1،X2،...،Xن{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}. ثم

Fن:=σ(Xك|ك≤ن){\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}

هي جبر سيجما و F=(Fن)ن∈شمال{\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}هي عملية ترشيح.

F{\displaystyle \mathbb {F} }إنها في الواقع عملية ترشيح، لأن جميعها بحكم تعريفهاFن{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}هي جبر سيجما و

σ(Xك|ك≤ن)⊆σ(Xك|ك≤ن+1).{\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}

يُعرف هذا بالترشيح الطبيعي لـأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}بالنسبة إلى(Xن)ن∈شمال{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}.

أنواع الترشيحات

الترشيح المستمر الأيمن

لوF=(Fأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}إذا كانت عملية ترشيح، فإن عملية الترشيح المستمرة من اليمين المقابلة تُعرَّف على النحو التالي [ 2 ]

F+:=(Fأنا+)أنا∈أنا،{\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}

مع

Fأنا+:=⋂z>أناFz.{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{z>i}{\mathcal {F}}_{z}.}

الترشيحF{\displaystyle \mathbb {F} }تُسمى نفسها متصلة من اليمين إذاF+=F{\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }[ 3 ]​

ترشيح كامل

يترك(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}ليكن فضاء احتمالي، وليكن

شمالP:={أ⊆Ω|أ⊆ب بالنسبة للبعض ب∈F مع P(ب)=0}{\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ لبعض }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ مع }}P(B)=0\}}

لتكن مجموعة جميع المجموعات التي تحتويها مجموعةP{\displaystyle P}- مجموعة فارغة .

عملية ترشيحF=(Fأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}يُطلق عليها اسم الترشيح الكامل ، إذا كان كلFأنا{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}يتضمنشمالP{\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}وهذا يعني(Ω،Fأنا،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)}مساحة قياس كاملة لكلأنا∈أنا.{\displaystyle i\in I.}(العكس ليس بالضرورة صحيحاً.)

الترشيح المعزز

يُطلق على عملية الترشيح اسم الترشيح المُعزز إذا كانت كاملة ومستمرة تمامًا. لكل عملية ترشيحF{\displaystyle \mathbb {F} }يوجد ترشيح معزز أصغرF~{\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}التكريرF{\displaystyle \mathbb {F} }.

إذا كانت عملية الترشيح عبارة عن ترشيح معزز، فإنه يقال إنها تفي بالفرضيات المعتادة أو الشروط المعتادة . [ 3 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كلينكه، آخيم (2008). نظرية الاحتمالات . برلين: سبرينغر . ص 191. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN  978-1-84800-047-6.
  2. ↑ كالينبيرغ، أولاف (2017). المقاييس العشوائية: النظرية والتطبيقات . نظرية الاحتمالات والنمذجة العشوائية. المجلد 77. سويسرا: سبرينغر. ص 350-351. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN   978-3-319-41596-3.
  3. 1 2 كلينكه، آخيم (2008). نظرية الاحتمالات . برلين: سبرينغر . ص 462. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN  978-1-84800-047-6.