مجموعة فارغة

الموسوعة الحرة
يُعد مثلث سيربينسكي مثالاً على مجموعة نقاط معدومة فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.

في التحليل الرياضي ، المجموعة الصفرية فيR{\displaystyle \mathbb {R} }هي مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ من الأعداد الحقيقية التي يكون قياسها صفرًا . ويمكن وصفها بأنها مجموعة يمكن تغطيتها باتحاد قابل للعد لفترات ذات طول إجمالي صغير كيفيًا.

لا ينبغي الخلط بين المجموعة الفارغة والمجموعة الخالية كما هو مُعرَّف في نظرية المجموعات . فمع أن قياس ليبيغ للمجموعة الخالية يساوي صفرًا، إلا أن هناك أيضًا مجموعات غير خالية تُعتبر فارغة. على سبيل المثال، أي مجموعة حقيقية قابلة للعد وغير فارغة لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا، وبالتالي فهي فارغة.

وبشكل أعم، في فضاء قياس معينم=(X،Σ،μ){\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}المجموعة الفارغة هي مجموعةS∈Σ{\displaystyle S\in \Sigma }بحيثμ(S)=0.{\displaystyle \mu (S)=0.}

أمثلة

كل مجموعة جزئية منتهية أو غير منتهية قابلة للعد من الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }⁠ هي مجموعة فارغة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية ⁠شمال{\displaystyle \mathbb {N} }، مجموعة الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }ومجموعة الأعداد الجبرية ​أ{\displaystyle \mathbb {A} }جميعها مجموعات لا نهائية قابلة للعد، وبالتالي فهي مجموعات فارغة عند اعتبارها مجموعات جزئية من الأعداد الحقيقية.

مجموعة كانتور مثال على مجموعة فارغة غير قابلة للعد. وهي غير قابلة للعد لأنها تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية بين 0 و1 التي يمكن كتابة تمثيلها الثلاثي باستخدام 0 و2 فقط (انظر حجة كانتور القطرية )، وهي فارغة لأنها تُنشأ بالبدء بالفترة المغلقة للأعداد الحقيقية من 0 إلى 1، ثم إزالة ثلث المجموعة السابقة بشكل متكرر، مما يؤدي إلى مضاعفة طولها بمقدار 2/3 في كل خطوة.

تُعد مجموعة أعداد ليوفيل مثالاً آخر على مجموعة فارغة غير قابلة للعد.

تعريف مقياس ليبيغ

مقياس ليبيغ هو الطريقة القياسية لتعيين طول أو مساحة أو حجم لمجموعات فرعية من الفضاء الإقليدي .

مجموعة فرعيةشمال{\displaystyle N}خط الواقعR{\displaystyle \mathbb {R} }لها قياس ليبيغ معدوم وتعتبر مجموعة معدومة (تُعرف أيضًا باسم مجموعة ذات محتوى صفري) فيR{\displaystyle \mathbb {R} }إذا وفقط إذا:

بفرض أي عدد موجبε،{\displaystyle \varepsilon ,}هناك تسلسل​أنا1،أنا2،...{\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }من الفترات فيR{\displaystyle \mathbb {R} }(حيث الفاصل الزمني)أنان=(أن،بن)⊆R{\displaystyle I_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }له طولطول⁡(أنان)=بن-أن{\displaystyle \operatorname {length} (I_{n})=b_{n}-a_{n}}) بحيثشمال{\displaystyle N}يحتوي على اتحادأنا1،أنا2،...{\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }ويكون الطول الإجمالي للاتحاد أقل منε؛{\displaystyle \varepsilon ;} أي، [ 1 ]شمال⊆⋃ن=1∞أنان  و  ∑ن=1∞طول⁡(أنان)<ε.{\displaystyle N\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{n})<\varepsilon \,.}

(في مصطلحات التحليل الرياضي ، يتطلب هذا التعريف وجود سلسلة من الأغطية المفتوحة لـأ{\displaystyle A}والتي يكون حد أطوال الأغطية فيها صفرًا.)

يمكن تعميم هذه الحالة علىRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}استخدامن{\displaystyle n}- مكعبات بدلاً من فترات. في الواقع، يمكن جعل الفكرة منطقية على أي متعدد الشعب ، حتى لو لم يكن هناك مقياس ليبيغ هناك.

على سبيل المثال:

  • بالنسبة إلىRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}جميع المجموعات الأحادية فارغة، وبالتالي فإن جميع المجموعات القابلة للعد فارغة. على وجه الخصوص، المجموعةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة فارغة، على الرغم من كونها كثيفة فيR.{\displaystyle \mathbb {R} .}
  • يُعد البناء القياسي لمجموعة كانتور مثالاً على مجموعة غير قابلة للعد فارغة فيR؛{\displaystyle \mathbb {R} ;} ومع ذلك، توجد تركيبات أخرى ممكنة تُسند إلى مجموعة كانتور أي مقياس على الإطلاق.
  • جميع المجموعات الفرعية منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}الذي يكون بُعده أصغر منن{\displaystyle n}يكون مقياس ليبيغ معدومًا فيRن.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}على سبيل المثال، الخطوط المستقيمة أو الدوائر هي مجموعات فارغة فيR2.{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}
  • معضلة سارد : مجموعة القيم الحرجة لدالة سلسة لها قياس يساوي صفرًا.

لوλ{\displaystyle \lambda }مقياس ليبيغ لـR{\displaystyle \mathbb {R} }وπ هو مقياس ليبيغ لـR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}ثم مقياس المنتجλ×λ=π.{\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}فيما يتعلق بالمجموعات الفارغة، فقد تم تسمية التكافؤ التالي بنظرية فوبيني : [ 2 ]

  • لأ⊂R2{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}وأx={y:(x،y)∈أ}،{\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}π(أ)=0⟺λ({x:λ(أx)>0})=0.{\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}

الخصائص النظرية للقياس

يترك(X،Σ،μ){\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}ليكن فضاء قياس . لدينا:

تُظهر هذه الحقائق مجتمعةً أن المجموعات الفارغة من(X،Σ،μ){\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}كون قيمة 𝜎‏ مثالية لجبر 𝜎Σ{\displaystyle \Sigma }وبناءً على ذلك، يمكن تفسير المجموعات الفارغة على أنها مجموعات مهملة ، مما يؤدي إلى مفهوم نظري للقياس " تقريبًا في كل مكان ".

الاستخدامات

تلعب المجموعات الصفرية دورًا رئيسيًا في تعريف تكامل ليبيغ : إذا كانت الدوالو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}إذا كانت متساوية باستثناء مجموعة فارغة، فـو{\displaystyle f}تكون قابلة للتكامل إذا وفقط إذاز{\displaystyle g}وهي، وتكاملاتها متساوية. وهذا ما يحفز التعريف الرسمي لـلص{\displaystyle L^{p}}الفضاءات كمجموعات من فئات التكافؤ للدوال التي تختلف فقط في المجموعات الفارغة.

المقياس الذي تكون فيه جميع المجموعات الجزئية من المجموعات الفارغة قابلة للقياس هو مقياس كامل . يمكن إكمال أي مقياس غير كامل ليصبح مقياسًا كاملًا بالقول إن المجموعات الجزئية من المجموعات الفارغة لها قياس يساوي صفرًا. يُعد مقياس ليبيغ مثالًا على المقياس الكامل؛ وفي بعض الصيغ، يُعرَّف بأنه إكمال مقياس بوريل غير الكامل .

مجموعة فرعية من مجموعة كانتور غير قابلة للقياس بوريل

مقياس بوريل غير مكتمل. إحدى الطرق البسيطة هي البدء بمجموعة كانتور القياسية.ك،{\displaystyle K,}وهي مجموعة مغلقة، وبالتالي قابلة للقياس وفقًا لبوريل، ولها قياس يساوي صفرًا، وإيجاد مجموعة جزئية منهاF{\displaystyle F}لك{\displaystyle K}وهو غير قابل للقياس باستخدام مقياس بوريل. (بما أن مقياس لوبيغ كامل، فإن هذاF{\displaystyle F}(بالطبع، يمكن قياسها وفقًا لمقياس لوبيغ.)

أولاً، علينا أن نعرف أن كل مجموعة ذات قياس موجب تحتوي على مجموعة فرعية غير قابلة للقياس. ليكنو{\displaystyle f}لتكن دالة كانتور ، وهي دالة متصلة وثابتة محليًا علىكج،{\displaystyle K^{c},}وتزداد بشكل رتيب على[0،1]،{\displaystyle [0,1],}معو(0)=0{\displaystyle f(0)=0}وو(1)=1.{\displaystyle f(1)=1.}بوضوح،و(كج){\displaystyle f(K^{c})}قابلة للعد، لأنها تحتوي على نقطة واحدة لكل مكون من مكوناتكج.{\displaystyle K^{c}.}لذلكو(كج){\displaystyle f(K^{c})}قياسه يساوي صفرًا، لذلكو(ك){\displaystyle f(K)}لها قياس واحد. نحتاج إلى دالة رتيبة تمامًا ، لذا ضع في اعتباركز(x)=و(x)+x.{\displaystyle g(x)=f(x)+x.}منذز{\displaystyle g}إذا كانت الدالة رتيبة ومتصلة تمامًا، فهي تماثل شكلي . علاوة على ذلك،ز(ك){\displaystyle g(K)}له قياس واحد. ليكنهـ⊆ز(ك){\displaystyle E\subseteq g(K)}ليكن غير قابل للقياس، وليكنF=ز-1(هـ).{\displaystyle F=g^{-1}(E).}لأنز{\displaystyle g}بما أنها حقنية، فهذا ما لديناF⊆ك،{\displaystyle F\subseteq K,}وهكذاF{\displaystyle F}هي مجموعة فارغة. مع ذلك، إذا كانت قابلة للقياس وفقًا لبوريل، فإنو(F){\displaystyle f(F)}سيكون أيضًا قابلًا للقياس بوريل (هنا نستخدم حقيقة أن الصورة العكسية لمجموعة بوريل بواسطة دالة متصلة قابلة للقياس)؛ز(F)=(ز-1)-1(F){\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}هي الصورة الأصلية لـF{\displaystyle F}من خلال الوظيفة المستمرةح=ز-1{\displaystyle h=g^{-1}}). لذلكF{\displaystyle F}هي مجموعة فارغة، ولكنها غير قابلة للقياس وفقًا لبوريل.

مجموعات هار الفارغة

في مساحة باناش قابلة للفصل(X،‖⋅‖)،{\displaystyle (X,\|\cdot \|),}تؤدي عملية الجمع إلى تحريك أي مجموعة جزئيةأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}إلى الترجماتأ+x{\displaystyle A+x}لأيx∈X.{\displaystyle x\in X.}عندما يكون هناك مقياس احتمالي μ على الجبر σ للمجموعات الفرعية بوريل منX،{\displaystyle X,}بحيث يكون ذلك لجميعx،{\displaystyle x,}μ(أ+x)=0،{\displaystyle \mu (A+x)=0,}ثمأ{\displaystyle A}هي مجموعة فارغة من نوع هار . [ 3 ]

يشير المصطلح إلى عدم ثبات مقاييس الترجمات، ويربطها بالثبات الكامل الموجود في مقياس هار .

تم ربط بعض الخصائص الجبرية للمجموعات الطوبولوجية بحجم المجموعات الجزئية ومجموعات هار الصفرية. [ 4 ] وقد استُخدمت مجموعات هار الصفرية في المجموعات البولندية لإثبات أنه عندما لا تكون A مجموعة ضئيلة، فإنأ-1أ{\displaystyle A^{-1}A}تحتوي على جوار مفتوح لعنصر الوحدة . [ 5 ] سميت هذه الخاصية نسبة إلى هوغو شتاينهاوس لأنها نتيجة لنظرية شتاينهاوس .

مراجع

  1. ↑ فرانكس، جون (2009). مقدمة (موجزة) لتكامل لوبيغ . مكتبة الطلاب الرياضية. المجلد  48. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ص  28. doi : 10.1090/stml/048 . ISBN 978-0-8218-4862-3.
  2. ↑ فان دوفن، إريك ك. (1989). "نظرية فوبيني للمجموعات الفارغة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 96 (8): 718-21 . doi : 10.1080/00029890.1989.11972270 . JSTOR 2324722. MR 1019152 .  
  3. ↑ ماتوسكوفا، إيفا (1997). "التحدب ومجموعات هار الصفرية" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 125 (6): 1793-1799 . doi : 10.1090/S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR 2162223 . 
  4. ↑ سوليكي، س. (2005). "أحجام المجموعات الجزئية من الزمر ومجموعات هار الصفرية". التحليل الهندسي والوظيفي . 15 : 246-273 . CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . doi : 10.1007/s00039-005-0505-z . MR 2140632. S2CID 11511821 .   
  5. ↑ دودوس، بانديليس (2009). "خاصية شتاينهاوس ومجموعات هار-الصفرية". نشرة الجمعية الرياضية بلندن . 41 (2): 377-344 . arXiv : 1006.2675 . Bibcode : 2010arXiv1006.2675D . doi : 10.1112/blms / bdp014 . MR 4296513. S2CID 119174196 .  

للمزيد من القراءة

  • كابينسكي، ماريك؛ كوب، إيكهارد (2005). القياس والتكامل والاحتمال . سبرينغر. ص  16. ISBN 978-1-85233-781-0.
  • جونز، فرانك (1993). تكامل لوبيغ على الفضاءات الإقليدية . جونز وبارتليت. ص  107. ISBN 978-0-86720-203-8.
  • أوكستوبي، جون سي. (1971). القياس والتصنيف . سبرينغر-فيرلاغ. ص  3. ISBN 978-0-387-05349-3.