الرسم البياني المقلوب

في الرياضيات، الرسم البياني المقلوب هو رسم بياني تكون رؤوسه عبارة عن أجسام تركيبية أو هندسية ، وتربط حوافه بين اثنين من هذه الأجسام عندما يمكن الحصول عليها من بعضها البعض من خلال عملية أولية تسمى الانعكاس. الرسوم البيانية المقلوبة هي حالات خاصة من الرسوم البيانية الهندسية .

من بين الرسوم البيانية القابلة للانعكاس الملحوظة، نجد الهيكل أحادي السطوح للعديد من الأشكال مثل الأشكال المتجانسة ^[1] أو الأشكال الدائرية . ^[2]

الرسم البياني الانعكاسي النموذجي هو الرسم البياني المحدب ذي الأضلاع الأربعة . رؤوس هذا الرسم البياني هي مثلثات ، ويكون مثلثان متجاوران فيه كلما اختلفا بحافة داخلية واحدة. في هذه الحالة، تتكون عملية الانعكاس من تبادل أقطار الشكل الرباعي المحدب . هذه الأقطار هي الحواف الداخلية التي يختلف بها مثلثان متجاوران في الرسم البياني الانعكاسي. الرسم البياني الانعكاسي الناتج هو كل من مخطط هاس لشبكة تاماري ^[3] والهيكل أحادي الأبعاد للمتوازي المستطيلات . ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (n-3)}$

يمكن تعميم هذا البناء الأساسي بعدة طرق.

ليكن مثلثًا لمجموعة محدودة من النقاط . في بعض الظروف، يمكن تحويله إلى مثلث آخر من خلال قلب. تتكون هذه العملية من تعديل الطريقة التي يتم بها مثلث الدائرة ( مجموعة فرعية تعتمد على الحد الأدنى من التقارب من ). بتعبير أدق، إذا كان بعض مثلثات الدائرة عبارة عن مجموعة فرعية من ، وإذا كانت جميع الخلايا (وجوه البعد الأقصى) لها نفس الرابط في ، فيمكن للمرء إجراء قلب داخل عن طريق الاستبدال بـ ، حيث ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \tau ^{-}}$${\displaystyle z\subset {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau ^{-}}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda {\mathord {\star }}\tau ^{-}}$${\displaystyle \lambda {\mathord {\star }}\tau ^{+}}$

${\displaystyle X\mathord {\star }}{Y}=\{x\cup {y}:(x,y)\in {X\mathord {\times }}{Y}}\},}$

وهو ، وفقًا لنظرية تقسيم رادون ، المثلث الآخر الفريد لـ . إن الشروط المذكورة للتو، والتي بموجبها يكون الانعكاس ممكنًا، تضمن أن تؤدي هذه العملية إلى مثلث لـ . ^[4] إن الرسم البياني المقلوب المقابل، الذي تكون رؤوسه مثلثات لـ والذي تتوافق حوافه مع الانعكاسات بينهما، هو تعميم طبيعي للرسم البياني المقلوب لمضلع محدب، حيث يتطابق الرسمان البيانيان المقلوبان عندما تكون مجموعة رؤوس مضلع محدب -. ${\displaystyle \tau ^{+}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n}$

يتم الحصول على نوع آخر من الرسوم البيانية المقلوبة من خلال النظر في مثلثات السطح الطوبولوجي : ^[5] ضع في اعتبارك مثل هذا السطح ، وضع عددًا محدودًا من النقاط عليه، وقم بتوصيلها بأقواس بطريقة لا تتقاطع فيها أي قوسين أبدًا. عندما تكون مجموعة الأقواس هذه في أقصى حد لها، فإنها تتحلل إلى مثلثات. إذا لم يكن هناك بالإضافة إلى ذلك أقواس متعددة (أقواس مميزة بنفس زوج الرؤوس)، ولا حلقات ، فإن مجموعة الأقواس هذه تحدد مثلثًا لـ . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

في هذا الإعداد، يمكن الحصول على مثلثين من بعضهما البعض عن طريق تحويل مستمر متطابقين. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ترتبط مثلثاتان بانعكاس عندما تختلفان عن بعضهما البعض بمقدار قوس واحد فقط من الأقواس التي تتكون منها. لاحظ أن هذين المثلثين لهما بالضرورة نفس عدد الرؤوس. كما هو الحال في الحالة الإقليدية، فإن الرسم البياني المقلوب لـ هو الرسم البياني الذي تكون رؤوسه مثلثات لـ مع رؤوس وحوافه تتوافق مع الانعكاسات بينهما. يمكن توسيع هذا التعريف بشكل مباشر ليشمل الأسطح الطوبولوجية المحدودة . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle n}$

يعمم الرسم البياني الانعكاسي لسطح ما الرسم البياني للضلع -، حيث يتطابق الاثنان عندما يكون السطح عبارة عن قرص طوبولوجي مع نقاط موضوعة على حدوده. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

يمكن تعريف عدد من الرسوم البيانية الأخرى باستخدام تعريفات بديلة للتثليث. على سبيل المثال، الرسم البياني الذي تكون رؤوسه مثلثات متناظرة مركزيًا لضلع - والذي تتوافق حوافه مع عملية القيام بقلبتين متناظرتين مركزيًا هو الهيكل أحادي الأبعاد لحلقي السطوح ذي الأبعاد - . ^[2] يمكن للمرء أيضًا أن يفكر في رسم بياني انعكاسي بديل لسطح طوبولوجي، يتم تعريفه من خلال السماح بأقواس وحلقات متعددة في مثلثات هذا السطح. ${\displaystyle (2د+2)}$${\displaystyle د}$

يمكن تعريف الرسوم البيانية المقلوبة أيضًا باستخدام كائنات تركيبية غير المثلثات. ومن الأمثلة على هذه الكائنات التركيبية بلاط الدومينو لمنطقة معينة في المستوى. في هذه الحالة، يمكن إجراء التقليب عندما يغطي اثنان من الدومينو المتجاورين مربعًا: ويتمثل ذلك في تدوير هذين الدومينو بمقدار 90 درجة حول مركز المربع، مما يؤدي إلى بلاط دومينو مختلف لنفس المنطقة.

بصرف النظر عن الأشكال المتشابهة الوجوه والدوائر المتشابهة الوجوه ، فإن عددًا من متعددات السطوح لها خاصية أن هيكلها أحادي السطوح عبارة عن رسم بياني انعكاسي. على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة محدودة من النقاط في ، فإن المثلثات المنتظمة لـ هي تلك التي يمكن الحصول عليها عن طريق إسقاط بعض وجوه متعدد السطوح ذي الأبعاد على . الرسم البياني الفرعي الناتج عن هذه المثلثات في الرسم البياني الانعكاسي لـ هو الهيكل أحادي السطوح لمتعدد السطوح ، وهو متعدد السطوح الثانوي لـ . ^[6]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (d+1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

الرسوم البيانية المقلوبة متعددة السطوح متصلة ، وفقًا لهذه الخاصية . وكما أظهر كلاوس فاغنر في ثلاثينيات القرن العشرين، فإن الرسم البياني المقلوب للكرة الطوبولوجية متصل. ^[7] ومن بين الرسوم البيانية المقلوبة المتصلة، نجد أيضًا الرسوم البيانية المقلوبة لأي مجموعة محدودة من النقاط ثنائية الأبعاد. ^[8] في الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى، يكون الموقف أكثر تعقيدًا. تم العثور على مجموعات محدودة من النقاط ذات الرسوم البيانية المقلوبة المنفصلة كلما كان 5 على الأقل. ^{[4] [9] [10]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle د}$

من المعروف أن الرسم البياني المقلوب لمجموعة رؤوس المكعب الفائق رباعي الأبعاد متصل. ^[11] ومع ذلك، فمن غير المعروف حتى الآن ما إذا كانت الرسوم البيانية المقلوبة لمجموعات محدودة من النقاط ثلاثية ورباعية الأبعاد متصلة دائمًا أم لا. ^[4]

الحد الأقصى لعدد التقلبات المطلوبة لتحويل مثلث إلى مثلث آخر هو قطر الرسم البياني المقلوب. تم الحصول على قطر الرسم البياني المقلوب لمضلع محدب بواسطة دانييل سليتور وروبرت تارجان وويليام ثورستون ^[12] عندما يكون كبيرًا بدرجة كافية وبواسطة ليونيل بورنين لجميع . هذا القطر يساوي عندما . ^[13]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n-10}$${\displaystyle n\geq 13}$

تمت دراسة قطر الرسوم البيانية الأخرى. على سبيل المثال، قدم كلاوس فاغنر حدًا أعلى تربيعيًا لقطر الرسم البياني المقلوب لمجموعة من النقاط غير المحددة على الكرة. ^[7] الحد الأعلى الحالي للقطر هو ، ^[14] بينما الحد الأدنى الأكثر شهرة هو . ^[15] تمت أيضًا دراسة قطر الرسوم البيانية المقلوبة للأسطح الطوبولوجية التعسفية ذات الحدود وهو معروف تمامًا في العديد من الحالات. ^{[16] [17] [18]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 5.2n-33.6}$${\displaystyle 7n/3+\ثيتا (1)}$

• مسافة التقليب
• مسافة الدوران