الإسقاط (الجبر الخطي)

في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، الإسقاط هو تحويل خطي من فضاء متجه إلى نفسه ( شكل داخلي ) بحيث . أي أنه كلما تم تطبيقه مرتين على أي متجه، فإنه يعطي نفس النتيجة كما لو تم تطبيقه مرة واحدة (أي أنه أيديمبوتني ). ويترك صورته دون تغيير. ^[1] هذا التعريف لـ "الإسقاط" يضفي طابعًا رسميًا وتعميمًا على فكرة الإسقاط الرسومي . يمكن للمرء أيضًا أن يفكر في تأثير الإسقاط على جسم هندسي من خلال فحص تأثير الإسقاط على نقاط في الجسم. ${\displaystyle P}$${\displaystyle P\circ P=P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

الإسقاط على فضاء متجه هو عامل خطي بحيث . ${\displaystyle V}$${\displaystyle P\colon V\to V}$${\displaystyle P^{2}=P}$

عندما يكون له حاصل داخلي ويكون كاملاً ، أي عندما يكون فضاء هيلبرت ، يمكن استخدام مفهوم التعامد . يُطلق على الإسقاط على فضاء هيلبرت اسم الإسقاط المتعامد إذا كان يرضي لجميع . يُطلق على الإسقاط على فضاء هيلبرت غير المتعامد اسم الإسقاط المائل . ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$

• تسمى المصفوفة المربعة مصفوفة إسقاط إذا كانت مساوية لمربعها، أي إذا . ^{[2] : ص 38}${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P}$
• تُسمى المصفوفة المربعة مصفوفة إسقاط متعامدة إذا كان بالنسبة لمصفوفة حقيقية ، وبالنسبة لمصفوفة مركبة على التوالي ، حيث يشير إلى النقل لـ ويشير إلى النقل المساعد أو النقل الهيرميتي لـ . ^{[2] : ص 223}${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle P^{2}=P=P^{*}}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$
• تسمى مصفوفة الإسقاط التي ليست مصفوفة إسقاط متعامدة بمصفوفة إسقاط مائلة .

يجب أن تكون القيم الذاتية لمصفوفة الإسقاط 0 أو 1.

على سبيل المثال، الدالة التي ترسم النقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى النقطة هي إسقاط متعامد على المستوى xy . يتم تمثيل هذه الدالة بواسطة المصفوفة ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,0)}$$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

إن تأثير هذه المصفوفة على متجه تعسفي هو $${\displaystyle P\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.}$$

لنرى أن هذا هو في الواقع إسقاط، أي أننا نحسب ${\displaystyle P}$${\displaystyle P=P^{2}}$$${\displaystyle P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

ملاحظة ذلك تبين أن الإسقاط هو إسقاط متعامد. ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$

مثال بسيط على الإسقاط غير المتعامد (المائل) هو $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$$

ومن خلال عملية ضرب المصفوفات ، نرى أن إظهار ذلك هو في الواقع إسقاط. $${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$$${\displaystyle P}$

يكون الإسقاط متعامدًا إذا وفقط إذا لأنه فقط عندئذٍ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P.}$

حسب التعريف، الإسقاط هو إيدموتنت (أي ). ${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P}$

كل إسقاط هو خريطة مفتوحة ، مما يعني أنه يربط كل مجموعة مفتوحة في المجال بمجموعة مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الفرعي للصورة . [ ^{بحاجة لمصدر ]} وهذا يعني أنه بالنسبة لأي متجه وأي كرة (بنصف قطر موجب) مركزها ، توجد كرة (بنصف قطر موجب) مركزها محصورة بالكامل في الصورة . ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle B_{\mathbf {x} }}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle B_{P\mathbf {x} }}$${\displaystyle P\mathbf {x} }$${\displaystyle P(B_{\mathbf {x} })}$

ليكن فضاء متجه ذي أبعاد محدودة وليكن إسقاطًا على . افترض أن الفضاءين الجزئيين وهما الصورة والنواة لـ على التوالي. إذن، له الخصائص التالية :${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

1. ${\displaystyle P}$هل مشغل الهوية موجود على :${\displaystyle I}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .}$$
2. لدينا مجموع مباشر . يمكن تحليل كل متجه بشكل فريد كما هو الحال مع و ، وحيث${\displaystyle W=U\oplus V}$${\displaystyle \mathbf {x} \in W}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =P\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(IP\right)\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.}$

الصورة والنواة للإسقاط متكاملان ، كما هو الحال مع و . والمشغل هو أيضًا إسقاط حيث تصبح الصورة والنواة نواة وصورة والعكس صحيح. نقول إن هو إسقاط على طول ( النواة/الصورة) وهو إسقاط على طول . ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q=IP}$${\displaystyle س}$${\displaystyle P}$${\displaystyle س}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle س}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

في فضاءات المتجهات ذات الأبعاد اللانهائية، يتم احتواء طيف الإسقاط في كما يمكن أن يكون 0 أو 1 فقط قيمة ذاتية لإسقاط. وهذا يعني أن الإسقاط المتعامد هو دائمًا مصفوفة شبه محددة موجبة . بشكل عام، تكون فضاءات القيم الذاتية المقابلة (على التوالي) هي نواة ونطاق الإسقاط. إن تحلل فضاء المتجه إلى مجموعات مباشرة ليس فريدًا. لذلك، نظرًا للفضاء الجزئي ، قد يكون هناك العديد من الإسقاطات التي يكون نطاقها (أو نواة) هو . ${\displaystyle \{0,1\}}$$${\displaystyle (\lambda IP)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

إذا كان الإسقاط غير تافه، فإنه يحتوي على كثير حدود أدنى ، والذي ينقسم إلى عوامل خطية مميزة، وبالتالي يمكن تحويله إلى قطري . ${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}$${\displaystyle P}$

لا يكون حاصل ضرب الإسقاطات إسقاطًا بشكل عام، حتى لو كانت متعامدة. إذا كان إسقاطان متبادلان ، فإن حاصل ضربهما يكون إسقاطًا، ولكن العكس غير صحيح: فقد يكون حاصل ضرب إسقاطين غير متبادلين إسقاطًا.

إذا تم تبادل إسقاطين متعامدين، فإن حاصل ضربهما يكون إسقاطًا متعامدًا. وإذا كان حاصل ضرب إسقاطين متعامدين إسقاطًا متعامدًا، فإن الإسقاطين المتعامدين يتبادلان (بشكل أكثر عمومية: يتم تبادل شكلين داخليين مترافقين ذاتيًا إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما مترافقًا ذاتيًا).

عندما يكون للفضاء المتجه حاصل ضرب داخلي ويكون كاملاً (هو فضاء هيلبرت )، يمكن استخدام مفهوم التعامد . الإسقاط المتعامد هو إسقاط يكون فيه النطاق والنواة فضاءات متعامدة فرعية . وبالتالي، لكل و في ، . على نحو مكافئ: ${\displaystyle W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y})\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf { ص} \rangle =0}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf { ص} \rangle .}$$

يكون الإسقاط متعامدًا إذا وفقط إذا كان مترافقًا ذاتيًا . وباستخدام خصائص المترافق الذاتي والإيدامبونتية لـ ، لأي و في لدينا ، و حيث هو حاصل الضرب الداخلي المرتبط بـ . وبالتالي، و هما إسقاطان متعامدان. ^[3] الاتجاه الآخر، وهو أنه إذا كان متعامدًا فهو مترافق ذاتيًا، يتبع من الاستدلال من إلى لكل و في ؛ وبالتالي . ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle P\mathbf {x} \in U}$${\displaystyle \mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V}$$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\left(PP^{2}\right)\mathbf {y } \rangle =0}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$${\displaystyle IP}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =0}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf {y} \rangle }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P=P^{*}}$

إن وجود إسقاط متعامد على فضاء مغلق يتبع نظرية إسقاط هيلبرت .

الإسقاط المتعامد هو عامل محدود . وذلك لأنه لكل في فضاء المتجه لدينا، وفقًا لمتباينة كوشي-شوارتز : وبالتالي . ${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|^{2}=\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|}$$${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|}$

بالنسبة للمساحات المتجهة الحقيقية أو المعقدة ذات الأبعاد المحدودة، يمكن استبدال الحاصل الداخلي القياسي بـ . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

تحدث حالة بسيطة عندما يكون الإسقاط المتعامد على خط. إذا كان متجه وحدة على الخط، فإن الإسقاط يُعطى بواسطة حاصل الضرب الخارجي (إذا كان ذو قيمة معقدة، يتم استبدال النقل في المعادلة أعلاه بنقل هيرميتي). يترك هذا المشغل u ثابتًا، ويقضي على جميع المتجهات المتعامدة على ، مما يثبت أنه في الواقع الإسقاط المتعامد على الخط الذي يحتوي على u . ^[4] إحدى الطرق البسيطة لرؤية ذلك هي اعتبار متجه تعسفي كمجموع مكون على الخط (أي المتجه المسقط الذي نسعى إليه) وآخر عمودي عليه، . بتطبيق الإسقاط، نحصل على خصائص حاصل الضرب النقطي للمتجهات المتوازية والعمودية. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }}$$${\displaystyle P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatorname {sgn} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }\right)\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }}$$

يمكن تعميم هذه الصيغة على الإسقاطات المتعامدة على فضاء جزئي ذي بعد عشوائي . ليكن أساسًا متعامدًا للفضاء الجزئي ، مع افتراض أن العدد الصحيح ، وليكن المصفوفة التي تكون أعمدتها ، أي، . ثم يُعطى الإسقاط بواسطة: ^[5] والذي يمكن إعادة كتابته على النحو التالي ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}}$ $${\displaystyle P_{A}=AA^{\mathsf {T}}}$$$${\displaystyle P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.}$$

المصفوفة هي التماثل الجزئي الذي يختفي على المكمل المتعامد لـ ، و هو التماثل الذي يدمج في فضاء المتجه الأساسي. وبالتالي فإن نطاق هو الفضاء النهائي لـ . ومن الواضح أيضًا أن هو عامل الهوية على . ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle U}$

يمكن أيضًا إسقاط شرط المتعامدات الطبيعية. إذا كان أساسًا (ليس بالضرورة متعامدًا طبيعيًا) مع ، وكان المصفوفة مع هذه المتجهات كأعمدة، فإن الإسقاط يكون: ^{[6] [7]}${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}.}$$

تظل المصفوفة مدمجة في مساحة المتجه الأساسية ولكنها لم تعد قياسًا متساويًا بشكل عام. المصفوفة هي "عامل تطبيع" يستعيد المعيار. على سبيل المثال، لا يكون عامل الرتبة -1 إسقاطًا إذا حصلنا بعد القسمة على الإسقاط على الفضاء الفرعي الممتد بواسطة . ${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},}$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle u}$

في الحالة العامة، يمكن أن يكون لدينا مصفوفة محددة موجبة تعسفية تحدد حاصل ضرب داخلي ، ويتم تحديد الإسقاط بواسطة . ثم ${\displaystyle D}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx}$${\displaystyle P_{A}}$${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}$$${\displaystyle P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}DA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}D.}$$

عندما يتم إنشاء مساحة نطاق الإسقاط بواسطة إطار (أي أن عدد المولدات أكبر من أبعاده)، فإن صيغة الإسقاط تأخذ الشكل: . هنا يرمز إلى شبه معكوس مور-بينروز . هذه مجرد واحدة من العديد من الطرق لإنشاء عامل الإسقاط. ${\displaystyle P_{A}=AA^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$

إذا كانت مصفوفة غير مفردة و (أي، هي مصفوفة الفضاء الصفري لـ )، ^[8] فإن ما يلي ينطبق: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}B=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}A&O\\O&B^{\mathsf {T}}B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\[4pt]&=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$$

إذا تم تعزيز الشرط المتعامد إلى غير المفرد، ينطبق ما يلي: ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\\\left(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}W.}$$

تنطبق كل هذه الصيغ أيضًا على مساحات الضرب الداخلية المعقدة، بشرط استخدام النقل المترافق بدلاً من النقل. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل حول مجموعات المسقطات في Banerjee and Roy (2014). ^[9] انظر أيضًا Banerjee (2004) ^[10] لتطبيق مجموعات المسقطات في علم المثلثات الكروي الأساسي .

يُستخدم مصطلح الإسقاطات المائلة أحيانًا للإشارة إلى الإسقاطات غير المتعامدة. تُستخدم هذه الإسقاطات أيضًا لتمثيل الأشكال المكانية في الرسومات ثنائية الأبعاد (انظر الإسقاط المائل )، وإن لم يكن ذلك بنفس تواتر الإسقاطات المتعامدة. في حين أن حساب القيمة الملائمة لانحدار المربعات الصغرى العادي يتطلب إسقاطًا متعامدًا، فإن حساب القيمة الملائمة لانحدار المتغيرات الآلية يتطلب إسقاطًا مائلًا.

يتم تعريف الإسقاط من خلال النواة والمتجهات الأساسية المستخدمة لوصف نطاقه (والتي تعد مكملة للنواة). عندما تكون متجهات الأساس هذه متعامدة مع النواة، فإن الإسقاط يكون إسقاطًا متعامدًا. عندما لا تكون متجهات الأساس هذه متعامدة مع النواة، فإن الإسقاط يكون إسقاطًا مائلًا، أو مجرد إسقاط.

ليكن عامل خطي بحيث و افترض أن ليس عامل صفر. ليكن المتجهات أساسًا لنطاق ، و جمع هذه المتجهات في المصفوفة . ثم ، وإلا و هو عامل صفر. المدى والنواة فضاءان متكاملان، لذا فإن النواة لها بعد . ويترتب على ذلك أن المكمل المتعامد للنواة له بعد . ليكن أساسًا للمكمل المتعامد لنواة الإسقاط، و جمع هذه المتجهات في المصفوفة . ثم يكون الإسقاط (مع الشرط ) معطى بواسطة ${\displaystyle P\colon V\to V}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k\geq 1}$$${\displaystyle P=A\left(B^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}.}$$

يعمم هذا التعبير صيغة الإسقاطات المتعامدة الموضحة أعلاه. ^{[11] [12]} والدليل القياسي لهذا التعبير هو ما يلي. بالنسبة لأي متجه في فضاء المتجه ، يمكننا تحليل ، حيث يكون المتجه في صورة ، والمتجه وبالتالي ، ثم يكون في نواة ، وهو الفضاء الصفري لـ وبعبارة أخرى، يكون المتجه في فضاء العمود لـ لذلك بالنسبة لبعض متجهات الأبعاد ويلبي المتجه من خلال إنشاء . ضع هذه الشروط معًا، وسنجد متجهًا بحيث يكون . نظرًا لأن المصفوفات و ذات رتبة كاملة من خلال بنائها، فإن المصفوفة - قابلة للعكس. لذا فإن المعادلة تعطي المتجه بهذه الطريقة، لأي متجه وبالتالي . ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} ).}$${\displaystyle P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}A}$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {w} =(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} .}$${\displaystyle P\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} =A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$${\displaystyle P=A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}}$

في حالة أن يكون إسقاطًا متعامدًا، يمكننا أن نأخذ ، ويترتب على ذلك أن . باستخدام هذه الصيغة، يمكن للمرء بسهولة التحقق من أن . بشكل عام، إذا كانت مساحة المتجه فوق حقل عدد مركب، فيمكن للمرء بعد ذلك استخدام النقل الهيرميتي ويكون له الصيغة . تذكر أنه يمكن للمرء التعبير عن معكوس مور-بينروز للمصفوفة بواسطة بما أن لها رتبة عمود كاملة، لذا . ${\displaystyle P}$${\displaystyle A=B}$${\displaystyle P=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle P=P^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P=AA^{+}}$

${\displaystyle I-P}$هو أيضًا إسقاط مائل. يمكن حساب القيم المفردة لـ و بواسطة أساس متعامد عمودي لـ . دع يكون أساس متعامد عمودي لـ ودع يكون المكمل المتعامد لـ . نرمز للقيم المفردة للمصفوفة بالقيم الموجبة . وبهذا تكون القيم المفردة لـ هي: ^[13] والقيم المفردة لـ هي وهذا يعني أن أكبر القيم المفردة لـ و متساويتان، وبالتالي فإن معيار المصفوفة للإسقاطات المائلة هو نفسه. ومع ذلك، فإن رقم الشرط يلبي العلاقة ، وبالتالي فهو ليس بالضرورة متساويًا. ${\displaystyle P}$${\displaystyle I-P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q_{A}^{\perp }}$${\displaystyle Q_{A}}$${\displaystyle Q_{A}^{T}A(B^{T}A)^{-1}B^{T}Q_{A}^{\perp }}$${\displaystyle \gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}}$${\displaystyle P}$ $${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle I-P}$$${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\1&k+1\leq i\leq n-k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle I-P}$${\displaystyle \kappa (I-P)={\frac {\sigma _{1}}{1}}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (P)}$

ليكن فضاء متجه (في هذه الحالة مستوى) يمتد بواسطة متجهات متعامدة . ليكن متجهًا. يمكن تعريف إسقاط على على أنه حيث يتم جمع المؤشرات المتكررة ( ترميز مجموع أينشتاين ). يمكن كتابة المتجه كمجموع متعامد بحيث . يُشار إليه أحيانًا باسم . هناك نظرية في الجبر الخطي تنص على أن هذه هي أصغر مسافة ( المسافة المتعامدة ) من إلى وتُستخدم عادةً في مجالات مثل التعلم الآلي . ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle V}$

أي إسقاط على فضاء متجه ذي بعد على حقل هو مصفوفة قابلة للتقسيم قطريًا ، حيث ينقسم الحد الأدنى متعدد الحدود الخاص به ، والذي ينقسم إلى عوامل خطية مميزة. وبالتالي يوجد أساس له الشكل ${\displaystyle P=P^{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x^{2}-x}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=I_{r}\oplus 0_{d-r}}$

حيث رتبة . هنا مصفوفة الهوية ذات الحجم ، هي مصفوفة الصفر ذات الحجم ، و هي عامل المجموع المباشر . إذا كانت فضاء المتجه معقدًا ومجهزًا بضرب داخلي ، فهناك أساس متعامد عمودي تكون فيه مصفوفة P هي [ ^14]${\displaystyle r}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0_{d-r}}$${\displaystyle d-r}$${\displaystyle \oplus }$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.}$

حيث . يتم تحديد الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية بشكل فريد. . يتوافق العامل مع الفضاء الفرعي الثابت الأقصى الذي يعمل كإسقاط متعامد (بحيث يكون P نفسه متعامدًا إذا وفقط إذا ) وتتوافق الكتل - مع المكونات المائلة . ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0}$ ${\displaystyle k,s,m}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle 2k+s+m=d}$${\displaystyle I_{m}\oplus 0_{s}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

عندما تكون مساحة المتجه الأساسية عبارة عن مساحة متجهية معيارية (ليست بالضرورة ذات أبعاد محدودة) ، فيجب النظر في الأسئلة التحليلية غير ذات الصلة في حالة الأبعاد المحدودة. افترض الآن أنها مساحة باناخ . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

لقد نجت العديد من النتائج الجبرية التي تمت مناقشتها أعلاه من المرور إلى هذا السياق. لا يزال تحلل مجموع مباشر معين لـ إلى فضاءات فرعية تكميلية يحدد إسقاطًا، والعكس صحيح. إذا كان المجموع المباشر ، فإن المشغل المحدد بواسطة لا يزال إسقاطًا بمدى ونواة . ومن الواضح أيضًا أن . وعلى العكس من ذلك، إذا كان إسقاطًا على ، أي ، فمن السهل التحقق من أن . بعبارة أخرى، هو أيضًا إسقاط. تشير العلاقة إلى و هو المجموع المباشر . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=U\oplus V}$${\displaystyle P(u+v)=u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle (1-P)^{2}=(1-P)}$${\displaystyle 1-P}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle 1=P+(1-P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)}$

ومع ذلك، وعلى النقيض من حالة الأبعاد المحدودة، لا يلزم أن تكون الإسقاطات متصلة بشكل عام. إذا لم تكن فضاء فرعي مغلقًا في طوبولوجيا القاعدة، فإن الإسقاط على ليس متصلًا. بعبارة أخرى، يجب أن يكون نطاق الإسقاط المستمر فضاءً فرعيًا مغلقًا. علاوة على ذلك، فإن نواة الإسقاط المستمر (في الواقع، عامل خطي مستمر بشكل عام) مغلقة. وبالتالي فإن الإسقاط المستمر يعطي تحللًا لـ إلى فضاءين فرعيين مغلقين متكاملين : . ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)}$

والعكس صحيح أيضًا، مع افتراض إضافي. افترض أن فضاءً فرعيًا مغلقًا لـ . إذا كان هناك فضاء فرعي مغلق بحيث يكون X = U ⊕ V ، فإن الإسقاط ذو المدى والنواة يكون مستمرًا. يتبع هذا من نظرية الرسم البياني المغلق . افترض أن x _n → x و Px _n → y . يحتاج المرء إلى إظهار أن . بما أن مغلق و { Px _n } ⊂ U ، فإن y تقع في ، أي Py = y . أيضًا، x _n − Px _n = ( I − P ) x _n → x − y . ولأن مغلق و {( I − P ) x _n } ⊂ V ، لدينا ، أي ، مما يثبت الادعاء. ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Px=y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x-y\in V}$${\displaystyle P(x-y)=Px-Py=Px-y=0}$

الحجة أعلاه تستخدم الافتراض بأن كلاً من و مغلقان. بشكل عام، في حالة وجود فضاء مغلق ، لا يلزم وجود فضاء مغلق مكمل ، على الرغم من أنه بالنسبة لفضاء هيلبرت يمكن القيام بذلك دائمًا عن طريق أخذ المكمل المتعامد . بالنسبة لفضاءات باناخ، يكون للفضاء أحادي البعد دائمًا فضاء مكمل مغلق. هذه نتيجة مباشرة لنظرية هان-باناخ . ليكن المدى الخطي لـ . وفقًا لنظرية هان-باناخ، توجد دالة خطية محدودة بحيث φ ( u ) = 1. يفي المشغل بـ ، أي أنه إسقاط. تعني حدودية استمرارية وبالتالي فهي فضاء مكمل مغلق لـ . ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P(x)=\varphi (x)u}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)}$${\displaystyle U}$

تلعب الإسقاطات (المتعامدة وغيرها) دورًا رئيسيًا في الخوارزميات الخاصة ببعض مشاكل الجبر الخطي:

• تحلل QR (انظر تحويل هاوسهولدر وتحلل جرام-شميدت )؛
• تحليل القيمة المفردة
• الاختزال إلى صيغة هيسنبرج (الخطوة الأولى في العديد من خوارزميات القيمة الذاتية )
• الانحدار الخطي
• تُستخدم العناصر الإسقاطية لجبر المصفوفات في بناء مجموعات K معينة في نظرية المشغل K

كما ذكر أعلاه، فإن الإسقاطات هي حالة خاصة من الإسقاطات الأيدموتاتية. من الناحية التحليلية، الإسقاطات المتعامدة هي تعميمات غير تبادلية للوظائف المميزة . تُستخدم الإسقاطات الأيدموتاتية في تصنيف، على سبيل المثال، الجبر شبه البسيط ، بينما تبدأ نظرية القياس بالنظر في الوظائف المميزة للمجموعات القابلة للقياس . لذلك، وكما يمكن للمرء أن يتخيل، غالبًا ما نصادف الإسقاطات في سياق جبر المشغل . على وجه الخصوص، يتم إنشاء جبر فون نيومان من خلال شبكته الكاملة من الإسقاطات.

بشكل عام، بالنظر إلى خريطة بين فضاءات متجهية معيارية، يمكننا أن نطلب بشكل مماثل أن تكون هذه الخريطة تماثلية القياس على المكمل المتعامد للنواة: أي أن تكون تماثلية القياس (قارن تماثلية القياس الجزئي )؛ وبشكل خاص يجب أن تكون على . حالة الإسقاط المتعامد هي عندما تكون W فضاءً فرعيًا لـ V. في الهندسة الريمانية ، يُستخدم هذا في تعريف الغمر الريماني . ${\displaystyle T\colon V\to W,}$${\displaystyle (\ker T)^{\perp }\to W}$

• مصفوفة التمركز ، وهي مثال لمصفوفة الإسقاط.
• خوارزمية إسقاط دايكسترا لحساب الإسقاط على تقاطع المجموعات
• فضاء فرعي ثابت
• التحليل الطيفي لأقل المربعات
• تقويم عمودي
• خصائص الأثر

• بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاءات ، نصوص في العلوم الإحصائية (الطبعة الأولى)، تشابمان وهول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1420095388
• دنفورد، ن.؛ شوارتز، جيه تي (1958). المشغلات الخطية، الجزء الأول: النظرية العامة . إنترساينس.
• ماير، كارل د. (2000). تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي. جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. رقم ISBN 978-0-89871-454-8.
• بريزينسكي، كلود: طرق الإسقاط لأنظمة المعادلات ، شمال هولندا، ISBN 0-444-82777-3 (1997).

• محاضرة MIT Linear Algebra حول مصفوفات الإسقاط على YouTube ، من MIT OpenCourseWare
• الجبر الخطي 15د: تحويل الإسقاط على اليوتيوب ، بقلم بافيل جرينفيلد .
• برنامج تعليمي حول الإسقاطات الهندسية المستوية – برنامج تعليمي سهل المتابعة يشرح الأنواع المختلفة من الإسقاطات الهندسية المستوية.