توزيعات t المطوية ونصف t

في الإحصاء، يُشتق توزيعا t المطوي ونصف t من توزيع t للطالب عن طريق أخذ القيم المطلقة للمتغيرات. وهذا مماثل لاشتقاق التوزيعين الإحصائيين الطبيعي المطوي ونصف الطبيعي من التوزيع الطبيعي .

التوزيع t غير المعياري المطوي هو توزيع القيمة المطلقة للتوزيع t غير المعياري مع${\displaystyle \nu }$درجات الحرية؛ دالة كثافة الاحتمال الخاصة بها معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left\lbrace \left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}+\left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\right\rbrace \qquad (لـ x ≥ 0)$.

ينتج توزيع نصف t كحالة خاصة من${\displaystyle \mu =0}$والنسخة الموحدة كحالة خاصة من${\displaystyle \sigma =1}$.

لو${\displaystyle \mu =0}$يختزل توزيع t المطوي إلى الحالة الخاصة لتوزيع t النصفي . ثم تتبسط دالة كثافة الاحتمال الخاصة به إلى

${\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {2\;\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)}$.

يتم إعطاء أول عزمين لتوزيع نصف t ( التوقع والتباين ⁾ بواسطة: [ ^{1 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X]\;=\;2\sigma {\sqrt {\frac {\nu }{\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu -1)}}\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >1}$،

و

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\;=\;\sigma ^{2}\left({\frac {\nu }{\nu -2}}-{\frac {4\nu }{\pi (\nu -1)^{2}}}\left({\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\right)^{2}\right)\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >2}$.

تُعمم توزيعات t المطوية ونصف t توزيعات التوزيع الطبيعي المطوي ونصف التوزيع الطبيعي من خلال السماح بدرجات حرية محدودة ( تشكل التوزيعات الطبيعية المماثلة الحالات الحدية لدرجات الحرية غير المحدودة). وبما أن توزيع كوشي يمثل حالة خاصة من توزيع Student- t بدرجة حرية واحدة، فإن عائلات توزيعات t المطوية ونصف t تشمل توزيع كوشي المطوي وتوزيعات كوشي النصفية لـ${\displaystyle \nu =1}$.

• التوزيع الطبيعي المطوي
• التوزيع نصف الطبيعي
• التوزيع الطبيعي النصفي المعدل
• التوزيع اللوجستي الجزئي

• بساراكيس، س.؛ باناريتوس، ج. (1990). "توزيع t المطوي". الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب . 19 (7): 2717-2734 . doi : 10.1080/03610929008830342 . S2CID 121332770 . 
• جيلمان، أ. (2006). "التوزيعات المسبقة لمعلمات التباين في النماذج الهرمية" . التحليل البايزي . 1 (3): 515-534 . doi : 10.1214/06-BA117A .
• روفر، سي.؛ بيندر، ر.؛ دياس، س.؛ شميد، سي إتش؛ شميدلي، إتش.؛ ستورتز، س.؛ ويبر، س.؛ فريد، ت. (2021)، "حول التوزيعات الاحتمالية المسبقة ذات المعلومات الضعيفة لمعامل عدم التجانس في التحليل التلوي ذي التأثيرات العشوائية البايزية"، أساليب توليف البحوث ، 12 (4): 448-474 ، arXiv : 2007.08352 ، doi : 10.1002/jrsm.1475 ، PMID 33486828 ، S2CID 220546288  
• وايبر، إم بي؛ جيرون، إف جيه؛ بيوسي، آرثر (2008). "الاستدلال البايزي الموضوعي لتوزيعات نصف الطبيعي ونصف تي". الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب . 37 (20): 3165-3185 . doi : 10.1080/03610920802105184 . S2CID 117937250 . 
• تانكريدي، أ. (2002). "محاسبة ذيول الثقيلة في نماذج الحدود العشوائية" . ورقة عمل (7325). جامعة الدراسات في بادوفا.{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=

• تتوفر دوال لتقييم توزيعات نصف t في العديد من حزم R ، على سبيل المثال.