لحظة (رياضيات)

في الرياضيات ، تعتبر لحظات الدالة مقاييس كمية معينة تتعلق بشكل رسم الدالة . إذا كانت الدالة تمثل كثافة الكتلة، فإن اللحظة الصفرية هي الكتلة الكلية، واللحظة الأولى (الموحدة بالكتلة الكلية) هي مركز الكتلة ، واللحظة الثانية هي عزم القصور الذاتي . إذا كانت الدالة عبارة عن توزيع احتمالي ، فإن اللحظة الأولى هي القيمة المتوقعة ، واللحظة المركزية الثانية هي التباين ، واللحظة المعيارية الثالثة هي الانحراف ، واللحظة المعيارية الرابعة هي التجانف .

بالنسبة لتوزيع الكتلة أو الاحتمالية على فترة محدودة ، فإن مجموعة كل اللحظات (من كل الرتب، من 0 إلى ∞ ) تحدد التوزيع بشكل فريد ( مشكلة لحظات هاوسدورف ). لا ينطبق الشيء نفسه على الفواصل غير المحدودة ( مشكلة لحظات هامبورغر ).

في منتصف القرن التاسع عشر، أصبح بافنوتي تشيبيشيف أول شخص يفكر بشكل منهجي من حيث لحظات المتغيرات العشوائية . ^[1]

يتم تعريف العزم الخام رقم n (أي العزم حول الصفر) لمتغير عشوائي ذي دالة كثافة بواسطة [ 2 ] العزم ^رقم n لمتغير عشوائي مستمر ذي قيمة حقيقية ذي دالة كثافة حول قيمة هو التكامل${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

من الممكن تعريف اللحظات للمتغيرات العشوائية بطريقة أكثر عمومية من اللحظات للوظائف ذات القيمة الحقيقية - انظر اللحظات في المساحات المترية. عادةً ما يشير عزم الدالة، دون مزيد من التوضيح، إلى التعبير أعلاه مع . بالنسبة لللحظات الثانية والأعلى، عادةً ما يتم استخدام اللحظة المركزية (اللحظات حول المتوسط، حيث c هو المتوسط) بدلاً من اللحظات حول الصفر، لأنها توفر معلومات أكثر وضوحًا حول شكل التوزيع. ${\displaystyle c=0}$

يمكن أيضًا تعريف لحظات أخرى. على سبيل المثال، العزم العكسي رقم n حول الصفر هو والعزم اللوغاريتمي رقم n حول الصفر هو${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

اللحظة n حول الصفر لدالة كثافة الاحتمال هي القيمة المتوقعة لـ وتسمى لحظة خام أو لحظة خام . ^[3] تسمى اللحظات حول متوسطها اللحظات المركزية ؛ وهي تصف شكل الدالة، بغض النظر عن الترجمة . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle \mu }$

إذا كانت دالة كثافة احتمالية ، فإن قيمة التكامل أعلاه تسمى اللحظة n لتوزيع الاحتمالات . وبشكل عام، إذا كانت F دالة توزيع احتمالية تراكمية لأي توزيع احتمالي، والذي قد لا يكون له دالة كثافة، فإن اللحظة n لتوزيع الاحتمالات تُعطى بواسطة تكامل ريمان-ستيلجيس حيث X هو متغير عشوائي له هذا التوزيع التراكمي F ، و E هو عامل التوقع أو المتوسط. عندما يقال إن اللحظة غير موجودة. إذا كانت اللحظة n حول أي نقطة موجودة، فإن اللحظة ( n − 1) موجودة أيضًا (وبالتالي، جميع اللحظات ذات الدرجة الأدنى) حول كل نقطة. اللحظة الصفرية لأي دالة كثافة احتمالية هي 1، لأن المساحة تحت أي دالة كثافة احتمالية يجب أن تساوي واحدًا. ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}$$$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }$$

أهمية اللحظات (الخام، المركزية، القياسية) والمتراكمات (الخام، القياسية)، فيما يتعلق بالخصائص المسماة للتوزيعات

لحظة ترتيبية	لحظة			تراكمي
	خام	مركزي	موحد	خام	مُطَبَّع
1	يقصد	0	0	يقصد	—
2	-	التباين	1	التباين	1
3	-	-	الانحراف	-	الانحراف
4	-	-	( التجانف غير الزائد أو التاريخي)	-	زيادة التجانف
5	-	-	فرط الانحراف	-	-
6	-	-	الذيل المفرط	-	-
7+	-	-	-	-	-

العزم المركزي الموحد أو العزم الموحد هو العزم المركزي الموحد مقسومًا على σ ⁿ ؛ العزم المركزي الموحد للمتغير العشوائي X هو$${\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.}$$

هذه اللحظات المركزية الطبيعية هي كميات بلا أبعاد ، والتي تمثل التوزيع بشكل مستقل عن أي تغيير خطي في المقياس.

اللحظة الخام الأولى هي المتوسط ، وعادة ما يشار إليها${\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X].}$

اللحظة المركزية الثانية هي التباين . الجذر التربيعي الموجب للتباين هو الانحراف المعياري ${\displaystyle \sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.}$

اللحظة المركزية الثالثة هي مقياس عدم توازن التوزيع؛ أي توزيع متماثل سيكون له لحظة مركزية ثالثة، إذا تم تعريفها، تساوي صفرًا. تسمى اللحظة المركزية الثالثة الطبيعية الانحراف ، وغالبًا ما تكون γ . سيكون للتوزيع المائل إلى اليسار (ذيل التوزيع أطول على اليسار) انحراف سلبي. سيكون للتوزيع المائل إلى اليمين (ذيل التوزيع أطول على اليمين) انحراف موجب.

بالنسبة للتوزيعات التي لا تختلف كثيرًا عن التوزيع الطبيعي ، سيكون المتوسط ​​في مكان ما بالقرب من μ − γσ /6 ؛ والوضع حوالي μ − γσ /2 .

العزم المركزي الرابع هو مقياس لثقل ذيل التوزيع. وبما أنه توقع قوة رابعة، فإن العزم المركزي الرابع، حيث يتم تعريفه، يكون دائمًا غير سلبي؛ وباستثناء توزيع النقاط ، يكون دائمًا موجبًا تمامًا. العزم المركزي الرابع للتوزيع الطبيعي هو 3 σ ⁴ .

يتم تعريف التجانف κ بأنه اللحظة المركزية الرابعة القياسية. (على نحو مكافئ، كما هو الحال في القسم التالي، فإن التجانف الزائد هو المتراكم الرابع مقسومًا على مربع المتراكم الثاني .) ^{[4] [5]} إذا كان التوزيع يحتوي على ذيول ثقيلة، فسيكون التجانف مرتفعًا (يُطلق عليه أحيانًا اسم leptokurtic)؛ وعلى العكس من ذلك، فإن التوزيعات ذات الذيل الخفيف (على سبيل المثال، التوزيعات المحدودة مثل التوزيع الموحد) لها تجانف منخفض (يُطلق عليه أحيانًا اسم platykurtic).

يمكن أن يكون التجانف موجبًا بدون حد، ولكن يجب أن تكون κ أكبر من أو تساوي γ ² + 1 ؛ وتنطبق المساواة فقط على التوزيعات الثنائية . بالنسبة للتوزيعات المائلة غير المحدودة التي ليست بعيدة جدًا عن التوزيع الطبيعي، تميل κ إلى أن تكون في مكان ما في منطقة γ ² و 2 γ ² .

يمكن إثبات المتباينة من خلال النظر إلى حيث T = ( X − μ )/ σ . هذا هو توقع المربع، لذا فهو غير سلبي لجميع a ؛ ومع ذلك فهو أيضًا متعدد حدود تربيعي في a . يجب أن يكون مميزه غير موجب، مما يعطي العلاقة المطلوبة. $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]}$$

اللحظات ذات الترتيب العالي هي اللحظات التي تقع بعد اللحظات ذات الترتيب الرابع.

كما هو الحال مع التباين والانحراف والتجانف، فهذه إحصاءات من الدرجة الأعلى ، تتضمن مجموعات غير خطية من البيانات، ويمكن استخدامها لوصف أو تقدير معلمات الشكل الأخرى . وكلما زادت اللحظة، زادت صعوبة التقدير، بمعنى أن العينات الأكبر مطلوبة من أجل الحصول على تقديرات ذات جودة مماثلة. ويرجع هذا إلى درجات الحرية الزائدة التي تستهلكها الرتب الأعلى. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون دقيقة في التفسير، وغالبًا ما يتم فهمها بسهولة من حيث اللحظات ذات الدرجة الأدنى - قارن المشتقات ذات الدرجة الأعلى للرجة والارتداد في الفيزياء . على سبيل المثال، تمامًا كما يمكن تفسير اللحظة من الدرجة الرابعة (التجانف) على أنها "الأهمية النسبية للذيول مقارنة بالأكتاف في المساهمة في التشتت" (بالنسبة لكمية معينة من التشتت، فإن التجانف الأعلى يتوافق مع ذيول أكثر سمكًا، بينما يتوافق التجانف الأقل مع أكتاف أوسع)، يمكن تفسير اللحظة من الدرجة الخامسة على أنها تقيس "الأهمية النسبية للذيول مقارنة بالمركز ( الوضع والأكتاف) في المساهمة في الانحراف" (بالنسبة لكمية معينة من الانحراف، فإن اللحظة الخامسة الأعلى تتوافق مع انحراف أعلى في أجزاء الذيل وانحراف بسيط في الوضع، بينما تتوافق اللحظة الخامسة المنخفضة مع انحراف أكبر في الأكتاف).

اللحظات المختلطة هي اللحظات التي تنطوي على متغيرات متعددة.

القيمة تسمى لحظة الترتيب (يتم تعريف اللحظات أيضًا لغير التكاملات ). يتم تعريف لحظات التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائية على نحو مماثل. بالنسبة لأي أعداد صحيحة ، يسمى التوقع الرياضي لحظة ترتيب مختلطة (حيث )، ويسمى لحظة ترتيب مختلطة مركزية . تسمى اللحظة المختلطة التغاير وهي إحدى الخصائص الأساسية للتبعية بين المتغيرات العشوائية. ${\displaystyle E[X^{k}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$${\displaystyle k_{i}\geq 0}$${\displaystyle E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=k_{1}+...+k_{n}}$${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]}$

بعض الأمثلة هي التباين والالتواء والتجانف . في حين أن هناك تباينًا فريدًا ، إلا أن هناك العديد من حالات الانحراف والتجانف المشترك.

نظرًا لأن حيث هو معامل ثنائي الحدين ، فإنه يتبع ذلك أنه يمكن حساب العزوم حول b من العزوم حول a بواسطة: $${\displaystyle (x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}}$$${\textstyle {\binom {n}{i}}}$$${\displaystyle E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.}$$

تقرأ اللحظة الخام للالتواء حيث تشير إلى اللحظة - للدالة المعطاة بين قوسين. تتبع هذه المطابقة نظرية الالتواء لدالة توليد اللحظة وتطبيق قاعدة السلسلة لتمييز حاصل الضرب. ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle \mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]}$$${\displaystyle \mu _{n}[\,\cdot \,]}$${\displaystyle n}$

اللحظة الخام الأولى واللحظتان المركزيتان غير الطبيعيتين الثانية والثالثة مضافة بمعنى أنه إذا كان X و Y متغيرين عشوائيين مستقلين ،$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$$

(يمكن أن تنطبق هذه القاعدة أيضًا على المتغيرات التي تلبي شروطًا أضعف من الاستقلال. ينطبق الشرط الأول دائمًا؛ وإذا ينطبق الشرط الثاني، تسمى المتغيرات غير مرتبطة ).

في الواقع، هذه هي المركبات التراكمية الثلاثة الأولى وجميع المركبات التراكمية تشترك في خاصية الإضافة هذه.

بالنسبة لجميع k ، يمكن تقدير اللحظة الخام k للسكان باستخدام اللحظة الخام k للعينة المطبقة على عينة X ₁ ، ...، X _n مأخوذة من السكان. $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$$

يمكن إثبات أن القيمة المتوقعة لعزم العينة الخام تساوي العزم الخام k للسكان، إذا كان هذا العزم موجودًا، لأي حجم عينة n . وبالتالي فهو مقدر غير متحيز. وهذا يتناقض مع الموقف بالنسبة للعزمات المركزية، التي يستخدم حسابها درجة من الحرية باستخدام متوسط ​​العينة. لذلك على سبيل المثال، يتم إعطاء تقدير غير متحيز لتباين السكان (العزم المركزي الثاني) بواسطة حيث تم استبدال المقام السابق n بدرجات الحرية n − 1 ، و حيث يشير إلى متوسط ​​العينة. يكون هذا التقدير لعزم السكان أكبر من عزم العينة المرصود غير المعدل بعامل ويشار إليه باسم "تباين العينة المعدل" أو في بعض الأحيان ببساطة "تباين العينة". $${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$

تُسمى مشاكل تحديد توزيع الاحتمالات من تسلسل لحظاته بمشكلة اللحظات . وقد ناقش PL Chebyshev (1874) ^[6] هذه المشاكل لأول مرة فيما يتعلق بالبحث في نظريات الحد. من أجل تحديد توزيع احتمالات متغير عشوائي بشكل فريد من خلال لحظاته ، يكفي، على سبيل المثال، تلبية شرط كارلمان: تنطبق نتيجة مماثلة حتى على لحظات المتجهات العشوائية. تسعى مشكلة اللحظات إلى تحديد خصائص التسلسلات التي هي تسلسلات من لحظات بعض الوظائف f، والتي تكون جميع لحظاتها منتهية، ولكل عدد صحيح دع حيث يكون منتهيًا. ثم يوجد تسلسل يتقارب بشكل ضعيف إلى دالة توزيع لها لحظاتها. إذا تم تحديد اللحظات بشكل فريد، فإن التسلسل يتقارب بشكل ضعيف إلى . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty }$$${\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}$${\displaystyle \alpha _{k}(n)}$${\displaystyle k\geq 1}$$${\displaystyle \alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,}$$${\displaystyle \alpha _{k}}$${\displaystyle {\mu _{n}}'}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{k}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mu _{n}}'}$${\displaystyle \mu }$

يشار أحيانًا إلى اللحظات الجزئية باسم "اللحظات أحادية الجانب". يمكن التعبير عن اللحظات الجزئية الدنيا والعليا من الدرجة n فيما يتعلق بنقطة مرجعية r على النحو التالي:

$${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

إذا لم تتقارب الدالة التكاملية، فإن اللحظة الجزئية غير موجودة.

يتم تطبيع اللحظات الجزئية عن طريق رفعها إلى القوة 1/ n . يمكن التعبير عن نسبة الإمكانات الصاعدة كنسبة من اللحظة الجزئية العلوية من الدرجة الأولى إلى اللحظة الجزئية السفلية الموحدة من الدرجة الثانية.

ليكن ( M , d ) فضاء متريًا ، وليكن B( M ) جبر Borel σ على M ، جبر σ الناتج عن المجموعات الفرعية المفتوحة d لـ M. ( لأسباب فنية، من المناسب أيضًا افتراض أن M فضاء قابل للفصل بالنسبة للمقياس d .) ليكن 1 ≤ p ≤ ∞ .

يتم تعريف العزم المركزي p للقياس μ على الفضاء القابل للقياس ( M , B( M )) حول نقطة معينة x ₀ ∈ M على أنه $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

يقال أن μ لها عزم مركزي محدود p إذا كان العزم المركزي p لـ μ حول x ₀ محدودًا لبعض x ₀ ∈ M.

ينطبق هذا المصطلح الخاص بالمقاييس على المتغيرات العشوائية بالطريقة المعتادة: إذا كانت (Ω, Σ, P ) عبارة عن فضاء احتمال و X  : Ω → M متغير عشوائي، فإن العزم المركزي p لـ X حول x ₀ ∈ M يُعرَّف بأنه ويكون لـ X عزم مركزي p محدود إذا كان العزم المركزي p لـ X حول x ₀ محدودًا لبعض x ₀ ∈ M.$${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}$$

• تم نسخ النص من Moment at the Encyclopedia of Mathematics، والذي تم إصداره بموجب ترخيص Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (Unported) (CC-BY-SA 3.0) ورخصة التوثيق الحرة GNU .

• سبانوس، أريس (1999). نظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 109-130. ISBN 0-521-42408-9.
• ووكر، هيلين م. (1929). دراسات في تاريخ الطريقة الإحصائية، مع إشارة خاصة إلى بعض المشكلات التعليمية. بالتيمور، شركة ويليامز وويلكينز، ص 71.

• "اللحظة"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• لحظات في Mathworld