ورقة ديكارت

في الهندسة ، يُعرف منحنى ديكارت ( من الكلمة اللاتينية folium التي تعني " ورقة " ) بأنه منحنى جبري يُعرَّف بالمعادلة الضمنية. ${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3ayx=0}$وقد سميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف رينيه ديكارت .

طُرح المنحنى لأول مرة ودُرِس عام 1638 على يد رينيه ديكارت، ^{[ 1 ]} الذي كان مهتمًا بتصنيف المنحنيات حسب درجات معادلاتها الجبرية. ^{[ 2 ] : 314} ويعود سبب شهرته إلى حادثة وقعت في تطور حساب التفاضل والتكامل . فقد تحدى ديكارت بيير دي فيرما لإيجاد المماس للمنحنى عند نقطة عشوائية، نظرًا لاكتشاف فيرما مؤخرًا طريقة لإيجاد المماسات. حلّ فيرما المسألة بسهولة، وهو ما عجز عنه ديكارت. ^{[ 3 ] : 101} ومنذ اختراع حساب التفاضل والتكامل، أصبح من السهل إيجاد ميل المماس باستخدام التفاضل الضمني . ^{[ 4 ] : ​​209-211}

يمكن التعبير عن ورقة ديكارت بالإحداثيات القطبية على النحو التالي:$${\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }},}$$وهو موضح في الرسم البياني على اليسار. وهذا يعادل ^{[ 4 ] : ​​687}

${\displaystyle r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta }{1+\tan ^{3}\theta }}.}$

وهناك أسلوب آخر وهو الكتابة${\displaystyle y=px}$وحل المعادلة التالية:${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$من ناحية${\displaystyle p}$وهذا ينتج عنه المعادلات البارامترية العقلانية : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}.}$

يمكننا أن نرى أن المعامل مرتبط بالموقع على المنحنى على النحو التالي:

• ${\displaystyle p<-1}$يتوافق مع${\displaystyle x>0}$،${\displaystyle y<0}$: الجناح الأيمن السفلي.
• ${\displaystyle -1<p<0}$يتوافق مع${\displaystyle x<0}$،${\displaystyle y>0}$: الجناح الأيسر العلوي.
• ${\displaystyle p>0}$يتوافق مع${\displaystyle x>0}$،${\displaystyle y>0}$: حلقة المنحنى.

يمكن اشتقاق طريقة أخرى لرسم الدالة من التناظر على${\displaystyle y=x}$يمكن ملاحظة التناظر مباشرةً من معادلتها (حيث يمكن تبديل قيمتي x و y). بتطبيق دوران بزاوية 45 درجة باتجاه عقارب الساعة، على سبيل المثال، يمكن رسم الدالة متناظرة حول محور x المُدار.

هذه العملية تعادل عملية استبدال:$${\displaystyle x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{uv} \over {\sqrt {2}}}}$$وينتج$${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}\,,\,u<3a/{\sqrt {2}}.}$$الرسم في النظام الديكارتي لـ${\displaystyle (u,v)}$يُعطي ذلك الورقة مُدارة بزاوية 45 درجة، وبالتالي متناظرة.${\displaystyle u}$-محور.

يشكل حلقة في الربع الأول بنقطة مزدوجة عند نقطة الأصل وله خط تقارب$${\displaystyle x+y=-a\,.}$$إنه متناظر حول الخط${\displaystyle y=x}$وبالتالي، يتقاطع المنحنى وهذا الخط عند نقطة الأصل وعند النقطة${\textstyle (3a/2,3a/2).}$

التفاضل الضمني يعطي صيغة ميل الخط المماس لهذا المنحنى لتكون ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}\,,}$

مع أعمدة${\textstyle x=y^{2}/a}$والقيمة 0 أو${\displaystyle \pm \infty }$في الأصل.

باستخدام أي من التمثيلات القطبية المذكورة أعلاه، وُجد أن مساحة الجزء الداخلي من الحلقة هي${\textstyle 3a^{2}/2}$علاوة على ذلك، فإن المنطقة الواقعة بين "جناحي" المنحنى وخطه المقارب المائل هي أيضًا${\textstyle 3a^{2}/2.}$^{[ 1 ]}

ترتبط ورقة ديكارت بمثلث ماكلورين عن طريق التحويل الأفيني . ولتوضيح ذلك، ابدأ بالمعادلة$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3a\cdot xy\,,}$$ثم تغيير المتغيرات لإيجاد المعادلة في نظام إحداثيات تم تدويره بزاوية 45 درجة. وهذا يعادل وضع

$${\displaystyle x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{XY} \over {\sqrt {2}}}.}$$في${\displaystyle X,Y}$معادلة الطائرة هي$${\displaystyle 2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2}).}$$

إذا قمنا بتمديد المنحنى في${\displaystyle Y}$الاتجاه بمعامل${\displaystyle {\sqrt {3}}}$يصبح هذا$${\displaystyle 2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2}),}$$وهي معادلة المثلث الثلاثي لماكلورين.

• لورانس، ج. دينيس (1972). فهرس المنحنيات المستوية الخاصة . نيويورك: منشورات دوفر. ص 106-108 . ISBN  978-0-486-60288-2.

• وايسشتاين، إريك دبليو. “فوليوم ديكارت” . عالم الرياضيات .
• "ورقة ديكارت" في فهرس المنحنيات الشهيرة من ماكتيوتور
• "ورقة ديكارتية" في ماث كيرف