تكسر المواد اللينة

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة

ينطوي كسر المواد اللينة على تشوهات كبيرة وتبلد في طرف الشق قبل انتشاره. ونتيجة لذلك، يختلف مجال الإجهاد بالقرب من طرف الشق اختلافًا كبيرًا عن الصيغة التقليدية المستخدمة في ميكانيكا الكسر المرنة الخطية . لذا، يتطلب تحليل الكسر في هذه التطبيقات عناية خاصة. [ 1 ] تعتمد ميكانيكا الكسر المرنة الخطية (LEFM) ومجال K (انظر ميكانيكا الكسر ) على افتراض التشوه المتناهي الصغر، وبالتالي فهما غير مناسبين لوصف كسر المواد اللينة. مع ذلك، يمكن تطبيق النهج العام لميكانيكا الكسر المرنة الخطية لفهم أساسيات الكسر في المواد اللينة. يأخذ حل التشوه ومجال إجهاد الشق في المواد اللينة في الاعتبار التشوه الكبير، وهو مستمد من إطار المرونة الساكنة للإجهاد المحدود ونماذج المواد فائقة المرونة.

تتكون المواد اللينة من نوع من المواد يشمل، على سبيل المثال، الأنسجة البيولوجية الرخوة بالإضافة إلى المطاط الصناعي، وهي حساسة للغاية للتغيرات الحرارية. ولذلك، يمكن أن تتعرض المواد اللينة لتشوه كبير قبل انتشار الشقوق. [ 2 ]

نماذج المواد فائقة المرونة

تُستخدم نماذج المواد فائقة المرونة للحصول على علاقة الإجهاد والانفعال من خلال دالة كثافة طاقة الانفعال. ومن النماذج ذات الصلة لاستخلاص علاقات الإجهاد والانفعال للمواد اللينة: نموذج موني-ريفلين الصلب ، ونموذج نيو-هوكيان ، ونموذج المواد ذات التصلب الأسي، ونموذج جنت فائق المرونة . في هذه الصفحة، ستُستخلص النتائج بشكل أساسي من نموذج نيو-هوكيان.

النيو-هوكي المعمم (GNH)

تم تعميم نموذج نيو-هوكيان ليشمل عامل التصلب:

دبليو=μ2ب{[1+بن(أنا-3)]ن-1}،{\displaystyle W={\frac {\mu }{2b}}\left\{\left[1+{\frac {b}{n}}(I-3)\right]^{n}-1\right\},}

حيث b>0 و n>1/2 هما معاملان للمادة، وأنا=أنا1{\displaystyle I=I_{1}}هو الثابت الأول لموتر تشوه كوشي-جرين:

أنا1=λ12+λ22+λ32،{\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},}

أينλα{\displaystyle \lambda _{\alpha }}وهي الامتدادات الرئيسية.

نموذج نيو-هوكي محدد

بوضع n=1، يتم اشتقاق دالة الإجهاد والانفعال الخاصة بنموذج نيو-هوكيان :

دبليو=μ2(أنا-3){\displaystyle W={\frac {\mu }{2}}(I-3)}.

حلول طرف الشق في حالة الإجهاد المحدود (تحت تأثير التشوه الكبير)

الشكل 1: صياغة مشكلة الشق. (أ) شق غير مشوه بإحداثيات (x1،x2{\displaystyle x_{1},x_{2}}) في الأساس الديكارتي و (ر،θ{\displaystyle r,\theta }(أ) في الأساس القطبي. (ب) يكون الشق تحت حالة إجهاد مستوٍ مع حمل أحادي المحور، والإحداثيات هي (y1،y2{\displaystyle y_{1},y_{2}}) في الأساس الديكارتي و (ρ،ϕ{\displaystyle \rho ,\phi }) في الأساس القطبي. مقتبس من لونغ وهوي [4].

بما أن طريقة ميكانيكا الكسر المرنة الخطية (LEFM) لم تعد قابلة للتطبيق، فقد تم اعتماد طرق بديلة لرصد التشوهات الكبيرة في حساب مجالات الإجهاد والتشوه. وفي هذا السياق، تُعد طريقة التحليل التقاربي ذات أهمية.

طريقة التحليل التقاربي

تتألف طريقة التحليل التقاربي من تحليل طرف الشق تقاربياً لإيجاد متسلسلة توسيع للإحداثيات المشوهة قادرة على وصف الحل بالقرب من طرف الشق. ويمكن اختزال هذا التحليل إلى مسألة قيم ذاتية غير خطية. [ 3 ]

تُصاغ المسألة بناءً على وجود صدع في جسم صلب لانهائي، مُحمّل عند اللانهاية بشد أحادي المحور منتظم في حالة إجهاد مستوٍ (انظر الشكل 1). ومع تشوه الصدع وانتشاره، تُمثل الإحداثيات في التكوين الحالي بـ y1{\displaystyle y_{1}}وy2{\displaystyle y_{2}}في الأساس الديكارتي وρ{\displaystyle \rho }وϕ{\displaystyle \phi }في الأساس القطبي. الإحداثياتy1{\displaystyle y_{1}}وy2{\displaystyle y_{2}}هي دوال للإحداثيات غير المشوهة (ر،θ{\displaystyle r,\theta }ويمكن تحديد ) وبالقرب من طرف الشق، عندما r→0، على النحو التالي:

yα(ر،θ)=رمαυα(θ)+رصαqα(θ)+...{\displaystyle y_{\alpha }(r,\theta )=r^{m_{\alpha }}\upsilon _{\alpha }(\theta )+r^{p_{\alpha }}q_{\alpha }(\theta )+...}
مα<صα،{\displaystyle m_{\alpha }<p_{\alpha },}α=1،2،{\displaystyle \alpha =1,2,}

أينمα{\displaystyle m_{\alpha }}،صα{\displaystyle p_{\alpha }}هي أسس مجهولة، وυα(θ){\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}، qα(θ){\displaystyle q_{\alpha }(\theta )}هي دوال غير معروفة تصف التغير الزاوي.

للحصول على القيم الذاتية، تُستبدل المعادلة أعلاه في النموذج التكويني، مما ينتج عنه مركبات الإجهاد الاسمية المناظرة. بعد ذلك، تُستبدل الإجهادات في معادلات التوازن (بنفس الصيغة المستخدمة في نظرية ميكانيكا الكسر الخطية المرنة) وتُطبق الشروط الحدية. تُحتفظ بالحدود الأكثر هيمنة، مما ينتج عنه مسألة قيم ذاتية لـυα(θ){\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}ومα{\displaystyle m_{\alpha }}[ 4 ]​

التشوه ومجال الإجهاد في شق الإجهاد المستوي

في حالة الجسم الصلب المتجانس من نوع نيو هوكيان (n=1) في ظل شرط الوضع الأول، يتم إعطاء الإحداثيات المشوهة لتكوين الإجهاد المستوي بواسطة [ 4 ] [ 5 ].

y1=-ب0رالخطيئة2⁡(θ/2)،y2=أر1/2الخطيئة⁡(θ/2)،{\displaystyle y_{1}=-b_{0}r\sin ^{2}(\theta /2),\quad y_{2}=ar^{1/2}\sin(\theta /2),}

حيث أ وب0{\displaystyle b_{0}}هي سعات موجبة غير معروفة تعتمد على الحمل المطبق وهندسة العينة.

المصطلحات الرئيسية للإجهاد الاسمي (أو إجهاد بيولا-كيرشوف الأول ، المشار إليه بـσ{\displaystyle \sigma }(في هذه الصفحة) هي:

σ11=μب0،σ12=o(1)،{\displaystyle \sigma _{11}=\mu b_{0},\quad \sigma _{12}=o(1),}
σ21=-μأ2ر-1/2الخطيئة⁡(θ/2)،{\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}
σ22=μأ2ر-1/2كوس⁡(θ/2).{\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}

هكذا،σ11{\displaystyle \sigma _{11}}و σ21{\displaystyle \sigma _{21}}محصورة عند طرف الشق و σ21{\displaystyle \sigma _{21}}و σ22{\displaystyle \sigma _{22}}لها نفس التفرد.

المصطلحات الرئيسية للإجهاد الحقيقي (أو إجهاد كوشي ، ويرمز لها بـτ{\displaystyle \tau }(في هذه الصفحة)،

τ11=μب02الخطيئة2⁡(θ/2)،{\displaystyle \tau _{11}=\mu b_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta /2),}
τ12=τ21=-μ2أب0ر-1/2الخطيئة2⁡(θ/2)،{\displaystyle \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}ab_{0}r^{-1/2}\sin ^{2}(\theta /2),}
τ22=μ4أ2ر-1.{\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}

المكون الوحيد الحقيقي للإجهاد المحدد بالكامل بواسطة a هو τ22{\displaystyle \tau _{22}}كما أنه يُظهر أشد حالات التفرد. وبناءً على ذلك، من الواضح أن التفرد يختلف باختلاف ما إذا كان الإجهاد مُعطى في التكوين الحالي أو التكوين المرجعي. بالإضافة إلى ذلك، في ميكانيكا الكسر المرنة الخطية، يكون لحقل الإجهاد الحقيقي في الوضع الأول تفرد منر-1/2{\displaystyle {r}^{-1/2}}[ 6 ] وهو أضعف من التفرد فيτ22{\displaystyle \tau _{22}}.

بينما يعتمد مجال الإزاحة بالقرب من طرف الكسر في ميكانيكا الكسر المرنة الخطية فقط على عامل شدة الإجهاد من النمط الأول ، فقد تبين هنا أنه بالنسبة للتشوهات الكبيرة، تعتمد الإزاحة على معيارين (a وب0{\displaystyle b_{0}}(في حالة الإجهاد المستوي).

التشوه ومجال الإجهاد في شق الإجهاد المستوي

يتم إعطاء مجال تشوه طرف الشق لتكوين الوضع الأول في مادة متجانسة من نوع نيو هوكيان (n=1) بواسطة [ 4 ] [ 5 ]

y1=جركوس⁡θ،y2=أرالخطيئة⁡(θ/2)،{\displaystyle y_{1}=cr\,\cos \theta ,\quad y_{2}=a{\sqrt {r}}\sin(\theta /2),}

حيث أن a و c عبارة عن سعات مستقلة موجبة يتم تحديدها بواسطة شروط الحدود في المجال البعيد.

الحدود المهيمنة للإجهاد الاسمي هي

σ11=μج،σ12=o(1)،{\displaystyle \sigma _{11}=\mu c,\quad \sigma _{12}=o(1),}
σ21=-μأ2ر-1/2الخطيئة⁡(θ/2)،{\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}
σ22=μأ2ر-1/2كوس⁡(θ/2).{\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}

ومكونات الإجهاد الحقيقية هي

τ11=μج2،τ12=τ21=-μ2أجر-1/2الخطيئة⁡(θ/2)،{\displaystyle \tau _{11}=\mu c^{2},\quad \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}acr^{-1/2}\sin(\theta /2),}
τ22=μ4أ2ر-1.{\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}

وبالمثل، يعتمد الإزاحة على معيارين (a و c لحالة الإجهاد المستوي ) وتكون حالة التفرد أقوى في τ22{\displaystyle \tau _{22}}شرط.

يُعدّ توزيع الإجهاد الحقيقي في الإحداثيات المشوهة (كما هو موضح في الشكل 1ب) ذا أهمية عند تحليل انتشار الشقوق وظاهرة التبلد. كما أنه مفيد عند التحقق من النتائج التجريبية لتشوه الشقوق.

التكامل J

يمثل التكامل J الطاقة المتدفقة إلى الشق، ولذلك يُستخدم لحساب معدل إطلاق الطاقة G. بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدامه كمعيار للكسر. وقد وُجد أن هذا التكامل مستقل عن المسار طالما أن المادة مرنة ولا يحدث أي تلف في بنيتها المجهرية.

تقييم J على مسار دائري في التكوين المرجعي ينتج

ج=πأ(2ن-12ن)2ن-1ن2-نأ2ن،{\displaystyle J=\pi A\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{2-n}a^{2n},}

بالنسبة لنمط الإجهاد المستوي الأول، حيث a هي سعة الحد الرئيسي من الرتبة الأولى لـy2{\displaystyle y_{2}}و A و n هما معلمات المادة من دالة طاقة الإجهاد.

بالنسبة لنمط الإجهاد المستوي الأول في مادة نيو-هيوكية، يُعطى J بالعلاقة التالية:

ج=μπ2(بن)ن-1(2ن-12ن)2ن-1ن1-نأ2ن،{\displaystyle J={\frac {\mu \pi }{2}}\left({\frac {b}{n}}\right)^{n-1}\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{1-n}a^{2n},}

حيث يمثل b و n معلمات مادية للمواد الصلبة GNH. في الحالة الخاصة لنموذج نيو-هوكيان، حيث n=1 و b=1 وأ=μ/2{\displaystyle A=\mu /2}، يكون التكامل J للإجهاد المستوي والانفعال المستوي في الوضع الأول متماثلاً:

ج=μπأ24.{\displaystyle J={\frac {\mu \pi a^{2}}{4}}.}

التكامل J في تجربة القص النقي

يمكن تحديد التكامل J تجريبياً. إحدى التجارب الشائعة هي القص النقي في شريط طويل لانهائي، كما هو موضح في الشكل 2. تُثبّت الحافتان العلوية والسفلية بواسطة مقابض، ويُطبّق الحمل بسحب المقابض عمودياً بمسافة ± ∆. [ 4 ] تُولّد هذه المجموعة حالة إجهاد مستوٍ.

الشكل 2: تجربة القص النقي.

في ظل هذه الظروف، يتم تقييم التكامل J، بالتالي، على النحو التالي:

ج=2ح0دبليو(أنا1،أنا2)=2ح0Ψ(λ)،{\displaystyle J=2h_{0}W(I_{1},I_{2})=2h_{0}\Psi (\lambda ),}

أينأنا1=أنا2=λ2+λ-2+1،{\displaystyle I_{1}=I_{2}=\lambda ^{2}+\lambda ^{-2}+1,}λ=1+Δح0،{\displaystyle \lambda =1+{\frac {\Delta }{h_{0}}},}

وح0{\displaystyle h_{0}}يمثل ارتفاع الشريط في حالته غير المشوهة. الوظيفةΨ(λ){\displaystyle \Psi (\lambda )}يتم تحديد ذلك عن طريق قياس الإجهاد الاسمي المؤثر على الشريط الممدود بواسطةλ{\displaystyle \lambda }:

Ψ=∫1λσ(λ)دλ.{\displaystyle \Psi =\int _{1}^{\lambda }\sigma (\lambda )d\lambda .}

لذا، من خلال الإزاحة المفروضة لكل قبضة، ± ∆، يمكن تحديد التكامل J للإجهاد الاسمي المقابل. وباستخدام التكامل J، يمكن إيجاد سعة (المعامل a) بعض مركبات الإجهاد الحقيقي. مع ذلك، تعتمد سعات بعض مركبات الإجهاد الأخرى على معاملات أخرى مثل c (على سبيل المثال). σ11{\displaystyle \sigma _{11}}في ظل ظروف الإجهاد المستوي، ولا يمكن تحديدها من خلال تجربة القص الخالص. ومع ذلك، فإن تجربة القص الخالص مهمة للغاية لأنها تسمح بتوصيف مقاومة الكسر للمواد اللينة.

تشققات في الواجهة

الشكل 3: هندسة شق الواجهة. مقتبس من Gaubelle و Knauss [5].

لتحليل تفاعل الالتصاق بين المواد اللاصقة اللينة والركائز الصلبة، تم تحديد الحل التقاربي لمشكلة تشقق السطح البيني بين مادة GNH وركيزة صلبة. [ 5 ] يوضح الشكل 3 تكوين تشقق السطح البيني المدروس هنا، حيث تم إهمال الانزلاق الجانبي.

في حالة نيو-هوكيان الخاصة مع n=1، و v1¯=v2¯=كوس⁡θ{\displaystyle {\overline {v_{1}}}={\overline {v_{2}}}=\cos \theta }الحل للإحداثيات المشوهة هو

y1=أ1ر12الخطيئة⁡(θ2)+ركوس⁡θ،{\displaystyle y_{1}=a_{1}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r\cos \theta ,}
y2=أ2ر12الخطيئة⁡(θ2)،{\displaystyle y_{2}=a_{2}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right),}
الشكل 4: واجهة المادة اللينة والركيزة الصلبة. أ) رسم بياني لإحداثيات تشوه طرف الشق. ب) الشكل القطعي المكافئ لطرف الشق.

وهو ما يعادل

y1=أ1أ2y2-(y2أ2)2.{\displaystyle y_{1}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}y_{2}-\left({\frac {y_{2}}{a_{2}}}\right)^{2}.}

وفقًا للمعادلة المذكورة أعلاه، وُجد أن الشق الموجود على هذا النوع من الأسطح البينية ينفتح بشكل قطع مكافئ. وقد تأكد ذلك من خلال رسم الإحداثيات المعيارية.y1/أ22{\displaystyle y_{1}/a_{2}^{2}}مقابل y2/أ22{\displaystyle y_{2}/a_{2}^{2}}لأنواع مختلفةأ1/أ2{\displaystyle a_{1}/a_{2}}النسب (انظر الشكل 4).

لتحليل الواجهة بين صفيحتين من GNH لهما نفس خصائص التصلب، ارجع إلى النموذج الذي وصفه Gaubelle و Knauss. [ 5 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غولدمان بوي، ت.؛ هارباز، ر.؛ فاينبيرغ، ج.؛ بوشبيندر، إ. (2015). "الانهيار التدريجي: نظرية الكسر للمواد شديدة التشوه". المادة اللينة . 11 (19): 3812-3821 . arXiv : 1502.04848 . Bibcode : 2015SMat...11.3812G . doi : 10.1039/c5sm00496a . ISSN 1744-683X . PMID 25857951. S2CID 3563761 .   
  2. ↑ هوي، سي.-واي.؛ أ. جاغوتا؛ بينيسون، إس. جيه.؛ لوندونو، جيه. دي. (8 يونيو 2003). "تبلد الشقوق وقوة المواد الصلبة المرنة اللينة". وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 459 (2034): 1489-1516 . رمز Bibcode : 2003RSPSA.459.1489H . doi : 10.1098/rspa.2002.1057 . ISSN 1471-2946 . S2CID 17786122 .  
  3. ↑ نولز، جيه كيه؛ ستيرنبرغ، إيلي (يونيو 1973). "تحليل تقاربي للتشوه المحدود للحقل المرن الساكن بالقرب من طرف الشق". مجلة المرونة . 3 (2): 67-107 . doi : 10.1007/bf00045816 . ISSN 0374-3535 . S2CID 123079586 .  
  4. 1 2 3 4 لونغ، رونغ؛ هوي، تشونغ-يون (سبتمبر 2015). "مجالات طرف الشق في المواد الصلبة المرنة اللينة المعرضة لتشوه شبه ساكن كبير - مراجعة" . رسائل الميكانيكا المتطرفة . 4 : 131-155 . doi : 10.1016/j.eml.2015.06.002 . ISSN 2352-4316 . 
  5. 1 2 3 4 جوبيل، فيليب هـ.؛ كناوس، وولفغانغ ج. (1994). "الإجهادات المحدودة عند طرف شق في صفيحة من مادة فائقة المرونة: الجزء الثاني. حالات خاصة ثنائية المادة". مجلة المرونة . 35 ( 1-3 ): 99-137 . doi : 10.1007/bf00115540 . ISSN 0374-3535 . S2CID 120614422 .  
  6. ↑ زيندر، آلان ت. (2012). ميكانيكا الكسر . سلسلة محاضرات في الميكانيكا التطبيقية والحسابية. المجلد 62. doi : 10.1007/978-94-007-2595-9 . ISBN  978-94-007-2594-2ISSN 1613-7736​​