Plane stress

In continuum mechanics, a material is said to be under plane stress if the stress vector is zero across a particular plane. When that situation occurs over an entire element of a structure, as is often the case for thin plates, the stress analysis is considerably simplified, as the stress state can be represented by a tensor of dimension 2 (representable as a 2×2 matrix rather than 3×3). ^[1] A related notion, plane strain, is often applicable to very thick members.

Plane stress typically occurs in thin flat plates that are acted upon only by load forces that are parallel to them. In certain situations, a gently curved thin plate may also be assumed to have plane stress for the purpose of stress analysis. This is the case, for example, of a thin-walled cylinder filled with a fluid under pressure. In such cases, stress components perpendicular to the plate are negligible compared to those parallel to it.^[1]

In other situations, however, the bending stress of a thin plate cannot be neglected. One can still simplify the analysis by using a two-dimensional domain, but the plane stress tensor at each point must be complemented with bending terms.

Mathematically, the stress at some point in the material is a plane stress if one of the three principal stresses (the eigenvalues of the Cauchy stress tensor) is zero. That is, there is Cartesian coordinate system in which the stress tensor has the form

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

For example, consider a rectangular block of material measuring 10, 40 and 5 cm along the ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle z}$, that is being stretched in the ${\displaystyle x}$ direction and compressed in the ${\displaystyle y}$ direction, by pairs of opposite forces with magnitudes 10 N and 20 N, respectively, uniformly distributed over the corresponding faces. The stress tensor inside the block will be

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

More generally, if one chooses the first two coordinate axes arbitrarily but perpendicular to the direction of zero stress, the stress tensor will have the form

$\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

and can therefore be represented by a 2 × 2 matrix,

$\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}}$

في بعض الحالات، يمكن استخدام نموذج الإجهاد المستوي في تحليل الأسطح المنحنية انحناءً طفيفًا. على سبيل المثال، لنفترض أسطوانة رقيقة الجدران تتعرض لحمل ضغط محوري موزع بانتظام على طول حافتها، ومملوءة بسائل مضغوط. سيولد الضغط الداخلي إجهادًا حلقيًا تفاعليًا على الجدار، وإجهاد شد عموديًا موجهًا بشكل عمودي على محور الأسطوانة ومماسًا لسطحها. يمكن اعتبار الأسطوانة، من الناحية النظرية، صفيحة مستطيلة رقيقة مسطحة تتعرض لحمل شد في اتجاه وحمل ضغط في اتجاه آخر، وكلاهما موازٍ للصفيحة.

إذا كان أحد الأبعاد كبيرًا جدًا مقارنةً بالأبعاد الأخرى، فإن الإجهاد الرئيسي في اتجاه أطول بُعد يكون محدودًا ويمكن افتراض ثباته، مما يعني انعدام الإجهاد فعليًا على طوله، وبالتالي الحصول على حالة إجهاد مستوٍ (الشكل 7.2). في هذه الحالة، على الرغم من أن جميع الإجهادات الرئيسية لا تساوي صفرًا، إلا أنه يمكن إهمال الإجهاد الرئيسي في اتجاه أطول بُعد في الحسابات. وهذا يسمح بإجراء تحليل ثنائي الأبعاد للإجهادات، على سبيل المثال ، تحليل سد عند مقطع عرضي مُحمّل بالخزان.

موتر الإجهاد المقابل هو:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\,\!}$

وموتر الإجهاد المقابل هو:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,\!}$

حيث غير الصفر${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$ينشأ هذا الحد من تأثير بواسون . ومع ذلك، يمكن إزالة هذا الحد مؤقتًا من تحليل الإجهاد بحيث لا يتبقى سوى الحدود الموجودة في المستوى، مما يقلل التحليل فعليًا إلى بعدين. ^{[ 1 ]}

لنفترض نقطة${\displaystyle P\,\!}$في وسط متصل تحت حالة إجهاد مستوٍ، أو انفعال مستوٍ، مع مكونات الإجهاد${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!}$وجميع مكونات الإجهاد الأخرى تساوي صفرًا (الشكل 8.1). من التوازن الساكن لعنصر مادي متناهي الصغر عند${\displaystyle P\,\!}$(الشكل 8.2)، الإجهاد الطبيعي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$وإجهاد القص${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$على أي مستوى عمودي على${\displaystyle x\,\!}$-${\displaystyle y\,\!}$طائرة تمر عبر${\displaystyle P\,\!}$بمتجه وحدة${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$صنع زاوية من${\displaystyle \theta \,\!}$مع الأفقي، أي${\displaystyle \cos \theta \,\!}$هو جيب تمام الاتجاه في${\displaystyle x\,\!}$يتم تحديد الاتجاه بواسطة:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta \,\!}$

تشير هذه المعادلات إلى أنه في حالة الإجهاد المستوي أو الانفعال المستوي، يمكن تحديد مركبات الإجهاد عند نقطة ما في جميع الاتجاهات، أي كدالة لـ${\displaystyle \theta \,\!}$إذا كان المرء على دراية بمكونات الإجهاد${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!}$على أي اتجاهين متعامدين عند تلك النقطة. من المهم أن نتذكر أننا نأخذ في الاعتبار وحدة مساحة العنصر المتناهي الصغر في الاتجاه الموازي لـ${\displaystyle y\,\!}$-${\displaystyle z\,\!}$طائرة.

يمكن الحصول على الاتجاهات الرئيسية (الشكل 8.3)، أي اتجاه المستويات التي تكون فيها مركبات إجهاد القص صفرًا، من خلال تطبيق المعادلة السابقة لإجهاد القص.${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$يساوي صفرًا. وبالتالي لدينا:

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta =0\,\!}$

ونحصل

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}\,\!}$

تحدد هذه المعادلة قيمتين${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$وهي${\displaystyle 90^{\circ }\,\!}$متباعدين (الشكل 8.3). ويمكن الحصول على النتيجة نفسها بإيجاد الزاوية${\displaystyle \theta \,\!}$مما يجعل الإجهاد طبيعياً${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$الحد الأقصى، أي${\displaystyle {\frac {d\sigma _{\mathrm {n} }}{d\theta }}=0\,\!}$

يؤكد المدير${\displaystyle \sigma _{1}\,\!}$و${\displaystyle \sigma _{2}\,\!}$أو الحد الأدنى والحد الأقصى للإجهادات الطبيعية${\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }\,\!}$و${\displaystyle \sigma _{\mathrm {min} }\,\!}$ويمكن الحصول على القيمتين، على التوالي، عن طريق استبدال كلتا القيمتين بـ${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$في المعادلة السابقة لـ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$ويمكن تحقيق ذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلات لـ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$و${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$أولاً، نقوم بنقل الحد الأول في المعادلة الأولى، ثم نربع طرفي كل معادلة، ثم نجمعهما. وهكذا نحصل على

${\displaystyle \left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\,\!}$

${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=R^{2}\,\!}$

أين

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\,\!}$

وهي معادلة دائرة نصف قطرها${\displaystyle R\,\!}$متمركزة عند نقطة ذات إحداثيات${\displaystyle [\sigma _{\mathrm {avg} },0]\,\!}$تُسمى دائرة مور . ولكن مع العلم أن الإجهادات الرئيسية هي إجهاد القص${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=0\,\!}$ومن ثم نحصل من هذه المعادلة على ما يلي:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {max} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {min} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})-{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

متى${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$يتم توجيه العنصر المتناهي الصغر في اتجاه المستويات الرئيسية، وبالتالي فإن الإجهادات المؤثرة على العنصر المستطيل هي إجهادات رئيسية:${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{1}\,\!}$و${\displaystyle \sigma _{y}=\sigma _{2}\,\!}$ثم الإجهاد الطبيعي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$وإجهاد القص${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$يمكن تحديدها كدالة للإجهادات الرئيسية عن طريق جعل${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$وهكذا لدينا

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\cos 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\sin 2\theta \,\!}$

ثم أقصى إجهاد قص${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }\,\!}$يحدث ذلك عندما ${\displaystyle \sin 2\theta =1\,\!}$، أي${\displaystyle \theta =45^{\circ }\,\!}$(الشكل 8.3):

${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

ثم الحد الأدنى لإجهاد القص${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }\,\!}$يحدث ذلك عندما ${\displaystyle \sin 2\theta =-1\,\!}$، أي${\displaystyle \theta =135^{\circ }\,\!}$(الشكل 8.3):

${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

• إجهاد مستوي