كثيرات الحدود التفاضلية

في الرياضيات ، في مجال التحليل المركب ، تعد كثيرات الحدود التفاضلية العامة متتالية متعددة الحدود ، وهي فئة فرعية معينة من كثيرات حدود شيفر ، والتي تشمل كثيرات حدود نيوتن ، وكثيرات حدود سيلبرغ ، وكثيرات حدود ستيرلينغ الاستيفائية كحالات خاصة.

تُعطى متتالية كثيرات الحدود التفاضلية العامة بالصيغة التالية:

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

أين${\displaystyle {z \choose n}}$هو معامل ذات الحدين . لـ${\displaystyle \beta =0}$كثيرات الحدود المولدة${\displaystyle p_{n}(z)}$هي كثيرات حدود نيوتن

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

قضية${\displaystyle \beta =1}$يُنتج كثيرات حدود سيلبرغ، وحالة${\displaystyle \beta =-1/2}$يقوم بتوليد كثيرات حدود ستيرلينغ للاستيفاء.

بالنظر إلى دالة تحليلية${\displaystyle f(z)}$عرّف الفرق المتحرك للدالة f على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

أين${\displaystyle \Delta }$هو عامل الفرق الأمامي . عندئذٍ، إذا كانت f تحقق شروطًا معينة للجمع، فيمكن تمثيلها بدلالة هذه كثيرات الحدود كما يلي:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}$

تُعدّ شروط قابلية الجمع (أي التقارب) لهذه المتتالية موضوعًا معقدًا إلى حدٍّ ما؛ وبشكل عام، يمكن القول إنّ الشرط الضروري هو أن تكون الدالة التحليلية من النوع الأقل من الأسي . وقد نُوقشت شروط قابلية الجمع بالتفصيل في كتاب بواس وباك.

الدالة المولدة لكثيرات الحدود التفاضلية العامة معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

يمكن تحويل هذه الدالة المولدة إلى شكل تمثيل أبيل المعمم

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

عن طريق الضبط${\displaystyle A(w)=1}$،${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$،${\displaystyle g(w)=t}$و${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$.

• نظرية كارلسون
• كثيرات حدود برنولي من النوع الثاني

• رالف ب. بواس الابن و ر. كريتون باك ، توسعات متعددة الحدود للدوال التحليلية (الطبعة الثانية المصححة) ، (1964) دار النشر الأكاديمية، نيويورك، سبرينغر-فيرلاغ، برلين. رقم بطاقة مكتبة الكونغرس 63-23263.