تعميم شامل

في منطق المسندات ، يُعد التعميم (ويُسمى أيضًا التعميم الكلي ، أو الإدخال الكلي ، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} GEN ، UG ) قاعدة استدلال صحيحة . وتنص على أنه إذا${\displaystyle \vdash \!P(x)}$تم التوصل إلى ذلك، إذن${\displaystyle \vdash \!\forall x\,P(x)}$يمكن استخلاصها.

تسمح قاعدة التعميم الكاملة بوضع فرضيات على يسار البوابة الدوارة ، ولكن مع بعض القيود. افترض${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة من الصيغ،${\displaystyle \varphi }$صيغة، و${\displaystyle \Gamma \vdash \varphi (y)}$تم اشتقاقها. تنص قاعدة التعميم على أن${\displaystyle \Gamma \vdash \forall x\,\varphi (x)}$يمكن استنتاج ذلك إذا${\displaystyle y}$لم يُذكر في${\displaystyle \Gamma }$و${\displaystyle x}$لا يحدث في${\displaystyle \varphi }$.

هذه القيود ضرورية لضمان سلامة النظام. وبدون القيد الأول، يمكن للمرء أن يستنتج${\displaystyle \forall xP(x)}$انطلاقاً من الفرضية${\displaystyle P(y)}$. بدون القيد الثاني، يمكن للمرء أن يستنتج ما يلي:

1. ${\displaystyle \exists z\,\exists w\,(z\not =w)}$(فرضية)
2. ${\displaystyle \exists w\,(y\not =w)}$(التجسيد الوجودي)
3. ${\displaystyle y\not =x}$(التجسيد الوجودي)
4. ${\displaystyle \forall x\,(x\not =x)}$(تعميم عالمي خاطئ)

ويزعم هذا أن${\displaystyle \exists z\,\exists w\,(z\not =w)\vdash \forall x\,(x\not =x),}$وهذا استنتاج غير سليم. لاحظ أن${\displaystyle \Gamma \vdash \forall y\,\varphi (y)}$جائز إذا${\displaystyle y}$لم يُذكر في${\displaystyle \Gamma }$(لا يلزم تطبيق القيد الثاني، لأن البنية الدلالية لـ${\displaystyle \varphi (y)}$(لا يتغير ذلك باستبدال أي متغيرات).

يثبت:${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))}$يمكن اشتقاقها من${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))}$و${\displaystyle \forall x\,P(x)}$.

دليل:

خطوة	صيغة	التبرير
1	${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))}$	فرضية
2	${\displaystyle \forall x\,P(x)}$	فرضية
3	${\displaystyle (\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)))\rightarrow (P(y)\rightarrow Q(y))}$	من (1) عن طريق التجسيد الشامل
4	${\displaystyle P(y)\rightarrow Q(y)}$	من (1) و(3) عن طريق Modus ponens
5	${\displaystyle (\forall x\,P(x))\rightarrow P(y)}$	من (2) عن طريق التجسيد الشامل
6	${\displaystyle P(y)\ }$	من (2) و(5) عن طريق Modus ponens
7	${\displaystyle Q(y)\ }$	من (6) و(4) بواسطة Modus ponens
8	${\displaystyle \forall x\,Q(x)}$	من (7) بالتعميم
9	${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)),\forall x\,P(x)\vdash \forall x\,Q(x)}$	ملخص البنود من (1) إلى (8)
10	${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\vdash \forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x)}$	من (9) بواسطة نظرية الاستنتاج
11	${\displaystyle \vdash \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))}$	من (10) بواسطة نظرية الاستنتاج

في هذا البرهان، تم استخدام التعميم الشامل في الخطوة 8. وكانت نظرية الاستنتاج قابلة للتطبيق في الخطوتين 10 و 11 لأن الصيغ التي يتم نقلها لا تحتوي على متغيرات حرة.

• منطق الرتبة الأولى
• تعميم متسرع
• تجسيد عالمي
• التعميم الوجودي