دالة جيميل

في نظرية المجموعة البديهية ، دالة جيميل هي الدالة التالية التي تقوم بربط الأعداد الأساسية بالأعداد الأساسية:

${\displaystyle \gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$

حيث يشير cf إلى دالة النهاية المشتركة ؛ تُستخدم دالة gimel لدراسة دالة الاستمرارية ودالة الأسس الأساسية . الرمز هو شكل serif للحرف العبري gimel . ${\displaystyle \gimel }$

تمتلك دالة جيميل هذه الخاصية لجميع الأعداد الأساسية اللانهائية حسب نظرية كونيغ . ${\displaystyle \gimel (\kappa )>\kappa }$${\displaystyle \kappa }$

بالنسبة للأعداد الأساسية المنتظمة ، ، وتقول نظرية إيستون أننا لا نعرف الكثير عن قيم هذه الدالة. بالنسبة للمفرد ، يمكن إيجاد الحدود العليا لـ من نظرية PCF لشيلاه . ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \gimel (\kappa )}$

تنص فرضية جيميل على أن . وفي الأساس، يعني هذا أن المفرد هو أصغر قيمة مسموح بها من خلال بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (بافتراض الاتساق). ${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa )},\kappa ^{+})}$${\displaystyle \gimel (\kappa )}$${\displaystyle \kappa }$

وبموجب هذه الفرضية يتم تبسيط الأسس الأساسية، ولكن ليس إلى حد فرضية الاستمرارية (التي تتضمن فرضية الجيميل).

أظهر بوكوفسكي (1965) أن جميع الأسس الأساسية يتم تحديدها (بشكل متكرر) بواسطة دالة جيميل على النحو التالي.

• إذا كان عددًا أساسيًا منتظمًا لا نهائيًا (وبشكل خاص أي خليفة لا نهائي) فإن${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (\kappa )}$
• إذا كانت غير محدودة ومتفردة وكانت الدالة المتصلة ثابتة في النهاية أدناه ، فإن${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa }}$
• إذا كان حدًا ولم تكن الدالة المتصلة ثابتة في النهاية أسفله، فإن${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (2^{<\kappa })}$

القواعد المتبقية صالحة متى و كلاهما لا نهائيان: ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda }$

• إذا ℵ ₀ ≥ κ ≥ lect ثم κ ^lect = 2 ^lect
• إذا μ ^lect ≥ κ لبعض μ < κ ثم κ ^lect = μ ^lect
• إذا κ > lect و μ ^lect < κ للجميع μ < κ و cf( κ ) ≥ lect ثم κ ^lect = κ ^cf(κ)
• إذا κ > lect و μ ^lect < κ للجميع μ < κ و cf( κ ) > lect ثم κ ^lect = κ

• رقم الالف
• رقم بيث

• بوكوفسكي، ل. (1965)، "مشكلة الاستمرارية وقوى الألف"، تعليق. مجلة الرياضيات، جامعة كارولينا ، 6 : 181-197، hdl :10338.dmlcz/105009، MR  0183649
• Jech, Thomas J. (1973), "Properties of the gimel function and a classification of singular cardinals" (PDF) , Fund. Math. , مجموعة من المقالات المخصصة لأندريه موستوفسكي بمناسبة عيد ميلاده الستين، I., 81 (1): 57–64, doi : 10.4064/fm-81-1-57-64 , MR  0389593
• توماس جيش ، نظرية المجموعات ، الطبعة الألفية الثالثة، 2003، دراسات سبرينغر في الرياضيات، سبرينغر، ISBN 3-540-44085-2 .