رقم بيث

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية المجموعات ، تعد أرقام بيث تسلسلًا معينًا من الأعداد الأصلية اللانهائية (المعروفة أيضًا باسم الأعداد غير المحدودة )، والتي تُكتب تقليديًا ، حيث هو الحرف العبري بيث . ترتبط أرقام بيث بأعداد الألف ( )، ولكن ما لم تكن فرضية الاستمرارية المعممة صحيحة، فهناك أرقام مفهرسة بواسطة لا يتم فهرستها بواسطة . ${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }$${\displaystyle \aleph }$${\displaystyle \beth }$

يتم تعريف أرقام بيث من خلال التكرار اللانهائي :

• ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}},}$

حيث هو ترتيبي و هو ترتيب حدي . ^[1]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$

العدد الأساسي هو عدد أي مجموعة لا نهائية قابلة للعد مثل مجموعة الأعداد الطبيعية ، بحيث . ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}$

ليكن ترتيبيًا وليكن مجموعة ذات عدد أساسي . إذن ،${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A_{\alpha })}$يشير إلى مجموعة القوى (أي مجموعة كل المجموعات الفرعية لـ )،${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle A_{\alpha }}$

• تشير المجموعة إلى مجموعة جميع الدوال من إلى ،${\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle \{0,1\}}$

• العدد الأساسي هو نتيجة الأسس الأساسية ، و${\displaystyle 2^{\beth _{\alpha }}}$

• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=\left|2^{A_{\alpha }}\right|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|}$هي عددية مجموعة القوى لـ .${\displaystyle A_{\alpha }}$

وبناء على هذا التعريف،

${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$

هي على التوالي العناصر الأساسية لـ

${\displaystyle \mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots }$

بحيث يكون عدد بيث الثاني مساويًا لـ ، وهو عدد عناصر المتصل (عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية )، ويكون عدد بيث الثالث هو عدد عناصر مجموعة قوى المتصل. ${\displaystyle \beth _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \beth _{2}}$

بسبب نظرية كانتور ، فإن كل مجموعة في المتوالية السابقة لها عدد أكبر بشكل صارم من المجموعة التي تسبقها. بالنسبة للترتيبات النهائية اللانهائية ، يتم تعريف رقم بيث المقابل ليكون العدد الأعلى لأرقام بيث لجميع الترتيبات الأصغر بشكل صارم من : ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}.}$

يمكننا أن نبين أن هذا التعريف يعادل

${\displaystyle \beth _{\lambda }=|\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|.}$

على سبيل المثال:

• ${\displaystyle \beth _{\omega }}$هو عدد .${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))،{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )))،\dots {\Bigr \}}}$
• ${\displaystyle \beth _{2\omega }}$هو عدد .${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))،{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )))،\dots،{A_{\omega }}، {\mathcal {P}}({A_ {\ أوميغا }})، {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_ {\ أوميغا }})))،{\mathcal {P}} ({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_ {\ أوميغا }})))،\dots {\Bigr \}}}$
• ${\displaystyle \beth _{\omega ^{2}}}$هو عدد .${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))،{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )))،\dots،{A_{\omega }}، {\mathcal {P}}({A_ {\ أوميغا }})، {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ({A_ {\ أوميغا }})، \ النقاط، {A_ {2 \omega }},{\mathcal {P}}({A_{2\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {ص}}({أ_{2\أوميغا}}))،\نقاط،}$ ${\displaystyle {A_{3\omega }},{\mathcal {P}}({A_{3\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{3\omega }})),\dots ,\dots {\Bigr \}}}$

يمكن إظهار هذا التكافؤ من خلال رؤية أن:

• بالنسبة لأي مجموعة ، لا يمكن لمجموعة الاتحاد لجميع أعضائها أن تكون أكبر من الحد الأقصى لعدد أعضائها مضروبًا في عدد أعضائها،${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle |\bigcup \mathbb {S} |\leq {\Bigl (}|\mathbb {S} |\times \sup {\Bigl \{}|s|:s\in \mathbb {S} {\Bigr \}}{\Bigr )}}$
• لأي عددين غير صفريين ، إذا كان أحدهما على الأقل عددًا لا نهائيًا، فسيكون حاصل الضرب هو الأكبر من الاثنين،${\displaystyle \kappa _{a},\kappa _{b}}$${\displaystyle \kappa _{a}\times \kappa _{b}=\max\{\kappa _{a},\kappa _{b}\}}$
• ستكون المجموعة أصغر من معظم أو كل مجموعاتها الفرعية لأي حد ترتيبي${\displaystyle {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$${\displaystyle \lambda }$
• لذلك، لأي حد ترتيبي${\displaystyle |\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$${\displaystyle \lambda }$

لاحظ أن هذا السلوك يختلف عن سلوك الترتيبات اللاحقة. يمكن أن توجد ترتيبات أقل من ولكن أكبر من أي ترتيب عندما يكون ترتيبًا لاحقاً (في هذه الحالة، يكون الوجود غير قابل للحسم في ZFC ويتم التحكم فيه بواسطة فرضية المتصل المعمم )؛ ولكن لا يمكن أن توجد عندما يكون ترتيبًا نهائيًا، حتى في ظل التعريف الثاني المقدم. ${\displaystyle \beth _{\beta }}$${\displaystyle \beth _{\alpha }:\alpha <\beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

يمكننا أيضًا أن نظهر أن أكوان فون نيومان لها عددية . ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }}$${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

بافتراض بديهية الاختيار ، فإن الأعداد الأساسية اللانهائية مرتبة خطيًا ؛ ولا يمكن لأي عدد أساسي أن يفشل في المقارنة. وبالتالي، بما أنه لا توجد أعداد أساسية لا نهائية بين و ، فمن الطبيعي أن ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$

يؤدي تكرار هذه الحجة (انظر الاستقراء اللانهائي ) إلى الحصول على جميع الترتيبات . ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

فرضية الاستمرارية تعادل

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

تقول فرضية المتصل المعمم أن تسلسل أرقام بيث المحددة بهذا الشكل هو نفس تسلسل أرقام الألف ، أي لجميع الترتيبات . ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

نظرًا لأن هذا مُعرَّف على أنه ، أو aleph null ، فإن المجموعات ذات العددية تشمل: ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \beth _{0}}$

• الأعداد الطبيعية ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• الأعداد النسبية ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• الأعداد الجبرية ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• الأعداد القابلة للحساب والمجموعات القابلة للحساب
• مجموعة المجموعات المحدودة من الأعداد الصحيحة أو الأعداد الكسرية أو الأعداد الجبرية
• مجموعة المجموعات المتعددة المحدودة من الأعداد الصحيحة
• مجموعة المتتاليات النهائية من الأعداد الصحيحة .

تتضمن المجموعات ذات العدد الأساسي ما يلي : ${\displaystyle \beth _{1}}$

• الأرقام المتعالية
• الأعداد غير النسبية
• الارقام الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• الأعداد المركبة ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• الأعداد الحقيقية غير القابلة للحساب
• الفضاء الإقليدي ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• مجموعة القوى للأعداد الطبيعية ( مجموعة كل المجموعات الجزئية للأعداد الطبيعية)${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$
• مجموعة متواليات الأعداد الصحيحة (أي ، والتي تتضمن جميع الدوال من إلى )${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• مجموعة متواليات الأعداد الحقيقية،${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• مجموعة كل الدوال التحليلية الحقيقية من إلى${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• مجموعة كل الدوال المستمرة من إلى${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• مجموعة كل الدوال من إلى مع أكثر عدد من الانقطاعات القابلة للعد ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• مجموعة المجموعات الجزئية المحدودة من الأعداد الحقيقية
• مجموعة كل الدوال التحليلية من إلى ( الدوال المجسمة )${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• مجموعة جميع الدوال من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الطبيعية ( ).${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \beth _{2}}$(تنطق بيث اثنين ) يشار إليها أيضًا باسم (تنطق اثنين إلى القوة ).${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

تتضمن المجموعات ذات العدد الأساسي ما يلي : ${\displaystyle \beth _{2}}$

• مجموعة القوى لمجموعة الأعداد الحقيقية ، لذا فهي عدد المجموعات الجزئية للخط الحقيقي ، أو عدد مجموعات الأعداد الحقيقية
• مجموعة القوى لمجموعة القوى لمجموعة الأعداد الطبيعية
• مجموعة كل الدوال من إلى ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$
• مجموعة كل الوظائف من إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• مجموعة كل الدوال من إلى مع عدد لا يحصى من انقطاعات الاستمرارية ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• مجموعة القوى لمجموعة كل الدوال من مجموعة الأعداد الطبيعية إلى نفسها، أو عدد مجموعات متواليات الأعداد الطبيعية
• ضغطات ستون -تشيك لـ ، ، و${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$
• مجموعة الكسيريات الحتمية في ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• مجموعة الكسيريات العشوائية في . ^[4]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \beth _{\omega }}$(تنطق بيث أوميجا ) هو أصغر حد قوي غير معدود .

يُستخدم الرمز الأكثر عمومية ، للأرقام الترتيبية والكاردينالية ، أحيانًا. ويُعرَّف بالرمز التالي: ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$إذا كان λ ترتيبًا حديًا.

لذا

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

في نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (ZF)، لأي أعداد أساسية و ، يوجد ترتيب بحيث: ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

وفي ZF، لأي عدد أساسي وترتيبي و : ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

وبالتالي، في ZF، في غياب العناصر الأولية ، مع أو بدون بديهية الاختيار ، لأي أعداد أساسية و ، المساواة ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

ينطبق هذا على جميع الترتيبات الكبيرة بما فيه الكفاية . أي أنه يوجد ترتيب بحيث تنطبق المساواة على كل ترتيب . ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

ينطبق هذا أيضًا على نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل مع العناصر غير الأساسية (مع أو بدون بديهية الاختيار)، بشرط أن تشكل العناصر غير الأساسية مجموعة متساوية مع مجموعة نقية (مجموعة لا يحتوي إغلاقها المتعدي على أي عناصر غير أساسية). إذا كانت بديهية الاختيار صحيحة، فإن أي مجموعة من العناصر غير الأساسية تكون متساوية مع مجموعة نقية.

إن تحديد بوريل يستدل عليه من وجود جميع بيثات الفهرس القابل للعد. ^[5]

• عدد غير محدود
• مجموعة غير قابلة للعد