التحليل التشفيري التفاضلي من الرتبة العليا

في علم التشفير ، يُعدّ التحليل التفاضلي عالي الرتبة تعميمًا للتحليل التفاضلي ، وهو هجوم يُستخدم ضدّ تشفيرات الكتل . فبينما يعتمد التحليل التفاضلي القياسي على الفرق بين نصّين فقط، يدرس التحليل التفاضلي عالي الرتبة انتشار مجموعة من الفروق بين مجموعة أكبر من النصوص. في عام ١٩٩٤، وضع شوجيا لاي الأساس من خلال إثبات أن الفروق حالة خاصة من الحالة الأكثر عمومية للمشتقات عالية الرتبة. ^{[ ١ ]} وفي العام نفسه، تمكّن لارس كنودسن من إثبات كيفية استخدام مفهوم المشتقات عالية الرتبة لشنّ هجمات على تشفيرات الكتل. ^{[ ٢ ]} قد تتفوّق هذه الهجمات على التحليل التفاضلي القياسي. وقد استُخدم التحليل التفاضلي عالي الرتبة بشكل ملحوظ لكسر تشفير KN ، وهو تشفير كان قد ثبت سابقًا أنه محصّن ضدّ التحليل التفاضلي القياسي. ^{[ ٣ ]}

تشفير كتلي يقوم برسم الخرائط${\displaystyle n}$سلاسل بت إلى${\displaystyle n}$يمكن اعتبار السلاسل ذات البتات، بالنسبة لمفتاح ثابت، بمثابة دالة${\displaystyle f:\mathbb {F} _{2}^{n}\to \mathbb {F} _{2}^{n}}$في التحليل التفاضلي القياسي للتشفير، يهتم المرء بإيجاد زوج من فرق الإدخال${\displaystyle \alpha }$وفرق في الناتج${\displaystyle \beta }$بحيث يكون هناك نصان مدخلان مختلفان${\displaystyle \alpha }$من المرجح أن ينتج عن ذلك نصوص إخراج مختلفة${\displaystyle \beta }$أي أن${\displaystyle f(m\oplus \alpha )\oplus f(m)=\beta }$هذا صحيح بالنسبة للكثيرين${\displaystyle m\in \mathbb {F} _{2}^{n}}$لاحظ أن الفرق المستخدم هنا هو XOR وهو الحالة المعتادة، على الرغم من أن تعريفات أخرى للفرق ممكنة.

وهذا يحفز تعريف مشتقة الدالة${\displaystyle f:\mathbb {F} _{2}^{n}\to \mathbb {F} _{2}^{n}}$في نقطة${\displaystyle \alpha }$كما ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Delta _{\alpha }f(x):=f(x\oplus \alpha )\oplus f(x)}$.

باستخدام هذا التعريف، فإن${\displaystyle i}$المشتقة رقم -th عند${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i})}$يمكن تعريفها بشكل متكرر على النحو التالي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Delta _{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i}}^{(i)}f(x):=\Delta _{\alpha _{i}}\left(\Delta _{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i-1}}^{i-1}f(x)\right)}$.

وهكذا على سبيل المثال${\displaystyle \Delta _{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{(2)}f(x)=f(x)\oplus f(x\oplus \alpha _{1})\oplus f(x\oplus \alpha _{2})\oplus f(x\oplus \alpha _{1}\oplus \alpha _{2})}$.

تتشابه المشتقات من الرتب العليا، كما هو مُعرّف هنا، في العديد من الخصائص مع المشتقات العادية ، مثل قاعدة الجمع وقاعدة الضرب . ومن المهم أيضًا أن عملية الاشتقاق تُقلل من الدرجة الجبرية للدالة.

لتنفيذ هجوم باستخدام مشتقات من رتب أعلى، يلزم معرفة التوزيع الاحتمالي لمشتقة الشفرة. يُعد حساب هذا التوزيع أو تقديره مسألة معقدة عمومًا، ولكن إذا كانت الشفرة المعنية معروفة بانخفاض درجتها الجبرية ، فيمكن الاستفادة من حقيقة أن المشتقات تُقلل هذه الدرجة. على سبيل المثال، إذا كانت الشفرة (أو دالة صندوق الاستبدال قيد التحليل) معروفة بأن درجتها الجبرية 8 فقط، فإن أي مشتقة من الرتبة التاسعة يجب أن تساوي صفرًا.

لذلك، من المهم لأي تشفير أو وظيفة S-box على وجه التحديد أن يكون لها درجة قصوى (أو قريبة من الدرجة القصوى) لمقاومة هذا الهجوم.

تُعتبر هجمات المكعب نوعًا من أنواع الهجمات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى. ^{[ 4 ]}

يعمل مع صناديق الاستبدال الصغيرة أو ذات الدرجة الجبرية المنخفضة، بالإضافة إلى عمليات AND و XOR.

• التحليل التفاضلي للشفرات
• شفرة KN
• هجوم المكعبات