صيغة المشتقة للحاصل
رسم هندسي لإثبات قاعدة الضرب في حساب التفاضل والتكامل ، قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنتز [1] أو قاعدة لايبنتز للضرب ) هي صيغة تستخدم لإيجاد مشتقات حاصل ضرب دالتين أو أكثر . بالنسبة للدالتين، يمكن صياغتها في صيغة لاغرانج على النحو التالي أو في صيغة لايبنتز على النحو التالي
(
u
⋅
v
)
′
=
u
′
⋅
v
+
u
⋅
v
′
{\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
d
u
d
x
⋅
v
+
u
⋅
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}
يمكن توسيع القاعدة أو تعميمها على منتجات ثلاث وظائف أو أكثر، أو على قاعدة للمشتقات ذات الدرجة الأعلى للمنتج، وعلى سياقات أخرى.
اكتشاف يعود الفضل في اكتشاف هذه القاعدة إلى جوتفريد لايبنتز ، الذي أثبتها باستخدام التفاضلات . [2] (ومع ذلك، يزعم جيه إم تشايلد، مترجم أوراق لايبنتز، [3] أن ذلك يرجع إلى إسحاق بارو .) وهذه هي حجة لايبنتز: دع u ( x ) و v ( x ) تكونان دالتين قابلتين للاشتقاق لـ x . إذن فإن تفاضل uv هو
d
(
u
⋅
v
)
=
(
u
+
d
u
)
⋅
(
v
+
d
v
)
−
u
⋅
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
نظرًا لأن المصطلح du · dv "قابل للإهمال" (مقارنة بـ du و dv )، استنتج لايبنتز أن
هذا هو بالفعل الشكل التفاضلي لقاعدة الضرب. إذا قسمنا على التفاضل dx ، نحصل على
ما يمكن كتابته أيضًا في صيغة لاغرانج على النحو التالي
d
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
+
u
⋅
d
v
{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
d
x
+
u
⋅
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}
(
u
⋅
v
)
′
=
v
⋅
u
′
+
u
⋅
v
′
.
{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}
أمثلة لنفترض أننا نريد التفريق باستخدام قاعدة الضرب، نحصل على المشتقة (نظرًا لأن المشتقة هي ومشتقة دالة الجيب هي دالة جيب التمام).
f
(
x
)
=
x
2
sin
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).}
f
′
(
x
)
=
2
x
⋅
sin
(
x
)
+
x
2
cos
(
x
)
{\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
2
x
,
{\displaystyle 2x,}
إحدى الحالات الخاصة لقاعدة الضرب هي قاعدة مضاعفات الثوابت ، والتي تنص على: إذا كان c عددًا، وكان دالة قابلة للاشتقاق، فإنه قابل للاشتقاق أيضًا، ومشتقته هي وهذا يتبع من قاعدة الضرب لأن مشتق أي ثابت يساوي صفرًا. وهذا، مقترنًا بقاعدة المجموع للمشتقات، يوضح أن الاشتقاق خطي .
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
c
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle c\cdot f(x)}
(
c
f
)
′
(
x
)
=
c
⋅
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).}
تشتق قاعدة التكامل بالأجزاء من قاعدة الضرب، كما هي الحال مع (نسخة ضعيفة من) قاعدة القسمة . (إنها نسخة "ضعيفة" لأنها لا تثبت أن القسمة قابلة للاشتقاق ولكنها تقول فقط ما هي مشتقتها إذا كانت قابلة للاشتقاق.)
الأدلة
تعريف الحد للمشتقة دع h ( x ) = f ( x ) g ( x ) وافترض أن f و g قابلان للاشتقاق عند x . نريد إثبات أن h قابل للاشتقاق عند x وأن مشتقته، h ′ ( x ) ، تعطى بواسطة f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . للقيام بذلك، (وهو صفر، وبالتالي لا يغير القيمة) يضاف إلى البسط للسماح بتحليله إلى عوامل، ثم يتم استخدام خصائص النهايات.
الحقيقة التي تترتب على حقيقة أن الدوال القابلة للاشتقاق متصلة.
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
[
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
]
⋅
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
]
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
+
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}
تقريبات خطية حسب التعريف، إذا كانت قابلة للاشتقاق عند ، فيمكننا كتابة تقريبات خطية :
وحيث
تكون حدود الخطأ صغيرة بالنسبة إلى h : أي تُكتب أيضًا . عندئذٍ:
تتكون "حدود الخطأ" من عناصر مثل و والتي يُرى بسهولة أن لها مقدارًا . القسمة على وأخذ الحد يعطي النتيجة.
f
,
g
:
R
→
R
{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
f
(
x
+
h
)
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
h
+
ε
1
(
h
)
{\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}
g
(
x
+
h
)
=
g
(
x
)
+
g
′
(
x
)
h
+
ε
2
(
h
)
,
{\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}
lim
h
→
0
ε
1
(
h
)
h
=
lim
h
→
0
ε
2
(
h
)
h
=
0
,
{\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}
ε
1
,
ε
2
∼
o
(
h
)
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
(
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
h
+
ε
1
(
h
)
)
(
g
(
x
)
+
g
′
(
x
)
h
+
ε
2
(
h
)
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
′
(
x
)
g
(
x
)
h
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
h
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
error terms
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
h
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
h
+
o
(
h
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}
f
(
x
)
ε
2
(
h
)
,
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
h
2
{\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}
h
f
′
(
x
)
ε
1
(
h
)
{\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}
o
(
h
)
.
{\displaystyle o(h).}
h
{\displaystyle h}
h
→
0
{\displaystyle h\to 0}
المربعات الربعية يستخدم هذا الإثبات قاعدة السلسلة ودالة الربع المربع مع المشتقة . لدينا:
واختلاف كلا الطرفين يعطي:
q
(
x
)
=
1
4
x
2
{\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}
q
′
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}
u
v
=
q
(
u
+
v
)
−
q
(
u
−
v
)
,
{\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}
f
′
=
q
′
(
u
+
v
)
(
u
′
+
v
′
)
−
q
′
(
u
−
v
)
(
u
′
−
v
′
)
=
(
1
2
(
u
+
v
)
(
u
′
+
v
′
)
)
−
(
1
2
(
u
−
v
)
(
u
′
−
v
′
)
)
=
1
2
(
u
u
′
+
v
u
′
+
u
v
′
+
v
v
′
)
−
1
2
(
u
u
′
−
v
u
′
−
u
v
′
+
v
v
′
)
=
v
u
′
+
u
v
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}
قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات يمكن اعتبار قاعدة الضرب حالة خاصة لقاعدة السلسلة للعديد من المتغيرات، المطبقة على دالة الضرب :
m
(
u
,
v
)
=
u
v
{\displaystyle m(u,v)=uv}
d
(
u
v
)
d
x
=
∂
(
u
v
)
∂
u
d
u
d
x
+
∂
(
u
v
)
∂
v
d
v
d
x
=
v
d
u
d
x
+
u
d
v
d
x
.
{\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}
تحليل غير قياسي ليكن u و v دالتين متصلتين في x ، وليكن dx و du و dv أعدادًا لا نهائية في الصغر ضمن إطار التحليل غير القياسي ، وتحديدًا الأعداد الفائقة الواقعية . باستخدام st للإشارة إلى دالة الجزء القياسي التي تربط عددًا فائق الواقع المحدود بالأعداد الحقيقية القريبة منه بشكل لا نهائي، فإن هذا يعطي.
كان هذا في الأساس دليل لايبنتز يستغل قانون التجانس المتعالي (بدلاً من الجزء القياسي أعلاه).
d
(
u
v
)
d
x
=
st
(
(
u
+
d
u
)
(
v
+
d
v
)
−
u
v
d
x
)
=
st
(
u
v
+
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
−
u
v
d
x
)
=
st
(
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
d
x
)
=
st
(
u
d
v
d
x
+
(
v
+
d
v
)
d
u
d
x
)
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}
تحليل سلس لانهائي في الصغر في سياق نهج لوفير للكميات اللامتناهية في الصغر، دع يكون عددًا لا نهائيًا في الصغر مربع الصفر. ثم و ، بحيث بما
أن القسمة على فإن ذلك يعطي أو .
d
x
{\displaystyle dx}
d
u
=
u
′
d
x
{\displaystyle du=u'\ dx}
d
v
=
v
′
d
x
{\displaystyle dv=v'\ dx}
d
(
u
v
)
=
(
u
+
d
u
)
(
v
+
d
v
)
−
u
v
=
u
v
+
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
−
u
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}
d
u
d
v
=
u
′
v
′
(
d
x
)
2
=
0.
{\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}
d
x
{\displaystyle dx}
d
(
u
v
)
d
x
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}
(
u
v
)
′
=
u
⋅
v
′
+
v
⋅
u
′
{\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}
التفاضل اللوغاريتمي دع . نأخذ القيمة المطلقة لكل دالة واللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة،
ونطبق خصائص القيمة المطلقة واللوغاريتمات، ونأخذ
المشتقة اللوغاريتمية لكلا الطرفين ثم نحل لـ :
نحل لـ ونعوض بـ يعطي :
ملاحظة: إن أخذ القيمة المطلقة للدوال ضروري للتفاضل اللوغاريتمي للدوال التي قد يكون لها قيم سالبة، حيث إن اللوغاريتمات تكون ذات قيمة حقيقية فقط للحجج الموجبة. وهذا يعمل لأن ، مما يبرر أخذ القيمة المطلقة للدوال للتفاضل اللوغاريتمي.
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}
ln
|
h
(
x
)
|
=
ln
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}
ln
|
h
(
x
)
|
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
ln
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}
h
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)}
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}
h
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)}
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
h
′
(
x
)
=
h
(
x
)
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}
d
d
x
(
ln
|
u
|
)
=
u
′
u
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}
التعميمات
حاصل ضرب أكثر من عاملين يمكن تعميم قاعدة الضرب على حاصل ضرب أكثر من عاملين. على سبيل المثال، بالنسبة لثلاثة عوامل لدينا
بالنسبة لمجموعة من الدوال ، لدينا
d
(
u
v
w
)
d
x
=
d
u
d
x
v
w
+
u
d
v
d
x
w
+
u
v
d
w
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}
d
d
x
[
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
]
=
∑
i
=
1
k
(
(
d
d
x
f
i
(
x
)
)
∏
j
=
1
,
j
≠
i
k
f
j
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
(
∑
i
=
1
k
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}
توفر المشتقة اللوغاريتمية تعبيرًا أبسط للشكل الأخير، بالإضافة إلى إثبات مباشر لا يتضمن أي تكرار . المشتقة اللوغاريتمية للدالة f ، المشار إليها هنا Logder( f ) ، هي مشتقة لوغاريتم الدالة . ويترتب على ذلك أن
باستخدام أن لوغاريتم حاصل الضرب هو مجموع لوغاريتمات العوامل، فإن قاعدة المجموع للمشتقات تعطي على الفور
يتم الحصول على التعبير الأخير أعلاه لمشتق حاصل الضرب عن طريق ضرب كلا عنصري هذه المعادلة في حاصل الضرب
Logder
(
f
)
=
f
′
f
.
{\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}
Logder
(
f
1
⋯
f
k
)
=
∑
i
=
1
k
Logder
(
f
i
)
.
{\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}
f
i
.
{\displaystyle f_{i}.}
مشتقات أعلى يمكن أيضًا تعميمها على قاعدة لايبنتز العامة للمشتقة رقم n لحاصل ضرب عاملين، عن طريق التوسع رمزيًا وفقًا لنظرية ذات الحدين :
d
n
(
u
v
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
d
(
n
−
k
)
(
u
)
⋅
d
(
k
)
(
v
)
.
{\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}
عند تطبيقها على نقطة محددة x ، فإن الصيغة أعلاه تعطي:
(
u
v
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
u
(
n
−
k
)
(
x
)
⋅
v
(
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
علاوة على ذلك، بالنسبة للمشتقة رقم n لعدد عشوائي من العوامل، لدينا صيغة مماثلة مع معاملات متعددة الحدود :
(
∏
i
=
1
k
f
i
)
(
n
)
=
∑
j
1
+
j
2
+
⋯
+
j
k
=
n
(
n
j
1
,
j
2
,
…
,
j
k
)
∏
i
=
1
k
f
i
(
j
i
)
.
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}
المشتقات الجزئية الأعلى بالنسبة للمشتقات الجزئية ، لدينا [4] حيث يمر
المؤشر S عبر جميع المجموعات الفرعية 2 n من {1، ...، n } ، و | S | هو عدد عناصر S. على سبيل المثال، عندما يكون n = 3 ،
∂
n
∂
x
1
⋯
∂
x
n
(
u
v
)
=
∑
S
∂
|
S
|
u
∏
i
∈
S
∂
x
i
⋅
∂
n
−
|
S
|
v
∏
i
∉
S
∂
x
i
{\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
∂
3
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
(
u
v
)
=
u
⋅
∂
3
v
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
1
⋅
∂
2
v
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
2
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
3
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
2
⋅
∂
v
∂
x
3
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
2
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
1
+
∂
3
u
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
⋅
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}
فضاء باناخ افترض أن X و Y و Z هي فضاءات باناخ (والتي تتضمن الفضاء الإقليدي ) و B : X × Y → Z هو عامل خطي ثنائي مستمر . عندئذٍ تكون B قابلة للاشتقاق، ومشتقتها عند النقطة ( x ، y ) في X × Y هي الخريطة الخطية D ( x ، y ) B : X × Y → Z المعطاة بواسطة
(
D
(
x
,
y
)
B
)
(
u
,
v
)
=
B
(
u
,
y
)
+
B
(
x
,
v
)
∀
(
u
,
v
)
∈
X
×
Y
.
{\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}
يمكن توسيع هذه النتيجة [5] لتشمل مساحات متجهية طوبولوجية أكثر عمومية.
في حساب المتجهات تمتد قاعدة المنتج إلى عمليات المنتج المختلفة لوظائف المتجهات على : [6]
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
للضرب القياسي :
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}
بالنسبة لمنتج النقطة :
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}
بالنسبة للضرب الاتجاهي لوظائف المتجهات على :
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
(
f
×
g
)
′
=
f
′
×
g
+
f
×
g
′
{\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}
هناك أيضًا نظائر لنظائر أخرى للمشتق: إذا كانت f و g حقولًا قياسية، فهناك قاعدة حاصل مع التدرج :
∇
(
f
⋅
g
)
=
∇
f
⋅
g
+
f
⋅
∇
g
{\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}
تنطبق هذه القاعدة على أي عملية ضرب خطية مستمرة . دع B : X × Y → Z تكون خريطة خطية مستمرة بين فضاءات المتجهات، ودع f و g تكونان دالتين قابلتين للاشتقاق في X و Y ، على التوالي. الخاصية الوحيدة للضرب المستخدمة في الإثبات باستخدام تعريف الحد للمشتق هي أن الضرب مستمر وثنائي الخطية. لذا لأي عملية خطية مستمرة،
هذه أيضًا حالة خاصة لقاعدة الضرب للخرائط الخطية في فضاء باناخ.
H
(
f
,
g
)
′
=
H
(
f
′
,
g
)
+
H
(
f
,
g
′
)
.
{\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}
المشتقات في الجبر المجرد والهندسة التفاضلية في الجبر المجرد ، قاعدة الضرب هي الخاصية المحددة للاشتقاق . في هذا المصطلح، تنص قاعدة الضرب على أن عامل المشتقة هو اشتقاق للوظائف.
في الهندسة التفاضلية ، يمكن تعريف متجه مماس لمتعدد الشعب M عند نقطة p بشكل تجريدي كمشغل على الدوال ذات القيمة الحقيقية والذي يتصرف مثل المشتقة الاتجاهية عند p : أي دالة خطية v والتي هي اشتقاق،
وبتعميم (وثنائية) صيغ حساب المتجهات على متعدد الشعب M ذي n بعد ، يمكن للمرء أن يأخذ أشكالًا تفاضلية من الدرجات k و l ، والتي يشار إليها ، مع عملية الضرب الإسفيني أو الخارجي ، وكذلك المشتق الخارجي . ثم لدينا قاعدة ليبنيز المتدرجة :
v
(
f
g
)
=
v
(
f
)
g
(
p
)
+
f
(
p
)
v
(
g
)
.
{\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}
α
∈
Ω
k
(
M
)
,
β
∈
Ω
ℓ
(
M
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}
α
∧
β
∈
Ω
k
+
ℓ
(
M
)
{\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}
d
:
Ω
m
(
M
)
→
Ω
m
+
1
(
M
)
{\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}
d
(
α
∧
β
)
=
d
α
∧
β
+
(
−
1
)
k
α
∧
d
β
.
{\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}
التطبيقات من بين تطبيقات قاعدة الضرب إثبات أنه
عندما يكون n عددًا صحيحًا موجبًا (هذه القاعدة صحيحة حتى لو لم يكن n موجبًا أو لم يكن عددًا صحيحًا، ولكن يجب أن يعتمد إثبات ذلك على طرق أخرى). يكون الإثبات بالاستقراء الرياضي على الأس n . إذا كان n = 0 فإن x n ثابت و nx n − 1 = 0. تنطبق القاعدة في هذه الحالة لأن المشتق لدالة ثابتة يساوي 0. إذا كانت القاعدة صحيحة لأي أس معين n ، فعندئذٍ بالنسبة للقيمة التالية، n + 1، يكون لدينا
وبالتالي، إذا كانت القضية صحيحة بالنسبة لـ n ، فهي صحيحة أيضًا بالنسبة لـ n + 1، وبالتالي بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n .
d
d
x
x
n
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}
d
x
n
+
1
d
x
=
d
d
x
(
x
n
⋅
x
)
=
x
d
d
x
x
n
+
x
n
d
d
x
x
(the product rule is used here)
=
x
(
n
x
n
−
1
)
+
x
n
⋅
1
(the induction hypothesis is used here)
=
(
n
+
1
)
x
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}
انظر أيضا
مراجع
^ "قاعدة لايبنتز – موسوعة الرياضيات". ^ ميشيل سيريلو (أغسطس 2007). "إضفاء الصبغة الإنسانية على حساب التفاضل والتكامل" . مدرس الرياضيات . 101 (1): 23-27. doi :10.5951/MT.101.1.0023. ^ Leibniz, GW (2005) [1920], The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (PDF) , ترجمة JM Child, دوفر، ص. 28، الحاشية السفلية 58، ISBN 978-0-486-44596-0 ^ مايكل هاردي (يناير 2006). "التركيبات المشتقة الجزئية" ( PDF) . المجلة الإلكترونية للتركيبات . 13. arXiv : math/0601149 . Bibcode :2006math......1149H. ^ كريجل، أندرياس؛ ميشور، بيتر (1997). الإعداد الملائم للتحليل العالمي (PDF) . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 59. ISBN 0-8218-0780-3 . ^ ستيوارت، جيمس (2016)، حساب التفاضل والتكامل (الطبعة الثامنة)، سينجاج ، القسم 13.2.
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{محاذاة}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42713fad94de8214d7838f3c1eee4f5e5f031451)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)hf(x)g(x)+{\text{مصطلحات الخطأ}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9f377df3a5a297b3608f8b2b4914c276d2621)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(uv)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(uv)(u'-v')\right)\\[4pt]&=\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e6e0b2a3e40cc63d2008a010e62de5b3e98105)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a940fffdeb3b6d08c599ce4f164b33899794eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3513cff1dd38d9962661ce99f489a5baea16547)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(يتم استخدام قاعدة الضرب هنا)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(يتم استخدام فرضية الاستدلال هنا)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7d3307afc1e7f372b2d0a6d67af71978d22fdf)
