تحلل هوبف

في الرياضيات ، يعطي تحلل هوبف ، المسمى على اسم إيبرهارد هوبف ، تحللًا قياسيًا لمساحة القياس ( X ، μ) بالنسبة إلى تحويل غير مفرد قابل للعكس T : X → X ، أي تحويل يكون قابلًا للقياس مع معكوسه ويحمل مجموعات فارغة إلى مجموعات فارغة. حتى المجموعات الفارغة، يمكن كتابة X على أنها اتحاد منفصل C ∐ D للمجموعات الثابتة لـ T حيث يكون تأثير T على C محافظًا وتأثير T على D مبددًا . وبالتالي، إذا كانت τ هي التماثل الذاتي لـ A = L ^∞ ( X ) المستحث بواسطة T ، فهناك إسقاط ثابت فريد لـ τ p في A بحيث يكون pA محافظًا و (I–p)A مبددًا.

• المجموعات المتجولة والأفعال المبددة. تكون المجموعة القابلة للقياس W من X متجولة إذا كانت دالتها المميزة q = χ _W في A = L ^∞ ( X ) تلبي q τ ⁿ ( q ) = 0 لجميع n ؛ وبالتالي، حتى المجموعات الخالية، تكون المترجمات T n ⁽ W ) منفصلة في أزواج. يسمى الفعل مبددا إذا كانت X = ∐ T ⁿ ( W ) ae لبعض المجموعات المتجولة W.
• الإجراءات المحافظة. إذا لم يكن لدى X أي مجموعات فرعية متجولة من القياس الإيجابي، يُقال إن الإجراء محافظ .
• الأفعال غير القابلة للضغط. يقال إن الفعل غير قابل للضغط إذا كانت مجموعة فرعية قابلة للقياس Z تلبي T ( Z ) ⊆ Z فإن Z \ TZ لها قياس صفر. وبالتالي إذا كانت q = χ _Z و τ( q ) ≤ q ، فإن τ( q ) = q ae
• الأفعال المتكررة. يقال عن الفعل T أنه متكرر إذا كانت q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ... ae لأي q = χ _Y .
• الأفعال المتكررة بلا حدود. يقال عن الفعل T أنه متكرر بلا حدود إذا كان q ≤ τ ^m ( q ) ∨ τ ^{m + 1} ( q ) ∨ τ ^{m +2} ( q ) ∨ ... ae لأي q = χ _Y وأي m ≥ 1.

مبرهنة. إذا كانت T تحويلاً قابلاً للعكس على مساحة القياس ( X ،μ) مع الحفاظ على المجموعات الصفرية، فإن الشروط التالية تكون متكافئة على T (أو معكوسها): ^[1]

1. ت هو محافظ ؛
2. ت متكررة؛
3. T متكرر بلا حدود؛
4. T غير قابلة للضغط.

نظرًا لأن T تكون مبددة إذا وفقط إذا كانت T ⁻¹ مبددة، فمن الطبيعي أن تكون T محافظة إذا وفقط إذا كانت T ⁻¹ محافظة.

إذا كانت T محافظة، فإن r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ τ ³ ( q ) ∧ ... تائهة بحيث إذا كانت q < 1، فمن الضروري أن تكون r = 0. ومن ثم فإن q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅، بحيث تكون T متكررة.

إذا كانت T متكررة، فإن q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ افترض الآن بالاستقراء أن q ≤ τ ^k ( q ) ∨ τ ^{k +1} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. ثم τ ^k ( q ) ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤. ومن ثم q ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. لذا فإن النتيجة صحيحة بالنسبة لـ k +1 وبالتالي فإن T متكررة إلى ما لا نهاية. وعلى العكس من ذلك، بحكم التعريف، فإن التحويل المتكرر بلا حدود هو تحويل متكرر.

الآن افترض أن T متكررة. لإظهار أن T غير قابلة للانضغاط يجب إظهار أنه إذا كانت τ( q ) ≤ q ، فإن τ( q ) ≤ q . في الواقع في هذه الحالة، τ ⁿ ( q ) هي متوالية متناقصة. ولكن بالتكرار، q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅، لذا q ≤ τ( q ) وبالتالي q = τ( q ).

أخيرًا، افترض أن T غير قابلة للانضغاط. إذا لم تكن T محافظة، فهناك p ≠ 0 في A مع τ ⁿ ( p ) منفصلة (متعامدة). ولكن بعد ذلك، فإن q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ يرضي τ( q ) < q مع q − τ( q ) = p ≠ 0 ، مما يتناقض مع عدم قابلية الانضغاط. لذا فإن T محافظة.

مبرهنة. إذا كانت T تحويلًا قابلًا للعكس على مساحة القياس ( X ، μ ) مع الحفاظ على المجموعات الصفرية وإحداث تماثل ذاتي τ لـ A = L ^∞ ( X )، فعندئذٍ يوجد ثابت τ فريد p = χ _C في A بحيث يكون τ محافظًا على pA = L ^∞ ( C ) ومبددًا على (1 −  p ) A = L ^∞ ( D ) حيث D =  X  \  C. ^[2 ]

بدون فقدان العمومية يمكن افتراض أن μ هو مقياس احتمال. إذا كانت T محافظة فلا يوجد ما يمكن إثباته، لأنه في هذه الحالة C = X. وإلا فهناك مجموعة متجولة W لـ T. دع r = χ _W و q = ⊕ τ ⁿ ( r ). وبالتالي فإن q ثابتة τ ومبددة. علاوة على ذلك، μ ( q ) > 0. من الواضح أن المجموع المباشر المتعامد لمثل هذه المبددة الثابتة τ q ′s هو أيضًا ثابت τ ومبدد؛ وإذا كانت q ثابتة τ ومبددة و r < q ثابتة τ ، فإن r تكون مبددة. ومن ثم، إذا كانت q ₁ و q ₂ ثابتتين τ ومبددتين، فإن q ₁ ∨ q ₂ ثابتة τ ومبددة، لأن q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 −  q ₁ ). والآن دع M تكون الأعلى لجميع μ ( q ) ذات q ثابتة τ ومبددة. خذ q _n ثابتة τ ومبددة بحيث تزداد μ ( q _n ) إلى M. باستبدال q _n ​​بـ q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _n ، يمكن افتراض t أن q _n تتزايد إلى q على سبيل المثال. وبالاستمرارية تكون q ثابتة τ و μ ( q ) = M. بالحد الأقصى، p = I − q هو محافظ. التفرد واضح حيث لا يوجد متغير ثابت τ r < p يكون مبددًا وكل متغير ثابت τ r < q يكون مبددًا.

النتيجة المترتبة على ذلك هي أن تحلل هوبف لـ T يتطابق مع تحلل هوبف لـ T ⁻¹ .

نظرًا لأن التحويل يكون مبددًا في مساحة القياس إذا وفقط إذا كان معكوسه مبددًا، فإن الأجزاء المبددة من T و T ⁻¹ تتطابق. وبالتالي تتطابق الأجزاء المحافظة أيضًا.

النتيجة المترتبة على ذلك هي أن تحلل هوبف لـ T يتطابق مع تحلل هوبف لـ T ⁿ لـ n > 1.

إذا كانت W مجموعة متجولة لـ T، فهي مجموعة متجولة لـ T ⁿ . لذا فإن الجزء المبدد لـ T موجود في الجزء المبدد لـ T ⁿ . دع σ = τ ⁿ . لإثبات العكس، يكفي أن نظهر أنه إذا كانت σ مبددة، فإن τ مبددة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فباستخدام تحلل هوبف، يمكن افتراض أن σ مبددة وτ محافظة. افترض أن p هو إسقاط متجول غير صفري لـ σ. عندئذٍ تكون τ ^a ( p ) وτ ^b ( p ) متعامدين لـ a و b مختلفين في نفس فئة التطابق modulo n . خذ مجموعة من τ ^a ( p ) ذات حاصل ضرب غير صفري وحجم أقصى. وبالتالي | S | ≤ n . من خلال الحد الأقصى، يكون r متجولًا لـ τ، وهو تناقض.

النتيجة المترتبة على ذلك. إذا كان التحويل القابل للعكس T يعمل بشكل إرجودي ولكن غير متعدي على مساحة القياس ( X ، μ ) مع الحفاظ على المجموعات الصفرية و B هي مجموعة جزئية مع μ ( B ) > 0، فإن المكمل لـ B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ له مقياس صفر.

لاحظ أن الديناميكية وعدم الانتقالية تعني أن فعل T محافظ وبالتالي متكرر بلا حدود. ولكن بعد ذلك، B ≤ T ^m ( B ) ∨ T ^{m + 1} ( B ) ∨ T ^{m +2} ( B ) ∨ ... لأي m ≥ 1. وبتطبيق T ^{− m} ، يتبع ذلك أن T ^{− m} ( B ) تقع في Y = B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ لكل m > 0. وبالديناميكية μ ( X \ Y ) = 0.

ليكن ( X ،μ) فضاء قياس و S _t تدفق غير زاوي على X يحث على مجموعة ذات معامل واحد من التماثلات الذاتية σ _t لـ A = L ^∞ ( X ). سيُفترض أن الفعل صادق، بحيث يكون σ _t هو المتطابق فقط لـ t = 0. لكل S _t أو ما يعادله σ _t مع t ≠ 0 يوجد تحلل هوبف، لذا فإن a p t _ثابت بواسطة σ _t بحيث يكون الفعل محافظًا على p _t A ومبددًا على (1− p _t ) A.

• بالنسبة لـ s ، t ≠ 0، فإن الأجزاء المحافظة والمبددة لـ S _s و S _t تتطابق إذا كانت s / t نسبية. ^[3]

يتبع هذا من حقيقة أنه بالنسبة لأي تحويل عكسي غير مفرد فإن الأجزاء المحافظة والمبددة من T و T ⁿ تتطابقان بالنسبة إلى n ≠ 0.

• إذا كانت S ₁ مبددة على A = L ^∞ ( X )، فهناك مقياس ثابت λ على A و p في A بحيث

1. p > σ _t ( p ) لجميع t > 0
2. λ( p – σ _t ( p )) = t لجميع t > 0
3. σ _t ( p ) 1 حيث أن t يميل إلى −∞ و σ _t ( p ) 0 حيث أن t يميل إلى +∞.${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle \downarrow }$

ليكن T = S _1. خذ q مجموعة متجولة لـ T بحيث ⊕ τ ⁿ ( q ) = 1. بتغيير μ إلى مقياس مكافئ، يمكن افتراض أن μ( q ) = 1، بحيث يقتصر μ على مقياس احتمال على qA . بنقل هذا المقياس إلى τ ⁿ ( q ) A ، يمكن افتراض أن μ ثابت τ على A. ولكن بعد ذلك λ = ∫¹
₀ μ ∘ σ _t dt هو مقياس مكافئ ثابت لـ σ على A والذي يمكن إعادة قياسه إذا لزم الأمر بحيث يكون λ( q ) = 1. يمكن وصف r في A التي تتجول لـ Τ (أو τ) مع ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 بسهولة: يتم إعطاؤها بواسطة r = ⊕ τ ⁿ ( q _n ) حيث q = ⊕ q _n هو تحلل لـ q . على وجه الخصوص λ( r ) = 1. علاوة على ذلك، إذا كانت p تلبي p > τ( p ) و τ ^{– n} ( p ) 1، فإن λ( p – τ( p )) = 1، وتطبيق النتيجة على r = p – τ( p ). تظهر نفس الحجج أنه على العكس من ذلك، إذا كان r يتجول لـ τ و λ( r ) = 1، فإن ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 .${\displaystyle \uparrow }$

ليكن Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ بحيث يكون τ ^k ( Q ) < Q لـ k ≥ 1. عندئذٍ a = ∫^∞
₀σt ( q ) dt = _{Σk ≥0} ∫_​¹
₀σ _{ك + ت} ( س ) د ت ​​= ∫¹
₀σ _t ( Q ) dt بحيث 0 ≤ a ≤ 1 في A. حسب التعريف، σ _s ( a ) ≤ a لـ s ≥ 0، حيث أن a − σ _s ( a ) = ∫^∞
_سσ _t ( q ) dt . تُظهر نفس الصيغ أن σ _s ( a ) تميل إلى 0 أو 1 عندما تميل s إلى +∞ أو −∞. ضع p = χ _[ε,1] (a) لـ 0 < ε < 1. ثم σ _s ( p ) = χ _[ε,1] (σ _s ( a )). ويترتب على ذلك على الفور أن σ _s ( p ) ≤ p لـ s ≥ 0. علاوة على ذلك، فإن σ _s ( p ) 0 عندما تميل s إلى +∞ و σ _s ( p ) 1 عندما تميل s إلى − ∞. وتتبع صيغة الحد الأولى لأن 0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a ). الآن يمكن تطبيق نفس المنطق على τ ⁻¹ و σ _{− t} و τ ⁻¹ ( q ) و 1 – ε بدلاً من τ و σ _t و q و ε. ومن ثم يمكن التحقق بسهولة من أن الكميات المقابلة لـ a و p هي 1 − a و 1 − p . وبالتالي σ _{− t} (1− p ) 0 حيث أن t تميل إلى ∞. ومن ثم σ _s ( p ) 1 حيث أن s تميل إلى − ∞. وعلى وجه الخصوص p ≠ 0 و 1.${\displaystyle \downarrow }$${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle \downarrow }$${\displaystyle \uparrow }$

لذا فإن r = p − τ( p ) تتجول بالنسبة لـ τ و⊕ τ ^k ( r ) = 1. ومن ثم فإن λ( r ) = 1. ويترتب على ذلك أن λ( p −σ _s ( p ) ) = s بالنسبة لـ s = 1/ n وبالتالي لجميع الأعداد النسبية s > 0. ونظرًا لأن عائلة σ _s ( p ) متصلة ومتناقصة، فبالاستمرارية تنطبق نفس الصيغة أيضًا على جميع الأعداد الحقيقية s > 0. ومن ثم فإن p تلبي جميع الشروط المؤكدة.

• الأجزاء المحافظة والمبددة لـ S _t لـ t ≠ 0 مستقلة عن t . ^[4]

تظهر النتيجة السابقة أنه إذا كانت S _t مبددة على X لـ t ≠ 0، فإن كل S _s لـ s ≠ 0 تكون كذلك . من خلال التفرد، تحافظ S _t و S _s على الأجزاء المبددة للأخرى. وبالتالي، فإن كل منهما مبدد على الجزء المبدد للآخر، لذا فإن الأجزاء المبددة تتفق. ومن ثم فإن الأجزاء المحافظة تتفق.

• التدفق المرن

• آرونسون، جون (1997)، مقدمة لنظرية الإرجوديك اللانهائية ، الدراسات الاستقصائية والدراسات الرياضية، المجلد 50، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 0-8218-0494-4
• هوبف، إيبرهارد (1937)، نظرية العمل (بالألمانية)، سبرينغر
• Krengel، Ulrich (1968)، “Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I”، الرياضيات. أنالين (بالألمانية)، 176 : 181−190
• كرينجل ، أولريش (1985)، نظريات أرجوديك ، دراسات دي جرويتر في الرياضيات، المجلد. 6، دي جرويتر، ISBN 3-11-008478-3